{"id":1341,"date":"2023-07-26T19:24:24","date_gmt":"2023-07-26T19:24:24","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/"},"modified":"2023-07-26T19:24:24","modified_gmt":"2023-07-26T19:24:24","slug":"prawdopodobienstwo-a-i-b","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/","title":{"rendered":"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo a i b: z przyk\u0142adami"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Bior\u0105c pod uwag\u0119 dwa zdarzenia, A i B, \u201eznalezienie prawdopodobie\u0144stwa A i B\u201d oznacza znalezienie prawdopodobie\u0144stwa <strong>wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zwykle zapisujemy to prawdopodobie\u0144stwo na dwa sposoby:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(A i B) \u2013 Forma pisemna<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) \u2013 zapis formy<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Spos\u00f3b obliczenia tego prawdopodobie\u0144stwa zale\u017cy od tego, czy zdarzenia A i B s\u0105 niezale\u017cne, czy zale\u017cne.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Je\u015bli A i B s\u0105 <strong>niezale\u017cne<\/strong> , w\u00f3wczas wz\u00f3r, kt\u00f3rego u\u017cywamy do obliczenia P(A\u2229B) to po prostu:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #ececec; font-size: 19px;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Independent Events:<\/span> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = P(A) * P(B)<\/span>\n<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Je\u015bli A i B s\u0105 <strong>zale\u017cne<\/strong> , to wz\u00f3r, kt\u00f3rego u\u017cywamy do obliczenia P(A\u2229B) to:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #ececec; font-size: 19px;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\">Dependent Events:<\/span> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = P(A) * P(B|A)<\/span><\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nale\u017cy <em>zauwa\u017cy\u0107<\/em> , \u017ce P(B|A) jest danym prawdopodobie\u0144stwem warunkowym wyst\u0105pienia zdarzenia B <em><strong>&nbsp;<\/strong><\/em> zachodzi zdarzenie A.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017csze przyk\u0142ady pokazuj\u0105, jak zastosowa\u0107 te formu\u0142y w praktyce.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ady P(A\u2229B) dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017csze przyk\u0142ady pokazuj\u0105, jak obliczy\u0107 P(A\u2229B), gdy A i B s\u0105 zdarzeniami niezale\u017cnymi.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 1:<\/strong> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Twoja ulubiona dru\u017cyna baseballowa wygra World Series wynosi 1\/30, a prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Twoja ulubiona dru\u017cyna pi\u0142karska wygra Super Bowl wynosi 1\/32. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Twoje dwie ulubione dru\u017cyny wygraj\u0105 swoje mistrzostwa?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Rozwi\u0105zanie:<\/strong> W tym przyk\u0142adzie prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia jest niezale\u017cne od drugiego. Zatem prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia obu zdarze\u0144 oblicza si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = (1\/30) * (1\/32) = 1\/960 = 0,00104.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 2:<\/strong> Jednocze\u015bnie rzucasz kostk\u0105 i monet\u0105. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na kostce wypadnie liczba 4, a moneta na reszce?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Rozwi\u0105zanie:<\/strong> W tym przyk\u0142adzie prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia jest niezale\u017cne od drugiego. Zatem prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia obu zdarze\u0144 oblicza si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = (1\/6) * (1\/2) = 1\/12 = 0,083333.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ady P(A\u2229B) dla zdarze\u0144 zale\u017cnych<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017csze przyk\u0142ady pokazuj\u0105, jak obliczy\u0107 P(A\u2229B), gdy A i B s\u0105 zdarzeniami zale\u017cnymi.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 1:<\/strong> W urnie znajduj\u0105 si\u0119 4 kule czerwone i 4 kule zielone. Losowo wybierasz kul\u0119 z urny. Nast\u0119pnie bez zwracania wybierasz inn\u0105 kul\u0119. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce za ka\u017cdym razem wybierzesz czerwon\u0105 kul\u0119?