{"id":219,"date":"2023-08-04T00:49:55","date_gmt":"2023-08-04T00:49:55","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/"},"modified":"2023-08-04T00:49:55","modified_gmt":"2023-08-04T00:49:55","slug":"rozklad-bernoulliego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/","title":{"rendered":"Rozk\u0142ad bernoulliego"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego i jaki jest jego wz\u00f3r. Dodatkowo znajdziesz w nim w\u0142a\u015bciwo\u015bci rozk\u0142adu Bernoulliego oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie pozwalaj\u0105ce lepiej zrozumie\u0107 jego znaczenie. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-de-bernoulli\"><\/span> Co to jest rozk\u0142ad Bernoulliego?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/strong> , znany r\u00f3wnie\u017c jako <strong>rozk\u0142ad dychotomiczny<\/strong> , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa reprezentuj\u0105cy zmienn\u0105 dyskretn\u0105, kt\u00f3ra mo\u017ce mie\u0107 tylko dwa wyniki: \u201esukces\u201d lub \u201epora\u017cka\u201d.<\/p>\n<p> W rozk\u0142adzie Bernoulliego \u201esukces\u201d jest oczekiwanym przez nas wynikiem i ma warto\u015b\u0107 1, natomiast wynik \u201epora\u017cki\u201d jest wynikiem innym ni\u017c oczekiwany i ma warto\u015b\u0107 0. Zatem, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201e sukces\u201d wynosi <em>p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201epora\u017cki\u201d wynosi <em>q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim \\text{Bernoulli}(p)\\\\[2ex]\\begin{array}{l} \\text{\\'Exito}\\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ P[X=1]=p\\\\[2ex]\\text{Fracaso}\\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ P[X=0]=q=1-p\\end{array}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"361\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Rozk\u0142ad Bernoulliego zosta\u0142 nazwany na cze\u015b\u0107 szwajcarskiego statystyka Jacoba Bernoulliego.<\/p>\n<p> W statystyce rozk\u0142ad Bernoulliego ma g\u0142\u00f3wnie jedno zastosowanie: okre\u015blanie prawdopodobie\u0144stw eksperyment\u00f3w, w kt\u00f3rych mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki: sukces i pora\u017cka. Zatem eksperyment wykorzystuj\u0105cy rozk\u0142ad Bernoulliego nazywany jest testem Bernoulliego lub eksperymentem Bernoulliego. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-de-bernoulli\"><\/span> Wz\u00f3r na rozk\u0142ad Bernoulliego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Je\u015bli <em>p<\/em> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia \u201esukcesu\u201d, prawdopodobie\u0144stwo rozk\u0142adu Bernoulliego jest r\u00f3wne <em>p<\/em> podniesione do <em>x<\/em> pomno\u017cone przez <em>1-p<\/em> podniesione do <em>1-x<\/em> . Zatem <strong>prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu Bernoulliego mo\u017cna obliczy\u0107 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wzoru<\/strong> : <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/formule-de-distribution-bernouilli.png\" alt=\"Wz\u00f3r na rozk\u0142ad Bernoulliego\" class=\"wp-image-4403\" width=\"266\" height=\"210\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w rozk\u0142adzie Bernoulliego warto\u015b\u0107 <em>x<\/em> mo\u017ce wynosi\u0107 tylko 0 (pora\u017cka) lub 1 (sukces).<\/p>\n<p> Z drugiej strony poprzedni wz\u00f3r mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c zapisa\u0107 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego r\u00f3wnowa\u017cnego wyra\u017cenia: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec9d35bd206499e27579d7c65d915a67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" \\displaystyle P[X=x]=\\left\\{\\begin{array}{ll}1-p &amp; \\text{si } x=0\\\\[2ex]p&amp; \\text{si } x=1\\end{array}\\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"237\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-distribucion-de-bernoulli\"><\/span> Przyk\u0142ad rozk\u0142adu Bernoulliego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Teraz, gdy znamy ju\u017c definicj\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i jego wz\u00f3r, przyjrzyjmy si\u0119 konkretnemu przyk\u0142adowi rozk\u0142adu Bernoulliego.<\/p>\n<ul>\n<li> Aby wygra\u0107 gr\u0119, gracz musi rzuci\u0107 kostk\u0105 i uzyska\u0107 2, w przeciwnym razie inny gracz wygra gr\u0119 i dlatego gra zostanie przegrana. Oblicz prawdopodobie\u0144stwo sukcesu i pora\u017cki.