{"id":230,"date":"2023-08-03T20:59:59","date_gmt":"2023-08-03T20:59:59","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/"},"modified":"2023-08-03T20:59:59","modified_gmt":"2023-08-03T20:59:59","slug":"rozklad-dwumianowy-ujemny-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/","title":{"rendered":"Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz tu r\u00f3wnie\u017c wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, konkretny przyk\u0142ad i w\u0142a\u015bciwo\u015bci tego typu rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa. Wreszcie, za pomoc\u0105 kalkulatora internetowego b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 obliczy\u0107 dowolne prawdopodobie\u0144stwo ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Co to jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego wymaganych do uzyskania danej liczby pozytywnych wynik\u00f3w.<\/p>\n<p> Dlatego ujemny rozk\u0142ad dwumianowy ma dwa charakterystyczne parametry: <em>r<\/em> to liczba po\u017c\u0105danych pomy\u015blnych wynik\u00f3w, a <em>p<\/em> to prawdopodobie\u0144stwo sukcesu dla ka\u017cdego przeprowadzonego eksperymentu Bernoulliego.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim \\text{BN}(r,p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Pami\u0119taj, \u017ce test Bernoulliego to eksperyment, kt\u00f3ry ma dwa mo\u017cliwe wyniki: \u201esukces\u201d i \u201epora\u017ck\u0119\u201d. Zatem je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo \u201esukcesu\u201d wynosi <em>p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo \u201epora\u017cki\u201d wynosi <em>q=1-p<\/em> .<\/p>\n<p> Zatem ujemny rozk\u0142ad dwumianowy definiuje proces, w kt\u00f3rym przeprowadza si\u0119 tyle pr\u00f3b Bernoulliego, ile potrzeba do uzyskania pozytywnych <em>wynik\u00f3w<\/em> . Co wi\u0119cej, wszystkie te pr\u00f3by Bernoulliego s\u0105 niezale\u017cne i maj\u0105 sta\u0142e prawdopodobie\u0144stwo <em>powodzenia<\/em> .<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad zmienna losowa, kt\u00f3ra ma ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, oznacza, ile razy nale\u017cy rzuci\u0107 kostk\u0105, aby trzykrotnie wyrzucono liczb\u0119 6.<\/p>\n<p> R\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy ujemnym rozk\u0142adem dwumianowym a rozk\u0142adem dwumianowym polega na tym, \u017ce ujemny rozk\u0142ad dwumianowy liczy, ile razy potrzeba, aby uzyska\u0107 okre\u015blon\u0105 liczb\u0119 pomy\u015blnych wynik\u00f3w, podczas gdy rozk\u0142ad dwumianowy liczy liczb\u0119 udanych przypadk\u00f3w w serii test\u00f3w Bernoulliego. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-dwumianowy-1\/\">Co to jest rozk\u0142ad dwumianowy?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Wz\u00f3r na rozk\u0142ad ujemny dwumianowy<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bior\u0105c pod uwag\u0119 parametry <em>r, p, x,<\/em> prawdopodobie\u0144stwo ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego oblicza si\u0119, mno\u017c\u0105c liczb\u0119 kombinatoryczn\u0105 <em>x-1<\/em> w <em>xr<\/em> przez <em>(1-p) <sup>xr<\/sup><\/em> przez <em>p <sup>r<\/sup><\/em> .<\/p>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na obliczenie prawdopodobie\u0144stwa ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/formule-de-distribution-binomiale-negative.png\" alt=\"Wz\u00f3r na rozk\u0142ad ujemny dwumianowy\" class=\"wp-image-4813\" width=\"318\" height=\"319\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zmiennej o ujemnym rozk\u0142adzie dwumianowym.<\/u> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicio-resuelto-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenie ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce je\u015bli rzucisz monet\u0105 osiem razy, to w \u00f3smym rzucie wypadnie reszka za czwartym razem?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Najpierw musimy obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a podczas rzucania monet\u0105. W tym przypadku mamy tylko jeden pozytywny wynik (reszka) z dw\u00f3ch mo\u017cliwych wynik\u00f3w (reszka i reszka), wi\u0119c prawdopodobie\u0144stwo sukcesu wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdceac6409b69d142f23801ec85e2691_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem zmienna losowa w tym problemie ma ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, gdzie r=4 i p=0,5. Dlatego u\u017cywamy wzoru ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa wymaganego w \u0107wiczeniu. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc56100604e5889a6d169c0395f19ebe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P[X=x]&amp;=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\\\\[2ex]\\displaystyle P[X=8]&amp;=\\begin{pmatrix}8-1\\\\ 8-4\\end{pmatrix}\\cdot (1-0,5)^{8-4}\\cdot 0,5^4\\\\[2ex] P[X=8]&amp;=0,1367\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Charakterystyka ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Poni\u017cej znajduj\u0105 si\u0119 najwa\u017cniejsze cechy ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego.<\/p>\n<ul>\n<li> Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy jest definiowany przez dwa charakterystyczne parametry: <em>r<\/em> jest liczb\u0105 po\u017c\u0105danych pomy\u015blnych wynik\u00f3w, a <em>p<\/em> jest prawdopodobie\u0144stwem sukcesu dla ka\u017cdego przeprowadzonego eksperymentu Bernoulliego.<\/li>\n<\/ul>\n<pre class=\"ql-errors\"> *** QuickLaTeX cannot compile formula:\n\\begin{array}{c}r\\in \\mathbb{Z}^+ \\\\[2ex] 0 &lt;ul&gt;&lt;li&gt; The mean of the negative binomial distribution is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided by &lt;em&gt;p&lt;\/em&gt; . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: &lt;\/li&gt;&lt;\/ul&gt;[latex]E[X]=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p}\n\n*** Error message:\nMissing $ inserted.