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Rozwi\u0105zanie:<\/strong> W tym przyk\u0142adzie kolor bili, kt\u00f3r\u0105 wybierzesz za pierwszym razem, wp\u0142ywa na prawdopodobie\u0144stwo wybrania czerwonej bili za drugim razem. Zatem te dwa zdarzenia s\u0105 od siebie zale\u017cne.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zdefiniujmy zdarzenie A jako prawdopodobie\u0144stwo wybrania czerwonej kuli za pierwszym razem. Prawdopodobie\u0144stwo to wynosi P(A) = 4\/8. Nast\u0119pnie musimy znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo ponownego wybrania czerwonej kuli, <em>bior\u0105c pod uwag\u0119<\/em> , \u017ce pierwsza kula by\u0142a czerwona. W tym przypadku do wyboru pozosta\u0142y tylko 3 czerwone kule, a w sumie w urnie znajduje si\u0119 tylko 7 kul. Zatem P(B|A) wynosi 3\/7.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zatem prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce za ka\u017cdym razem wybierzemy czerwon\u0105 kul\u0119, obliczamy w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = P(A) * P(B|A) = (4\/8) * (3\/7) = 0,214.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 2:<\/strong> W pewnej klasie jest 15 ch\u0142opc\u00f3w i 12 dziewcz\u0105t. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce w\u0142o\u017cymy nazwiska ka\u017cdego ucznia do torby. Losowo wybieramy imi\u0119 z torby. Nast\u0119pnie bez zamiany wybieramy inn\u0105 nazw\u0119. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce oba imiona to ch\u0142opcy?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Rozwi\u0105zanie:<\/strong> W tym przyk\u0142adzie imi\u0119, kt\u00f3re wybierzemy za pierwszym razem, wp\u0142ywa na prawdopodobie\u0144stwo wybrania imienia ch\u0142opca w drugim losowaniu. Zatem te dwa zdarzenia s\u0105 od siebie zale\u017cne.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zdefiniujmy zdarzenie A jako prawdopodobie\u0144stwo wybrania po raz pierwszy ch\u0142opca. Prawdopodobie\u0144stwo to wynosi P(A) = 15\/27. Nast\u0119pnie musimy znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo ponownego wybrania ch\u0142opca, <em>bior\u0105c pod uwag\u0119<\/em> , \u017ce imi\u0119 by\u0142o ch\u0142opcem. W tym przypadku zosta\u0142o ju\u017c tylko 14 ch\u0142opc\u00f3w do wyboru, a w worku znajduje si\u0119 tylko 26 imion. Zatem P(B|A) wynosi 14\/26.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zatem prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce za ka\u017cdym razem wybierzemy imi\u0119 dla ch\u0142opca, oblicza si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">P(A\u2229B) = P(A) * P(B|A) = (15\/27) * (14\/26) = 0,299.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bior\u0105c pod uwag\u0119 dwa zdarzenia, A i B, \u201eznalezienie prawdopodobie\u0144stwa A i B\u201d oznacza znalezienie prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B. Zwykle zapisujemy to prawdopodobie\u0144stwo na dwa sposoby: P(A i B) \u2013 Forma pisemna P(A\u2229B) \u2013 zapis formy Spos\u00f3b obliczenia tego prawdopodobie\u0144stwa zale\u017cy od tego, czy zdarzenia A i B s\u0105 niezale\u017cne, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-1341","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-26T19:24:24+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/\",\"name\":\"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-26T19:24:24+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-26T19:24:24+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo a i b: z przyk\u0142adami\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami","description":"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami","og_description":"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-26T19:24:24+00:00","author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/","name":"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo A i B: z przyk\u0142adami","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-26T19:24:24+00:00","dateModified":"2023-07-26T19:24:24+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"W tym samouczku wyja\u015bniono, jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zar\u00f3wno zdarzenia A, jak i zdarzenia B, podaj\u0105c kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-a-i-b\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Jak znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo a i b: z przyk\u0142adami"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1341","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1341"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1341\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1341"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1341"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1341"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}