Dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> to rozk\u0142ad definiuj\u0105cy prawdopodobie\u0144stwa dyskretnej zmiennej losowej<\/a> . Dlatego dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa mo\u017ce przyjmowa\u0107 tylko sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 warto\u015bci (zwykle liczb ca\u0142kowitych).<\/p>\n Na przyk\u0142ad rozk\u0142ad dwumianowy, rozk\u0142ad Poissona i rozk\u0142ad hipergeometryczny s\u0105 dyskretnymi rozk\u0142adami prawdopodobie\u0144stwa.<\/p>\n W dyskretnym rozk\u0142adzie prawdopodobie\u0144stwa ka\u017cda warto\u015b\u0107 zmiennej dyskretnej reprezentuj\u0105cej (x i<\/sub> ) jest powi\u0105zana z warto\u015bci\u0105 prawdopodobie\u0144stwa ( pi )<\/sub> mieszcz\u0105c\u0105 si\u0119 w przedziale od 0 do 1. Zatem suma wszystkich prawdopodobie\u0144stw w rozk\u0142adzie dyskretnym daje wynik jeden . <\/p>\n<\/p>\n Teraz, gdy znamy definicj\u0119 dyskretnego rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa, zobaczymy kilka przyk\u0142ad\u00f3w tego typu rozk\u0142adu, aby lepiej zrozumie\u0107 t\u0119 koncepcj\u0119.<\/p>\n Przyk\u0142ady dyskretnych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa:<\/u><\/strong><\/p>\n G\u0142\u00f3wne typy dyskretnych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> to:<\/p>\n Ka\u017cdy typ dyskretnego rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa wyja\u015bniono szczeg\u00f3\u0142owo poni\u017cej. <\/p>\n Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny<\/strong> to dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, w kt\u00f3rym wszystkie warto\u015bci s\u0105 jednakowo prawdopodobne, to znaczy w dyskretnym rozk\u0142adzie r\u00f3wnomiernym wszystkie warto\u015bci maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia.<\/p>\n Na przyk\u0142ad rzut kostk\u0105 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105 dyskretnego r\u00f3wnomiernego rozk\u0142adu, poniewa\u017c wszystkie mo\u017cliwe wyniki (1, 2, 3, 4, 5 lub 6) maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia.<\/p>\n Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny ma dwa charakterystyczne parametry aib<\/em> , kt\u00f3re okre\u015blaj\u0105 zakres mo\u017cliwych warto\u015bci ,<\/em> jakie mo\u017ce przyj\u0105\u0107 rozk\u0142ad. Zatem, gdy zmienna jest zdefiniowana przez dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny, jest zapisywana jako Uniform(a,b)<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny mo\u017cna wykorzysta\u0107 do opisania eksperyment\u00f3w losowych, poniewa\u017c je\u015bli wszystkie wyniki maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo, oznacza to, \u017ce eksperyment jest losowy. <\/p>\n Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/strong> , znany r\u00f3wnie\u017c jako rozk\u0142ad dychotomiczny<\/strong> , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa reprezentuj\u0105cy zmienn\u0105 dyskretn\u0105, kt\u00f3ra mo\u017ce mie\u0107 tylko dwa wyniki: \u201esukces\u201d lub \u201epora\u017cka\u201d.<\/p>\n W rozk\u0142adzie Bernoulliego \u201esukces\u201d jest oczekiwanym przez nas wynikiem i ma warto\u015b\u0107 1, natomiast wynik \u201epora\u017cki\u201d jest wynikiem innym ni\u017c oczekiwany i ma warto\u015b\u0107 0. Zatem, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201e sukces\u201d wynosi p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201epora\u017cki\u201d wynosi q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad Bernoulliego zosta\u0142 nazwany na cze\u015b\u0107 szwajcarskiego statystyka Jacoba Bernoulliego.<\/p>\n W statystyce rozk\u0142ad Bernoulliego ma g\u0142\u00f3wnie jedno zastosowanie: okre\u015blanie prawdopodobie\u0144stw eksperyment\u00f3w, w kt\u00f3rych mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki: sukces i pora\u017cka. Zatem eksperyment wykorzystuj\u0105cy rozk\u0142ad Bernoulliego nazywany jest testem Bernoulliego lub eksperymentem Bernoulliego. <\/p>\n Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> , zwany tak\u017ce rozk\u0142adem dwumianowym<\/strong> , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry liczy liczb\u0119 sukces\u00f3w podczas wykonywania serii niezale\u017cnych, dychotomicznych eksperyment\u00f3w ze sta\u0142ym prawdopodobie\u0144stwem sukcesu. Innymi s\u0142owy, rozk\u0142ad dwumianowy to rozk\u0142ad opisuj\u0105cy liczb\u0119 pomy\u015blnych wynik\u00f3w sekwencji pr\u00f3b Bernoulliego.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba wyrzuconych reszek na monecie 25 razy jest rozk\u0142adem dwumianowym.<\/p>\n Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 przeprowadzonych eksperyment\u00f3w definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 parametru n<\/em> , natomiast p<\/em> jest prawdopodobie\u0144stwem powodzenia ka\u017cdego eksperymentu. Zatem zmienn\u0105 losow\u0105 o rozk\u0142adzie dwumianowym zapisuje si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/p>\n<\/p>\n Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w rozk\u0142adzie dwumianowym dok\u0142adnie ten sam eksperyment powtarza si\u0119 n<\/em> razy, a eksperymenty s\u0105 od siebie niezale\u017cne, zatem prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu jest takie samo (p)<\/em> . <\/p>\n Rozk\u0142ad Poissona<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry okre\u015bla prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia danej liczby zdarze\u0144 w pewnym okresie czasu. Innymi s\u0142owy, rozk\u0142ad Poissona s\u0142u\u017cy do modelowania zmiennych losowych opisuj\u0105cych liczb\u0119 powt\u00f3rze\u0144 zjawiska w danym przedziale czasu.