Rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> jest funkcj\u0105 okre\u015blaj\u0105c\u0105 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdej warto\u015bci zmiennej losowej<\/a> . M\u00f3wi\u0105c najpro\u015bciej, rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa jest funkcj\u0105 matematyczn\u0105 opisuj\u0105c\u0105 prawdopodobie\u0144stwa wszystkich mo\u017cliwych wynik\u00f3w losowego eksperymentu.<\/p>\n Na przyk\u0142ad niech<\/p>\n Dlatego rozk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa s\u0105 cz\u0119sto stosowane w teorii prawdopodobie\u0144stwa i statystyce, poniewa\u017c s\u0142u\u017c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw r\u00f3\u017cnych zdarze\u0144 w przestrzeni pr\u00f3bki<\/a> . <\/p>\n Rozk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa mo\u017cna podzieli\u0107 na dwa szerokie typy: rozk\u0142ady dyskretne i rozk\u0142ady ci\u0105g\u0142e.<\/p>\n Dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> to rozk\u0142ad definiuj\u0105cy prawdopodobie\u0144stwa dyskretnej zmiennej losowej. Dlatego dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa mo\u017ce przyjmowa\u0107 tylko sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 warto\u015bci (zwykle warto\u015bci ca\u0142kowite). <\/p>\n Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny<\/strong> to dyskretny rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, w kt\u00f3rym wszystkie warto\u015bci s\u0105 jednakowo prawdopodobne, to znaczy w dyskretnym rozk\u0142adzie r\u00f3wnomiernym wszystkie warto\u015bci maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia.<\/p>\n Na przyk\u0142ad rzut kostk\u0105 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105 dyskretnego r\u00f3wnomiernego rozk\u0142adu, poniewa\u017c wszystkie mo\u017cliwe wyniki (1, 2, 3, 4, 5 lub 6) maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia.<\/p>\n Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny ma dwa charakterystyczne parametry aib<\/em> , kt\u00f3re okre\u015blaj\u0105 zakres mo\u017cliwych warto\u015bci ,<\/em> jakie mo\u017ce przyj\u0105\u0107 rozk\u0142ad. Zatem, gdy zmienna jest zdefiniowana przez dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny, jest zapisywana jako Uniform(a,b)<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny mo\u017cna wykorzysta\u0107 do opisania eksperyment\u00f3w losowych, poniewa\u017c je\u015bli wszystkie wyniki maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo, oznacza to, \u017ce eksperyment jest losowy. <\/p>\n Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/strong> , znany r\u00f3wnie\u017c jako rozk\u0142ad dychotomiczny<\/strong> , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa reprezentuj\u0105cy zmienn\u0105 dyskretn\u0105, kt\u00f3ra mo\u017ce mie\u0107 tylko dwa wyniki: \u201esukces\u201d lub \u201epora\u017cka\u201d.<\/p>\n W rozk\u0142adzie Bernoulliego \u201esukces\u201d jest oczekiwanym przez nas wynikiem i ma warto\u015b\u0107 1, natomiast wynik \u201epora\u017cki\u201d jest wynikiem innym ni\u017c oczekiwany i ma warto\u015b\u0107 0. Zatem, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201e sukces\u201d wynosi p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo wyniku \u201epora\u017cki\u201d wynosi q=1-p<\/em> .<\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad Bernoulliego zosta\u0142 nazwany na cze\u015b\u0107 szwajcarskiego statystyka Jacoba Bernoulliego.