{"id":143,"date":"2023-08-04T23:38:31","date_gmt":"2023-08-04T23:38:31","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/asymetria-kurtozy\/"},"modified":"2023-08-04T23:38:31","modified_gmt":"2023-08-04T23:38:31","slug":"asymetria-kurtozy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/asymetria-kurtozy\/","title":{"rendered":"Asymetria i sp\u0142aszczenie"},"content":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest sko\u015bno\u015b\u0107 i kurtoza w statystykach. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 tych dw\u00f3ch poj\u0119\u0107, spos\u00f3b obliczania sko\u015bno\u015bci i kurtozy, jakie s\u0105 ich wzory, a tak\u017ce kalkulator online do obliczania sko\u015bno\u015bci i kurtozy dowolnej pr\u00f3bki danych. <\/p>\n

<\/span> Co to jest sko\u015bno\u015b\u0107 i kurtoza?<\/span><\/h2>\n

Sko\u015bno\u015b\u0107 i kurtoza<\/strong> to dwie miary statystyczne u\u017cywane do opisu kszta\u0142tu rozk\u0142adu bez konieczno\u015bci jego wykre\u015blania. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, sko\u015bno\u015b\u0107 wskazuje stopie\u0144 symetrii (lub sko\u015bno\u015bci) rozk\u0142adu, podczas gdy kurtoza wskazuje stopie\u0144 koncentracji rozk\u0142adu wok\u00f3\u0142 jego \u015bredniej.<\/p>\n

W statystyce sko\u015bno\u015b\u0107 i kurtoza nazywane s\u0105 r\u00f3wnie\u017c miarami kszta\u0142tu<\/a> .<\/p>\n

\ud83d\udc49 Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora online, aby obliczy\u0107 sko\u015bno\u015b\u0107 i kurtoz\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

<\/span> Asymetria<\/span><\/h2>\n

W statystyce sko\u015bno\u015b\u0107<\/strong> jest miar\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 stopie\u0144 symetrii (lub asymetrii) rozk\u0142adu w stosunku do jego \u015bredniej. M\u00f3wi\u0105c najpro\u015bciej, sko\u015bno\u015b\u0107 to parametr statystyczny u\u017cywany do okre\u015blenia stopnia symetrii (lub asymetrii) rozk\u0142adu bez konieczno\u015bci przedstawiania go graficznie.<\/p>\n

Zatem rozk\u0142ad asymetryczny to taki, kt\u00f3ry ma inn\u0105 liczb\u0119 warto\u015bci po lewej stronie \u015bredniej w por\u00f3wnaniu z jedn\u0105 po jej prawej stronie. Natomiast w rozk\u0142adzie symetrycznym po lewej i prawej stronie \u015bredniej znajduje si\u0119 taka sama liczba warto\u015bci.<\/p>\n

Zatem wyr\u00f3\u017cniamy trzy rodzaje asymetrii<\/strong> :<\/p>\n

    \n
  • Dodatnia asymetria<\/strong> : Rozk\u0142ad ma wi\u0119cej r\u00f3\u017cnych warto\u015bci po prawej stronie \u015bredniej ni\u017c po jej lewej stronie.<\/span><\/li>\n
  • Symetria<\/strong> : Rozk\u0142ad ma tak\u0105 sam\u0105 liczb\u0119 warto\u015bci po lewej stronie \u015bredniej, jak i po prawej stronie \u015bredniej.<\/span><\/li>\n
  • Ujemna sko\u015bno\u015b\u0107<\/strong> : Rozk\u0142ad ma wi\u0119cej r\u00f3\u017cnych warto\u015bci po lewej stronie \u015bredniej ni\u017c po prawej stronie.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n
    \"rodzaje<\/figure>\n

    <\/span> wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii<\/span><\/h3>\n

    Wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci<\/strong> lub wska\u017anik asymetrii<\/strong> to wsp\u00f3\u0142czynnik statystyczny, kt\u00f3ry pomaga okre\u015bli\u0107 asymetri\u0119 rozk\u0142adu. Zatem obliczaj\u0105c wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii, mo\u017cna dowiedzie\u0107 si\u0119, jaki rodzaj asymetrii przedstawia rozk\u0142ad, bez konieczno\u015bci przedstawiania tego graficznie.<\/p>\n