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Na ko\u015bci mo\u017cna uzyska\u0107 sze\u015b\u0107 mo\u017cliwych wynik\u00f3w (1, 2, 3, 4, 5, 6), wi\u0119c w tym przypadku przestrze\u0144 pr\u00f3bki w eksperymencie wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3ad0ac057b6cd7e3d3db78b556249a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W naszym przypadku jedynym sukcesem jest zdobycie liczby dwa, wi\u0119c prawdopodobie\u0144stwo sukcesu przy zastosowaniu regu\u0142y Laplace&#8217;a jest r\u00f3wne jeden podzielone przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 mo\u017cliwych wynik\u00f3w (6):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3edc23a0939657deeeed11600ba29be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p=\\cfrac{1}{6}=0,1667\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z drugiej strony, je\u015bli podczas rzutu kostk\u0105 pojawi si\u0119 inna liczba, wynik eksperymentu zostanie uznany za pora\u017ck\u0119, poniewa\u017c gracz przegra gr\u0119. Zatem prawdopodobie\u0144stwo to jest r\u00f3wne jeden minus prawdopodobie\u0144stwo obliczone wcze\u015bniej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e227d2af05b593a352cc6cbd5481469c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"q=1-p=1-\\cfrac{1}{6}=\\cfrac{5}{6}=0,8333\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, rozk\u0142ad Bernoulliego tego do\u015bwiadczenia definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wyra\u017cenia:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-440d054ce5c566fe8dd15f52c5f32059_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" \\displaystyle P[X=x]=\\left\\{\\begin{array}{ll}\\cfrac{5}{6} &amp; \\text{si } x=0\\\\[4ex]\\cfrac{1}{6} &amp; \\text{si } x=1\\end{array}\\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"209\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jak wida\u0107 poni\u017cej, prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu Bernoulliego mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c wyznaczy\u0107, stosuj\u0105c wz\u00f3r pokazany powy\u017cej: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbe5fae22a9fc6271a376d76e7149c7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[X=x]=p^x\\cdot (1-p)^{1-x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-847c03e1b95832f2100baaaf984bad98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=0]=\\left(\\frac{1}{6}\\right)^0\\cdot \\left(1-\\frac{1}{6}\\right)^{1-0}=\\cfrac{5}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2925f101c2a1cf6f9a5690b79265ba2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=1]=\\left(\\frac{1}{6}\\right)^1\\cdot \\left(1-\\frac{1}{6}\\right)^{1-1}=\\cfrac{1}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-de-bernoulli\"><\/span> Charakterystyka rozk\u0142adu Bernoulliego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Poni\u017cej przedstawiono najwa\u017cniejsze cechy rozk\u0142adu Bernoulliego.<\/p>\n<ul>\n<li> Rozk\u0142ad Bernoulliego mo\u017ce przyjmowa\u0107 tylko warto\u015b\u0107 1 (sukces) lub 0 (pora\u017cka).<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68118c3a558ed7a1de8983eda3baee86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=\\{0\\ ; 1\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> \u015arednia rozk\u0142adu Bernoulliego jest r\u00f3wna prawdopodobie\u0144stwu wyst\u0105pienia wyniku \u201esukcesu\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b30550c767b243e13eaa5e05058cf40_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E[X]=p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wariancj\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego mo\u017cna obliczy\u0107 mno\u017c\u0105c prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia wyniku \u201esukces\u201d i \u201epora\u017cka\u201d. Lub, r\u00f3wnowa\u017cnie, wariancja wynosi <em>p<\/em> razy <em>1-p<\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8dd0da3524a93c4fc809dc9a7f8f9d8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=p\\cdot q=p\\cdot (1-p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Warto\u015b\u0107 trybu rozk\u0142adu Bernoulliego zale\u017cy od prawdopodobie\u0144stw \u201esukcesu\u201d i \u201epora\u017cki\u201d. Zatem spos\u00f3b tego typu rozk\u0142adu definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wyra\u017cenia:<\/li>\n<\/ul>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\displaystyle Mo=\\left\\{\\begin{array}{ll}0 &amp; \\text{si } q&gt;p\\\\[2ex]0 \\ ;1 &amp; \\text{si } q=p\\\\[2ex] 1 &amp; \\text{si } q&lt;ul&gt;&lt;li&gt; The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:&lt;\/li&gt;&lt;\/ul&gt;[latex] \\displaystyle P[X=x]= \\left\\{\\begin{array}{ll}1-p &amp; \\text{si } x=0\\\\[2ex]p&amp; \\text{si } x=1\\end{array}\\right.\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\displaystyle\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...&gt; The formula for the probability function\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\nleading text: \\end{document}\nImproper \\prevdepth.\nleading text: \\end{document}\nMissing $ inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing } inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing \\cr inserted.\nleading text: \\end{document}\nMissing $ inserted.\nleading text: \\end{document}\nYou can't use `\\end' in internal vertical mode.\nleading text: \\end{document}\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\nleading text: \\end{document}\nMissing } inserted.