<\/p>\n W statystyce rozk\u0142ad Bernoulliego ma g\u0142\u00f3wnie jedno zastosowanie: okre\u015blanie prawdopodobie\u0144stw eksperyment\u00f3w, w kt\u00f3rych mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki: sukces i pora\u017cka. Zatem eksperyment wykorzystuj\u0105cy rozk\u0142ad Bernoulliego nazywany jest testem Bernoulliego lub eksperymentem Bernoulliego. <\/p>\n Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> , zwany tak\u017ce rozk\u0142adem dwumianowym<\/strong> , to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry liczy liczb\u0119 sukces\u00f3w podczas wykonywania serii niezale\u017cnych, dychotomicznych eksperyment\u00f3w ze sta\u0142ym prawdopodobie\u0144stwem sukcesu. Innymi s\u0142owy, rozk\u0142ad dwumianowy to rozk\u0142ad opisuj\u0105cy liczb\u0119 pomy\u015blnych wynik\u00f3w sekwencji pr\u00f3b Bernoulliego.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba \u201ereszek\u201d pojawiaj\u0105cych si\u0119 po 25-krotnym rzucie monet\u0105 jest rozk\u0142adem dwumianowym.<\/p>\n Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 przeprowadzonych eksperyment\u00f3w definiuje si\u0119 za pomoc\u0105 parametru n<\/em> , natomiast p<\/em> jest prawdopodobie\u0144stwem powodzenia ka\u017cdego eksperymentu. Zatem zmienn\u0105 losow\u0105 o rozk\u0142adzie dwumianowym zapisuje si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/p>\n<\/p>\n Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w rozk\u0142adzie dwumianowym dok\u0142adnie ten sam eksperyment powtarza si\u0119 n<\/em> razy, a eksperymenty s\u0105 od siebie niezale\u017cne, zatem prawdopodobie\u0144stwo powodzenia ka\u017cdego eksperymentu jest takie samo (p)<\/em> . <\/p>\n Rozk\u0142ad Poissona<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry okre\u015bla prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia danej liczby zdarze\u0144 w pewnym okresie czasu. Innymi s\u0142owy, rozk\u0142ad Poissona s\u0142u\u017cy do modelowania zmiennych losowych opisuj\u0105cych liczb\u0119 powt\u00f3rze\u0144 zjawiska w danym przedziale czasu.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba po\u0142\u0105cze\u0144 odbieranych przez central\u0119 telefoniczn\u0105 na minut\u0119 jest dyskretn\u0105 zmienn\u0105 losow\u0105, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105 rozk\u0142adu Poissona.<\/p>\n Rozk\u0142ad Poissona ma charakterystyczny parametr, oznaczony greck\u0105 liter\u0105 \u03bb, kt\u00f3ry wskazuje, ile razy przewidywane jest wyst\u0105pienie badanego zdarzenia w danym przedziale. <\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad wielomianowy<\/strong> (lub rozk\u0142ad wielomianowy<\/strong> ) to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia kilku wzajemnie wykluczaj\u0105cych si\u0119 zdarze\u0144 okre\u015blon\u0105 liczb\u0119 razy po kilku pr\u00f3bach.<\/p>\n Oznacza to, \u017ce je\u015bli w wyniku losowego eksperymentu mog\u0105 zaistnie\u0107 trzy lub wi\u0119cej wykluczaj\u0105cych si\u0119 zdarze\u0144 i znane jest prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia z osobna, do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce po przeprowadzeniu wielu eksperyment\u00f3w wyst\u0105pi okre\u015blona liczba zdarze\u0144, stosuje si\u0119 rozk\u0142ad wielomianowy. czas za ka\u017cdym razem.<\/p>\n Rozk\u0142ad wielomianowy jest zatem uog\u00f3lnieniem rozk\u0142adu dwumianowego. <\/p>\n Rozk\u0142ad geometryczny<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3ry okre\u015bla liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego wymaganych do uzyskania pierwszego pomy\u015blnego wyniku. Oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad geometryczny modeluje procesy, w kt\u00f3rych eksperymenty Bernoulliego s\u0105 powtarzane, a\u017c jeden z nich uzyska pozytywny wynik.<\/p>\n Na przyk\u0142ad liczba samochod\u00f3w przeje\u017cd\u017caj\u0105cych autostrad\u0105 do momentu zobaczenia \u017c\u00f3\u0142tego samochodu to rozk\u0142ad geometryczny.<\/p>\n Pami\u0119taj, \u017ce test Bernoulliego to eksperyment, kt\u00f3ry ma dwa mo\u017cliwe wyniki: \u201esukces\u201d i \u201epora\u017ck\u0119\u201d. Zatem je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo \u201esukcesu\u201d wynosi p<\/em> , prawdopodobie\u0144stwo \u201epora\u017cki\u201d wynosi q=1-p<\/em> .