{"id":231,"date":"2023-08-03T20:48:38","date_gmt":"2023-08-03T20:48:38","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/"},"modified":"2023-08-03T20:48:38","modified_gmt":"2023-08-03T20:48:38","slug":"rozklad-dwumianowy-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/","title":{"rendered":"Rozk\u0142ad dwumianowy"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz zatem definicj\u0119 rozk\u0142adu dwumianowego, przyk\u0142ady rozk\u0142ad\u00f3w dwumianowych oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bci tego typu rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa. Dodatkowo b\u0119dziesz w stanie obliczy\u0107 dowolne prawdopodobie\u0144stwo rozk\u0142adu dwumianowego za pomoc\u0105 kalkulatora online. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-distribucion-binomial\"><\/span> Co to jest rozk\u0142ad dwumianowy?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry oblicza liczb\u0119 sukces\u00f3w podczas wykonywania serii niezale\u017cnych, dychotomicznych eksperyment\u00f3w ze sta\u0142ym prawdopodobie\u0144stwem sukcesu.<\/p>\n<p> Innymi s\u0142owy, rozk\u0142ad dwumianowy to rozk\u0142ad opisuj\u0105cy liczb\u0119 pomy\u015blnych wynik\u00f3w sekwencji pr\u00f3b Bernoulliego.<\/p>\n<p> Pami\u0119taj, \u017ce test Bernoulliego to eksperyment, kt\u00f3ry ma dwa mo\u017cliwe wyniki: \u201esukces\u201d i \u201epora\u017ck\u0119\u201d. Zatem, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo \u201esukcesu\u201d wynosi <em>p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo \u201epora\u017cki\u201d wynosi <em>q=1-p<\/em> .<\/p>\n<p> Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 przeprowadzonych eksperyment\u00f3w definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 parametru <em>n<\/em> , natomiast <em>p<\/em> jest prawdopodobie\u0144stwem powodzenia ka\u017cdego eksperymentu. Zatem zmienn\u0105 losow\u0105 o rozk\u0142adzie dwumianowym zapisuje si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim\\text{Bin}(n,p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w rozk\u0142adzie dwumianowym dok\u0142adnie ten sam eksperyment powtarza si\u0119 <em>n<\/em> razy, a eksperymenty s\u0105 od siebie niezale\u017cne, zatem prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu jest takie samo <em>(p)<\/em> .<\/p>\n<p> Rozk\u0142ad dwumianowy mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c nazwa\u0107 <strong>rozk\u0142adem dwumianowym<\/strong> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-distribucion-binomial\"><\/span> Przyk\u0142ady rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kiedy ju\u017c zapoznamy si\u0119 z definicj\u0105 rozk\u0142adu dwumianowego, zobaczymy kilka przyk\u0142ad\u00f3w zmiennych zgodnych z tym typem rozk\u0142adu, aby lepiej zrozumie\u0107 t\u0119 koncepcj\u0119.<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Ile razy wypadnie reszka po rzucie monet\u0105 25 razy.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Liczba strza\u0142\u00f3w oddanych przez koszykarza, gdy 60 razy trafia do kosza z tego samego miejsca.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Ile razy otrzymamy liczb\u0119 6, rzucaj\u0105c kostk\u0105 30 razy.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Liczba zalicze\u0144 na og\u00f3ln\u0105 liczb\u0119 50 uczni\u00f3w przyst\u0119puj\u0105cych do egzaminu.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Liczba wadliwych jednostek w pr\u00f3bie 100 produkt\u00f3w.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-distribucion-binomial\"><\/span> Wz\u00f3r na rozk\u0142ad dwumianowy<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bior\u0105c pod uwag\u0119 parametry <em>x, n, p,<\/em> funkcj\u0119 prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu dwumianowego definiuje si\u0119 jako liczb\u0119 kombinatoryczn\u0105 <em>n<\/em> w <em>x<\/em> razy <em>p <sup>x<\/sup><\/em> razy <em>(1-p) <sup>nx<\/sup><\/em> .<\/p>\n<p> Dlatego <strong>wz\u00f3r na obliczenie prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/distribution-binomiale.png\" alt=\"Wz\u00f3r na rozk\u0142ad dwumianowy\" class=\"wp-image-4636\" width=\"291\" height=\"290\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zmiennej zgodnej z rozk\u0142adem dwumianowym.<\/u><\/p>\n<p> Z drugiej strony skumulowane prawdopodobie\u0144stwo rozk\u0142adu dwumianowego oblicza si\u0119 poprzez dodanie prawdopodobie\u0144stw liczby rozpatrywanych przypadk\u00f3w sukcesu i wszystkich poprzednich prawdopodobie\u0144stw. Zatem wz\u00f3r na obliczenie skumulowanego prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu dwumianowego jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e31ef4ae023b8bf51c0b6816bc787c91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\sum_{k=0}^x\\begin{pmatrix}n\\\\k\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -22px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicio-resuelto-de-la-distribucion-binomial\"><\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenie z rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> Rzucamy monet\u0105 10 razy. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wypadnie 6 or\u0142\u00f3w?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zmienna w tym problemie ma rozk\u0142ad dwumianowy, poniewa\u017c wszystkie starty s\u0105 od siebie niezale\u017cne i maj\u0105 takie samo prawdopodobie\u0144stwo powodzenia.<\/p>\n<p> Konkretnie, prawdopodobie\u0144stwo sukcesu wynosi 50%, poniewa\u017c tylko jeden z dw\u00f3ch mo\u017cliwych wynik\u00f3w uwa\u017ca si\u0119 za sukces.