\nleading text: \\end{document}\nEmergency stop.\n\n<\/pre>\n<ul>\n<li> Natomiast skumulowan\u0105 funkcj\u0119 prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu Bernoulliego definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wyra\u017cenia:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e88fb8ab304bedd415fc2733481b681_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" \\displaystyle P[X\\leq x]=\\left\\{\\begin{array}{ll}0 &amp; \\text{si } x<0\\\\[2ex]1-p&amp; \\text{si }0 \\leq x<1\\\\[2ex]1 &amp; \\text{si } x\\geq 1\\end{array}\\right.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"269\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wsp\u00f3\u0142czynnik asymetrii rozk\u0142adu Bernoulliego oblicza si\u0119 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wyra\u017cenia:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a40989786a746b4be0d58885a7b1105c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\cfrac{q-p}{\\sqrt{p\\cdot q}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -18px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Podobnie kurtoza rozk\u0142adu Bernoulliego zale\u017cy od warto\u015bci parametru <em>p<\/em> i mo\u017cna j\u0105 wyznaczy\u0107, stosuj\u0105c nast\u0119puj\u0105cy wz\u00f3r: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80241858133afe551b9687ce4131b180_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C=\\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"distribucion-de-bernoulli-y-distribucion-binomial\"><\/span> Rozk\u0142ad Bernoulliego i rozk\u0142ad dwumianowy<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W tej sekcji zobaczymy r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy rozk\u0142adem Bernoulliego a rozk\u0142adem dwumianowym, poniewa\u017c s\u0105 to dwa rodzaje powi\u0105zanych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa.<\/p>\n<p> <strong>Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> liczy liczb\u0119 \u201eudanych\u201d wynik\u00f3w uzyskanych ze zbioru pr\u00f3b Bernoulliego. Te eksperymenty Bernoulliego musz\u0105 by\u0107 niezale\u017cne, ale musz\u0105 mie\u0107 takie samo prawdopodobie\u0144stwo powodzenia.<\/p>\n<p> Dlatego <strong>rozk\u0142ad dwumianowy jest sum\u0105 zbioru zmiennych zgodnych z rozk\u0142adem Bernoulliego<\/strong> , wszystkich zdefiniowanych przez ten sam parametr <em>p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e63ec0d7ac64de1089ca7509233c30aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X_i\\sim \\text{Bernoulli}(p)\\\\[2ex]\\displaystyle \\sum_{i=1}^nX_i\\sim \\text{Bin}(n,p)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem w rozk\u0142adzie Bernoulliego wyst\u0119puje tylko jeden eksperyment Bernoulliego, natomiast w rozk\u0142adzie dwumianowym wyst\u0119puje ci\u0105g eksperyment\u00f3w Bernoulliego.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego i jaki jest jego wz\u00f3r. Dodatkowo znajdziesz w nim w\u0142a\u015bciwo\u015bci rozk\u0142adu Bernoulliego oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie pozwalaj\u0105ce lepiej zrozumie\u0107 jego znaczenie. Co to jest rozk\u0142ad Bernoulliego? Rozk\u0142ad Bernoulliego , znany r\u00f3wnie\u017c jako rozk\u0142ad dychotomiczny , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa reprezentuj\u0105cy zmienn\u0105 dyskretn\u0105, kt\u00f3ra mo\u017ce mie\u0107 tylko dwa wyniki: \u201esukces\u201d [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-219","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-04T00:49:55+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/\",\"name\":\"\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-04T00:49:55+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-04T00:49:55+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Rozk\u0142ad bernoulliego\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego","description":"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego","og_description":"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-04T00:49:55+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/","name":"\u25b7 Rozk\u0142ad Bernoulliego","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-04T00:49:55+00:00","dateModified":"2023-08-04T00:49:55+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz czym jest rozk\u0142ad Bernoulliego, jego wz\u00f3r, charakterystyk\u0119 rozk\u0142adu Bernoulliego i konkretny przyk\u0142ad.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-bernoulliego\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Rozk\u0142ad bernoulliego"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/219","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=219"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/219\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=219"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=219"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=219"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}