<\/p>\n Rozk\u0142ad geometryczny zale\u017cy zatem od parametru p<\/em> , kt\u00f3ry oznacza prawdopodobie\u0144stwo powodzenia wszystkich przeprowadzonych eksperyment\u00f3w. Co wi\u0119cej, prawdopodobie\u0144stwo p<\/em> jest takie samo dla wszystkich eksperyment\u00f3w. <\/p>\n<\/p>\n Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego wymaganych do uzyskania danej liczby pozytywnych wynik\u00f3w.<\/p>\n Dlatego ujemny rozk\u0142ad dwumianowy ma dwa charakterystyczne parametry: r<\/em> to liczba po\u017c\u0105danych pomy\u015blnych wynik\u00f3w, a p<\/em> to prawdopodobie\u0144stwo sukcesu dla ka\u017cdego przeprowadzonego eksperymentu Bernoulliego.<\/p>\n<\/p>\n Zatem ujemny rozk\u0142ad dwumianowy definiuje proces, w kt\u00f3rym przeprowadza si\u0119 tyle pr\u00f3b Bernoulliego, ile potrzeba do uzyskania pozytywnych wynik\u00f3w<\/em> . Co wi\u0119cej, wszystkie te pr\u00f3by Bernoulliego s\u0105 niezale\u017cne i maj\u0105 sta\u0142e prawdopodobie\u0144stwo powodzenia<\/em> .<\/p>\n Na przyk\u0142ad zmienna losowa, kt\u00f3ra ma ujemny rozk\u0142ad dwumianowy, oznacza, ile razy nale\u017cy rzuci\u0107 kostk\u0105, aby liczba 6 zosta\u0142a wyrzucona trzykrotnie. <\/p>\n Rozk\u0142ad hipergeometryczny<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa opisuj\u0105cy liczb\u0119 pomy\u015blnych przypadk\u00f3w w losowej ekstrakcji bez zast\u0119powania n<\/em> element\u00f3w z populacji.<\/p>\n Oznacza to, \u017ce rozk\u0142ad hipergeometryczny s\u0142u\u017cy do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa uzyskania x<\/em> sukces\u00f3w podczas wyodr\u0119bniania n<\/em> element\u00f3w z populacji bez zast\u0119powania \u017cadnego z nich.<\/p>\n Dlatego rozk\u0142ad hipergeometryczny ma trzy parametry:<\/p>\n Ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> to taki, kt\u00f3ry mo\u017ce przyjmowa\u0107 dowoln\u0105 warto\u015b\u0107 w przedziale, w tym warto\u015bci dziesi\u0119tne. Dlatego ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa definiuje prawdopodobie\u0144stwa ci\u0105g\u0142ej zmiennej losowej. <\/p>\n Ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny<\/strong> , zwany tak\u017ce rozk\u0142adem prostok\u0105tnym<\/strong> , jest rodzajem ci\u0105g\u0142ego rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa, w kt\u00f3rym wszystkie warto\u015bci maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia. Innymi s\u0142owy, ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny to rozk\u0142ad, w kt\u00f3rym prawdopodobie\u0144stwo jest r\u00f3wnomiernie roz\u0142o\u017cone w pewnym przedziale.<\/p>\n Ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny s\u0142u\u017cy do opisu zmiennych ci\u0105g\u0142ych, kt\u00f3re maj\u0105 sta\u0142e prawdopodobie\u0144stwo. Podobnie ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny s\u0142u\u017cy do definiowania proces\u00f3w losowych, poniewa\u017c je\u015bli wszystkie wyniki maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo, oznacza to, \u017ce wynik jest losowy.<\/p>\n Ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny ma dwa charakterystyczne parametry, aib<\/em> ,<\/em> kt\u00f3re definiuj\u0105 przedzia\u0142 r\u00f3wnowa\u017cnego prawdopodobie\u0144stwa. Zatem symbolem ci\u0105g\u0142ego rozk\u0142adu r\u00f3wnomiernego jest U(a,b)<\/em> , gdzie a<\/em> i b<\/em> s\u0105 charakterystycznymi warto\u015bciami rozk\u0142adu.