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdceac6409b69d142f23801ec85e2691_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dlatego rozk\u0142ad dla tego \u0107wiczenia jest dwumianowy z \u0142\u0105cznie 10 eksperymentami i prawdopodobie\u0144stwem 0,5.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b460c8983298ba0cf52c05f460905732_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim\\text{Bin}(10 ; 0,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aby wi\u0119c okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia sze\u015bciu or\u0142\u00f3w, musimy zastosowa\u0107 wz\u00f3r na rozk\u0142ad dwumianowy.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17346d59c641378880b734dfe88210f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P[X=x]&amp;=\\begin{pmatrix}n\\\\x\\end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}\\\\[2ex]P[X=6]&amp;=\\begin{pmatrix}10\\\\6\\end{pmatrix}0,5^6(1-0,5)^{10-6}\\\\[2ex]P[X=6]&amp;=0,2051\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"279\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia dok\u0142adnie sze\u015bciu or\u0142\u00f3w w rzucie monet\u0105 dziesi\u0119\u0107 razy wynosi 20,51%. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-distribucion-binomial\"><\/span> Charakterystyka rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Rozk\u0142ad dwumianowy ma nast\u0119puj\u0105ce cechy:<\/p>\n<ul>\n<li> Rozk\u0142ad dwumianowy definiowany jest za pomoc\u0105 dw\u00f3ch parametr\u00f3w: <em>n<\/em> to ca\u0142kowita liczba eksperyment\u00f3w Bernoulliego, a z drugiej strony <em>p<\/em> to prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu Bernoulliego.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd9728a237a5f49107bf14f440620936_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim\\text{Bin}(n,p)\\\\[2ex]n\\geq 0\\\\[2ex]0\\leq p\\leq 1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"93\" width=\"108\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> \u015arednia rozk\u0142adu dwumianowego jest r\u00f3wna iloczynowi ca\u0142kowitej liczby eksperyment\u00f3w pomno\u017conej przez prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu. Dlatego, aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 rozk\u0142adu dwumianowego, nale\u017cy pomno\u017cy\u0107 <em>n<\/em> przez <em>p<\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65db1683dc8790001072c564aadf3631_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E[X]=n\\cdot p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wariancja rozk\u0142adu dwumianowego jest r\u00f3wna ca\u0142kowitej liczbie pr\u00f3b pomno\u017conej przez prawdopodobie\u0144stwo sukcesu i prawdopodobie\u0144stwo niepowodzenia.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-103608d604d211c1bd995dd3f982d11b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=n\\cdot p\\cdot (1-p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wz\u00f3r na funkcj\u0119 prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu dwumianowego jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ab3244961c8b68181859f8a87b2811c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X=x]&amp;=\\begin{pmatrix}n\\\\ x\\end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Podobnie wz\u00f3r na dystrybuant\u0119 rozk\u0142adu dwumianowego wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e31ef4ae023b8bf51c0b6816bc787c91_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[X\\leq x]=\\sum_{k=0}^x\\begin{pmatrix}n\\\\k\\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -22px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Suma dw\u00f3ch niezale\u017cnych rozk\u0142ad\u00f3w dwumianowych o tym samym prawdopodobie\u0144stwie jest r\u00f3wnowa\u017cna rozk\u0142adowi dwumianowemu o tej samej warto\u015bci prawdopodobie\u0144stwa <em>p<\/em> , a <em>n<\/em> b\u0119d\u0105ce sum\u0105 ca\u0142kowitej liczby pr\u00f3b dw\u00f3ch rozk\u0142ad\u00f3w.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbc1a01b2d5654864d688cc46ac3a2e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}X\\sim\\text{Bin}(n,p)\\qquad Y\\sim\\text{Bin}(m,p)\\\\[4ex]Z=X+Y \\sim\\text{Bin}(n+m,p)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"72\" width=\"254\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fed580dc5cfbce19048124974a1fa41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P[Z=z]=\\begin{pmatrix}n+m\\\\z\\end{pmatrix}p^z(1-p)^{n+m-z}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"289\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Rozk\u0142ad Bernoulliego jest szczeg\u00f3lnym przypadkiem rozk\u0142adu dwumianowego, w kt\u00f3rym <em>n=1<\/em> , czyli przeprowadza si\u0119 tylko jedno do\u015bwiadczenie.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-919200bea19252a9f6bee424ad48908d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\sim\\text{Bin}(1,p) \\quad \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\quad X\\sim\\text{Bernoulli}(p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <em><sub>Je\u017celi<\/sub> <sub>X<\/sub><\/em> 1 <em>,<\/em> <em><sub>X<\/sub> <sub>2<\/sub> ,\u2026, X <sub>k<\/sub><\/em> s\u0105 niezale\u017cnymi zmiennymi losowymi takimi, \u017ce <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bc264e1007f09c3701e65ae678115b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\sum_{i=1}^k X_i\\sim \\text{Bin}\\left(\\sum_{i=1}^k n_i,p\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"188\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-distribucion-binomial\"><\/span> Kalkulator rozk\u0142adu dwumianowego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wprowad\u017a warto\u015bci parametr\u00f3w <em>p, n<\/em> i <em>x<\/em> rozk\u0142adu dwumianowego do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo. Musisz wybra\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, kt\u00f3re chcesz obliczy\u0107 i wprowadzi\u0107 liczby, u\u017cywaj\u0105c kropki jako separatora dziesi\u0119tnego, na przyk\u0142ad 0,1667.