    Chocia\u017c istniej\u0105 r\u00f3\u017cne wzory na obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnika asymetrii i zobaczymy je wszystkie poni\u017cej, niezale\u017cnie od zastosowanego wzoru, interpretacja wsp\u00f3\u0142czynnika asymetrii zawsze odbywa si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b: <\/p>\n

    \n
      \n
    • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci jest dodatni, rozk\u0142ad jest dodatnio sko\u015bny<\/strong> .<\/span><\/li>\n
    • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii jest r\u00f3wny zero, rozk\u0142ad jest symetryczny<\/strong> .<\/span><\/li>\n
    • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci jest ujemny, rozk\u0142ad jest ujemnie sko\u015bny<\/strong> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii Fishera<\/h4>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci Fishera jest r\u00f3wny trzeciemu momentowi \u015bredniej podzielonej przez odchylenie standardowe pr\u00f3bki. Zatem wz\u00f3r na wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii Fishera<\/strong> wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}\"<\/p>\n<\/p>\n

      R\u00f3wnowa\u017cnie do obliczenia wsp\u00f3\u0142czynnika Fishera mo\u017cna zastosowa\u0107 jeden z dw\u00f3ch poni\u017cszych wzor\u00f3w:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\operatorname{E}[X^3]<\/p>\n<\/p>\n

      Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n

      \"E\"<\/p>\n

      jest oczekiwaniem matematycznym,<\/p>\n

      \"\\mu\"<\/p>\n

      \u015brednia arytmetyczna,<\/p>\n

      \"\\sigma\"<\/p>\n

      odchylenie standardowe i<\/p>\n

      \"N\"<\/p>\n

      ca\u0142kowita liczba danych.<\/p>\n

      Z drugiej strony, je\u015bli dane s\u0105 pogrupowane, mo\u017cesz u\u017cy\u0107 nast\u0119puj\u0105cej formu\u0142y:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\gamma_1=\\frac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

      Gdzie w tym przypadku<\/p>\n<\/p>\n

      \"x_i\"<\/p>\n

      To oznaka klasy i<\/p>\n

      \"f_i\"<\/p>\n

      bezwzgl\u0119dna cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 kursu.<\/p>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii Pearsona<\/h4>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci Pearsona jest r\u00f3wny r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki a mod\u0105 podzielon\u0105 przez jej odchylenie standardowe (lub odchylenie standardowe). Wz\u00f3r na wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii Pearsona<\/strong> jest zatem nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_p=\\cfrac{\\mu-Mo}{\\sigma}\"<\/p>\n<\/p>\n

      Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_p\"<\/p>\n

      jest wsp\u00f3\u0142czynnikiem Pearsona,<\/p>\n

      \"\\mu\"<\/p>\n

      \u015brednia arytmetyczna,<\/p>\n

      \"Mo\"<\/p>\n

      moda i<\/p>\n

      \"\\sigma\"<\/p>\n

      odchylenie standardowe.<\/p>\n

      Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci Pearsona mo\u017cna obliczy\u0107 tylko wtedy, gdy jest to rozk\u0142ad jednomodalny, to znaczy, je\u015bli w danych wyst\u0119puje tylko jeden tryb.<\/p>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii Bowleya<\/h4>\n

      Wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci Bowleya<\/strong> jest r\u00f3wny sumie trzeciego kwartyla plus pierwszy kwartyl minus dwukrotno\u015b\u0107 mediany podzielonej przez r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy trzecim i pierwszym kwartylem. Wz\u00f3r na ten wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii jest zatem nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n

      \"A_B=\\cfrac{Q_3+Q_1-2\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

      Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n

      \"Q_1\"<\/p>\n

      I<\/p>\n

      \"Q_3\"<\/p>\n

      S\u0105 to odpowiednio pierwszy i trzeci kwartyl oraz<\/p>\n

      \"Me\"<\/p>\n

      jest median\u0105 rozk\u0142adu.<\/p>\n

      <\/span> Sp\u0142aszczenie<\/span><\/h2>\n

      Kurtoza<\/strong> , zwana tak\u017ce sko\u015bno\u015bci\u0105<\/strong> , wskazuje, jak skoncentrowany jest rozk\u0142ad wok\u00f3\u0142 jego \u015bredniej. Innymi s\u0142owy, kurtoza wskazuje, czy rozk\u0142ad jest stromy czy p\u0142aski. W szczeg\u00f3lno\u015bci im wi\u0119ksza kurtoza rozk\u0142adu, tym jest ona bardziej stroma (lub ostrzejsza). <\/p>\n