\nleading text: \\begin{array}{c}\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...The mean of the binomial distribution born\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ... the negative binomial distribution is\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...negative binomial distribution is equal to\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...gative is equal to &lt;em&gt;r&lt;\/em&gt; multiplied\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...m&gt; multiplied by &lt;em&gt;(1-p)&lt;\/em&gt; and divided\nPlease use \\mathaccent for accents in math mode.\nleading text: ...the mean of a binomial distribution born\n\\begin{array} on input line 8 ended by \\end{document}.\n\n<\/pre>\n<ul>\n<li> Wariancja ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego jest r\u00f3wna <em>r<\/em> pomno\u017conym przez <em>(1-p)<\/em> podzielonym przez <em>p <sup>2<\/sup><\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c82d66018d0715f20318f383cf7c04c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=\\cfrac{r\\cdot (1-p)}{p^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u017celi parametr <em>r<\/em> jest wi\u0119kszy od 1, posta\u0107 ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego mo\u017cna obliczy\u0107 ze wzoru:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-600d3f94b3cd3927f264450bcd043a86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lfloor \\frac{(r-1)(1-p)}{p}\\rfloor\\quad \\text{para }r>1&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;42&#8243; width=&#8221;221&#8243; style=&#8221;vertical-align: -16px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Funkcja masy pozwalaj\u0105ca okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego jest nast\u0119puj\u0105ca:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beafc8c08e7aad51059349dfd2addd5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P[X=x]=\\begin{pmatrix}x-1\\\\ x-r\\end{pmatrix}\\cdot (1-p)^{x-r}\\cdot p^r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wsp\u00f3\u0142czynnik sko\u015bno\u015bci ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego oblicza si\u0119 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wyra\u017cenia:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc0a97cdf77d4dd439c71cf8637e53c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{2-p}{\\sqrt{r\\,(1-p)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Kurtoz\u0119 ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego mo\u017cna znale\u017a\u0107 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wzoru:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-510199601f8ac60aa64008f00d959562_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\frac{6}{r} + \\frac{p^2}{r\\,(1-p)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u017celi parametr <em>r<\/em> jest r\u00f3wny 1, to mamy przypadek <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-geometryczny\/\">rozk\u0142adu geometrycznego<\/a> . <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24bb5ef017a69a1a9de1e07f32412fcc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r=1 \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad X\\sim \\text{Geometrica}(p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-distribucion-binomial-negativa\"><\/span> Kalkulator ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wprowad\u017a warto\u015bci parametr\u00f3w <em>r, p, x<\/em> do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo. Nale\u017cy wprowadzi\u0107 liczby, u\u017cywaj\u0105c kropki jako separatora dziesi\u0119tnego, na przyk\u0142ad 0,50.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Liczba pomy\u015blnych wynik\u00f3w <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2060a909f2905bcbe83f8fe9152c2284_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"r\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de r aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67f693705a2e492d8981f0ed1387c3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"prob\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de p aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Ca\u0142kowita liczba przeprowadzonych eksperyment\u00f3w <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04ae6e91e4423afa96cc9b717c007c88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"28\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"xigual\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el valor de x aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Oblicz prawdopodobie\u0144stwo\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz tu r\u00f3wnie\u017c wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, konkretny przyk\u0142ad i w\u0142a\u015bciwo\u015bci tego typu rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa. Wreszcie, za pomoc\u0105 kalkulatora internetowego b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 obliczy\u0107 dowolne prawdopodobie\u0144stwo ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego. Co to jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy? Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy to rozk\u0142ad [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-230","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-03T20:59:59+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/\",\"name\":\"\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-03T20:59:59+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-03T20:59:59+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","og_description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-03T20:59:59+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/","name":"\u25b7 Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-03T20:59:59+00:00","dateModified":"2023-08-03T20:59:59+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest ujemny rozk\u0142ad dwumianowy i do czego si\u0119 go stosuje. Znajdziesz tu tak\u017ce wz\u00f3r na ujemny rozk\u0142ad dwumianowy a \u2705","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-ujemny-1\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/230","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=230"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/230\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=230"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=230"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=230"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}