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba po\u0142\u0105cze\u0144 odbieranych przez central\u0119 telefoniczn\u0105 na minut\u0119 jest dyskretn\u0105 zmienn\u0105 losow\u0105, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105 rozk\u0142adu Poissona.<\/p>\n Rozk\u0142ad Poissona ma charakterystyczny parametr, oznaczony greck\u0105 liter\u0105 \u03bb, kt\u00f3ry wskazuje, ile razy przewidywane jest wyst\u0105pienie badanego zdarzenia w danym przedziale. <\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad wielomianowy<\/strong> (lub rozk\u0142ad wielomianowy<\/strong> ) to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia kilku wzajemnie wykluczaj\u0105cych si\u0119 zdarze\u0144 okre\u015blon\u0105 liczb\u0119 razy po kilku pr\u00f3bach.<\/p>\n Oznacza to, \u017ce je\u015bli w wyniku losowego eksperymentu mog\u0105 zaistnie\u0107 trzy lub wi\u0119cej wykluczaj\u0105cych si\u0119 zdarze\u0144 i znane jest prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia z osobna, do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce po przeprowadzeniu wielu eksperyment\u00f3w wyst\u0105pi okre\u015blona liczba zdarze\u0144, stosuje si\u0119 rozk\u0142ad wielomianowy. czas za ka\u017cdym razem.<\/p>\n Rozk\u0142ad wielomianowy jest zatem uog\u00f3lnieniem rozk\u0142adu dwumianowego. <\/p>\n Rozk\u0142ad geometryczny<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry okre\u015bla liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego wymaganych do uzyskania pierwszego pomy\u015blnego wyniku. Oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad geometryczny modeluje procesy, w kt\u00f3rych eksperymenty Bernoulliego s\u0105 powtarzane, a\u017c jeden z nich uzyska pozytywny wynik.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba samochod\u00f3w przeje\u017cd\u017caj\u0105cych drog\u0105 do momentu zobaczenia \u017c\u00f3\u0142tego samochodu to rozk\u0142ad geometryczny.<\/p>\n Pami\u0119taj, \u017ce test Bernoulliego to eksperyment, kt\u00f3ry ma dwa mo\u017cliwe wyniki: \u201esukces\u201d i \u201epora\u017ck\u0119\u201d. Zatem je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo \u201esukcesu\u201d wynosi p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo \u201epora\u017cki\u201d wynosi q=1-p<\/em> .<\/p>\n Rozk\u0142ad geometryczny zale\u017cy zatem od parametru p<\/em> , kt\u00f3ry oznacza prawdopodobie\u0144stwo powodzenia wszystkich przeprowadzonych eksperyment\u00f3w. Co wi\u0119cej, prawdopodobie\u0144stwo p<\/em> jest takie samo dla wszystkich eksperyment\u00f3w. <\/p>\n<\/p>\n Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego wymaganych do uzyskania danej liczby pozytywnych wynik\u00f3w.<\/p>\n Dlatego ujemny rozk\u0142ad dwumianowy ma dwa charakterystyczne parametry: r<\/em> to liczba po\u017c\u0105danych pomy\u015blnych wynik\u00f3w, a p<\/em> to prawdopodobie\u0144stwo sukcesu dla ka\u017cdego przeprowadzonego eksperymentu Bernoulliego.<\/p>\n<\/p>\n Zatem ujemny rozk\u0142ad dwumianowy definiuje proces, w kt\u00f3rym przeprowadza si\u0119 tyle pr\u00f3b Bernoulliego, ile potrzeba do uzyskania pozytywnych wynik\u00f3w<\/em> . Co wi\u0119cej, wszystkie te pr\u00f3by Bernoulliego s\u0105 niezale\u017cne i maj\u0105 sta\u0142e prawdopodobie\u0144stwo powodzenia<\/em> .<\/p>\n Na przyk\u0142ad zmienna losowa, kt\u00f3ra ma ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, oznacza, ile razy nale\u017cy rzuci\u0107 kostk\u0105, aby liczba 6 zosta\u0142a wyrzucona trzykrotnie. <\/p>\n Rozk\u0142ad hipergeometryczny<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy liczb\u0119 pomy\u015blnych przypadk\u00f3w w losowej ekstrakcji bez zast\u0119powania n<\/em> element\u00f3w z populacji.<\/p>\n Oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad hipergeometryczny s\u0142u\u017cy do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa uzyskania x<\/em> sukces\u00f3w podczas wyodr\u0119bniania n<\/em> element\u00f3w z populacji bez zast\u0119powania \u017cadnego z nich.<\/p>\n Dlatego rozk\u0142ad hipergeometryczny ma trzy parametry:<\/p>\n![\"\\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-115362012319df0fa040b1606f0cf461_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Przyk\u0142ady dyskretnych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Rodzaje dyskretnych rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny<\/span><\/h3>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9977cf21c766a3d0ee2d79c8210dc598_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/span><\/h3>\n
![\"\\begin{array}{c}X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad dwumianowy<\/span><\/h3>\n
![\"X\\sim\\text{Bin}(n,p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Dystrybucja ryb<\/span><\/h3>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be6e10a2b0137ec81fc7d366f237d1b2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad wielomianowy<\/span><\/h3>\n
<\/span>Rozk\u0142ad geometryczny<\/span><\/h3>\n
![\"X\\sim\\text{Geom\\'etrica}(p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fef9b6ab8e3b351598caf9925c2b3f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/span><\/h3>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad hipergeometryczny<\/span><\/h3>\n
\n
![\"X](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd43d7c14739c66e63b224abf6cc20b3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n