      \"pochlebny\"<\/figure>\n

      Istniej\u0105 trzy rodzaje pochlebstw<\/strong> :<\/p>\n

        \n
      • Leptokurtic<\/strong> : rozk\u0142ad jest bardzo punktowy, co oznacza, \u017ce dane s\u0105 silnie skoncentrowane wok\u00f3\u0142 \u015bredniej. Dok\u0142adniej, rozk\u0142ady leptokurtyczne definiuje si\u0119 jako rozk\u0142ady ostrzejsze ni\u017c rozk\u0142ad normalny.<\/span><\/li>\n
      • Mesokurtic<\/strong> : Kurtoza rozk\u0142adu jest r\u00f3wnowa\u017cna kurtozie rozk\u0142adu normalnego. Dlatego nie jest uwa\u017cany za ostry ani sp\u0142aszczony.<\/span><\/li>\n
      • Platykurtic<\/strong> : rozk\u0142ad jest bardzo p\u0142aski, co oznacza, \u017ce koncentracja wok\u00f3\u0142 \u015bredniej jest niska. Formalnie rozk\u0142ady platykurtyczne definiuje si\u0119 jako te rozk\u0142ady, kt\u00f3re s\u0105 bardziej p\u0142askie ni\u017c rozk\u0142ad normalny.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

        Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce r\u00f3\u017cne typy kurtozy s\u0105 definiowane poprzez przyj\u0119cie kurtozy rozk\u0142adu normalnego jako punktu odniesienia. <\/p>\n

        \"rodzaje<\/figure>\n

        <\/span> wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy<\/span><\/h3>\n

        Wz\u00f3r na wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Wz\u00f3r na wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy dla danych pogrupowanych w tablice cz\u0119sto\u015bci<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Na koniec wz\u00f3r na wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy dla danych pogrupowanych w przedzia\u0142y<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Z\u0142oto: <\/p>\n

          \n
        • \n

          \"g_2\"<\/p>\n

          jest wsp\u00f3\u0142czynnikiem kurtozy.<\/li>\n

        • \n

          \"N\"<\/p>\n

          to ca\u0142kowita liczba danych.<\/li>\n

        • \n

          \"x_i\"<\/p>\n

          jest i-tym punktem danych w szeregu.<\/li>\n

        • \n

          \"\\mu\"<\/p>\n

          jest \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105 rozk\u0142adu.<\/li>\n

        • \n

          \"\\sigma\"<\/p>\n

          jest odchyleniem standardowym (lub odchyleniem typowym) rozk\u0142adu.<\/li>\n

        • \n

          \"f_i\"<\/p>\n

          jest cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 bezwzgl\u0119dn\u0105 zbioru danych it.<\/li>\n

        • \n

          \"c_i\"<\/p>\n

          jest znakiem klasy i-tej grupy.<\/li>\n<\/ul>\n

          Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce we wszystkich wzorach na wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy odejmuje si\u0119 3, poniewa\u017c jest to warto\u015b\u0107 kurtozy rozk\u0142adu normalnego. Zatem obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnika kurtozy odbywa si\u0119 poprzez przyj\u0119cie kurtozy rozk\u0142adu normalnego jako punktu odniesienia. Dlatego czasami w statystyce m\u00f3wi si\u0119, \u017ce obliczana jest nadmierna kurtoza<\/strong> .<\/p>\n

          Po obliczeniu wsp\u00f3\u0142czynnika kurtozy nale\u017cy go interpretowa\u0107 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b, aby okre\u015bli\u0107, jakiego rodzaju jest to kurtoza: <\/p>\n

          \n
            \n
          • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy jest dodatni, oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad jest leptokurtyczny<\/strong> .<\/span><\/li>\n
          • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy wynosi zero, oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad jest mezokurtyczny<\/strong> .<\/span><\/li>\n
          • Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy jest ujemny, oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad jest platykurtyczny<\/strong> .<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

            <\/span> Kalkulator sko\u015bno\u015bci i kurtozy<\/span><\/h2>\n

            Wprowad\u017a zbi\u00f3r danych do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 jego sko\u015bno\u015b\u0107 i wsp\u00f3\u0142czynnik kurtozy, a tak\u017ce okre\u015bli\u0107, jaki to rodzaj rozk\u0142adu. Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego. <\/p>\n