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e67f693705a2e492d8981f0ed1387c3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"28\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"prob\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce la probabilidad de \u00e9xito de cada experimento aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:20px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Ca\u0142kowita liczba przeprowadzonych eksperyment\u00f3w <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u2192<\/strong><\/span><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17b8c0c4e843e448cbe5846755391d66_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n = \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"29\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><\/span> <input name=\"n\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce el n\u00famero total de experimentos realizados aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:14px; margin-left:5%\"> <span style=\"color:#1C2C92\"><strong>\u27a4<\/strong><\/span> Liczba udanych eksperyment\u00f3w: <\/div>\n<div style=\"margin-bottom:14px; margin-left:10%\"><input name=\"tipoprobabilidad\" type=\"radio\" checked=\"\" value=\"probigual\"><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95a78799e4906daa08ea620a942c61bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X=\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"34\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p><input name=\"xigual\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:14px; margin-left:10%\"><input name=\"tipoprobabilidad\" type=\"radio\" value=\"probcolaizquierda\"><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-305e8313d9decdf3d650c7f6898a8430_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\leq\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p><input name=\"xmenor\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:14px; margin-left:10%\"><input name=\"tipoprobabilidad\" type=\"radio\" value=\"probcoladerecha\"><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8500b9856a735bc31ea1a371fc0fe88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\geq\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p><input name=\"xmayor\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\"><\/div>\n<div style=\"margin-bottom:14px; margin-left:10%\"><input name=\"tipoprobabilidad\" type=\"radio\" value=\"probentre\"><input name=\"xentre1\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\"><\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4459b2c5c9a9dd4efd3c3c155cb80bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\leq X\\leq \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"52\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p><input name=\"xentre2\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:5px;  padding:7px; color:#000000; background-color:#EBF5FB; width:60px\"><\/div>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Oblicz prawdopodobie\u0144stwo\"><\/div>\n<\/form>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz zatem definicj\u0119 rozk\u0142adu dwumianowego, przyk\u0142ady rozk\u0142ad\u00f3w dwumianowych oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bci tego typu rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa. Dodatkowo b\u0119dziesz w stanie obliczy\u0107 dowolne prawdopodobie\u0144stwo rozk\u0142adu dwumianowego za pomoc\u0105 kalkulatora online. Co to jest rozk\u0142ad dwumianowy? Rozk\u0142ad dwumianowy to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry oblicza [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-231","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-03T20:48:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/\",\"name\":\"\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-03T20:48:38+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-03T20:48:38+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Rozk\u0142ad dwumianowy\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","og_description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-03T20:48:38+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/","name":"\u25b7 Rozk\u0142ad dwumianowy \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-03T20:48:38+00:00","dateModified":"2023-08-03T20:48:38+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest rozk\u0142ad dwumianowy w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Znajdziesz wi\u0119c definicj\u0119 dystrybucji \u2705","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy-1\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Rozk\u0142ad dwumianowy"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/231","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=231"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/231\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=231"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=231"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=231"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}