<\/p>\n<\/p>\n Na przyk\u0142ad, je\u015bli wynik losowego eksperymentu mo\u017ce przyj\u0105\u0107 dowoln\u0105 warto\u015b\u0107 z zakresu od 5 do 9, a wszystkie mo\u017cliwe wyniki maj\u0105 to samo prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia, eksperyment mo\u017cna symulowa\u0107 za pomoc\u0105 ci\u0105g\u0142ego r\u00f3wnomiernego rozk\u0142adu U(5,9). <\/p>\n Rozk\u0142ad normalny<\/strong> to ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3rego wykres ma kszta\u0142t dzwonu i jest symetryczny wzgl\u0119dem \u015bredniej. W statystyce rozk\u0142ad normalny s\u0142u\u017cy do modelowania zjawisk o bardzo r\u00f3\u017cnych charakterystykach, dlatego ten rozk\u0142ad jest tak wa\u017cny.<\/p>\n W rzeczywisto\u015bci w statystyce rozk\u0142ad normalny jest zdecydowanie najwa\u017cniejszym rozk\u0142adem wszystkich rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa, poniewa\u017c nie tylko mo\u017ce modelowa\u0107 du\u017c\u0105 liczb\u0119 zjawisk w \u015bwiecie rzeczywistym, ale rozk\u0142ad normalny mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c wykorzysta\u0107 do aproksymacji innych typ\u00f3w rozk\u0142ad\u00f3w dystrybucje. pod pewnymi warunkami.<\/p>\n Symbolem rozk\u0142adu normalnego jest wielka litera N. Zatem, aby wskaza\u0107, \u017ce zmienna ma rozk\u0142ad normalny, jest ona oznaczona liter\u0105 N, a warto\u015bci jej \u015bredniej arytmetycznej i odchylenia standardowego s\u0105 dodawane w nawiasach.<\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad normalny ma wiele r\u00f3\u017cnych nazw, w tym rozk\u0142ad Gaussa<\/strong> , rozk\u0142ad Gaussa<\/strong> i rozk\u0142ad Laplace’a-Gaussa<\/strong> . <\/p>\n Rozk\u0142ad lognormalny<\/strong> lub rozk\u0142ad lognormalny<\/strong> to rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa definiuj\u0105cy zmienn\u0105 losow\u0105, kt\u00f3rej logarytm ma rozk\u0142ad normalny.<\/p>\n Zatem je\u015bli zmienna X ma rozk\u0142ad normalny, to funkcja wyk\u0142adnicza e x<\/sup> ma rozk\u0142ad logarytmiczno-normalny.<\/p>\n<\/p>\n Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce rozk\u0142ad lognormalny mo\u017cna zastosowa\u0107 tylko wtedy, gdy warto\u015bci zmiennej s\u0105 dodatnie, poniewa\u017c logarytm jest funkcj\u0105, kt\u00f3ra akceptuje tylko jeden dodatni argument.<\/p>\n W\u015br\u00f3d r\u00f3\u017cnych zastosowa\u0144 rozk\u0142adu lognormalnego w statystyce wyr\u00f3\u017cniamy wykorzystanie tego rozk\u0142adu do analizy inwestycji finansowych i przeprowadzania analiz niezawodno\u015bci.<\/p>\n Rozk\u0142ad lognormalny jest r\u00f3wnie\u017c znany jako rozk\u0142ad Tinauta<\/strong> , czasami zapisywany tak\u017ce jako rozk\u0142ad lognormalny<\/strong> lub rozk\u0142ad logarytmiczno-normalny<\/strong> . <\/p>\n Rozk\u0142ad chi-kwadrat<\/strong> jest rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa, kt\u00f3rego symbolem jest \u03c7\u00b2. Dok\u0142adniej, rozk\u0142ad chi-kwadrat jest sum\u0105 kwadrat\u00f3w k<\/em> niezale\u017cnych zmiennych losowych o rozk\u0142adzie normalnym.<\/p>\n Zatem rozk\u0142ad Chi-kwadrat ma k<\/em> stopni swobody. Dlatego rozk\u0142ad Chi-kwadrat ma tyle stopni swobody, ile reprezentuje suma kwadrat\u00f3w zmiennych o rozk\u0142adzie normalnym.<\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad Chi-kwadrat jest r\u00f3wnie\u017c znany jako rozk\u0142ad Pearsona<\/strong> .<\/p>\n Rozk\u0142ad chi-kwadrat jest szeroko stosowany we wnioskowaniu statystycznym, na przyk\u0142ad w testowaniu hipotez i przedzia\u0142ach ufno\u015bci. Zobaczymy poni\u017cej, jakie s\u0105 zastosowania tego typu rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa. <\/p>\n Rozk\u0142ad t-Studenta<\/strong> jest rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa szeroko stosowanym w statystyce. W szczeg\u00f3lno\u015bci rozk\u0142ad t-Studenta jest u\u017cywany w te\u015bcie t-Studenta w celu okre\u015blenia r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy \u015brednimi z dw\u00f3ch pr\u00f3bek i ustalenia przedzia\u0142\u00f3w ufno\u015bci.<\/p>\n Rozk\u0142ad t-Studenta zosta\u0142 opracowany przez statystyka Williama Sealy’ego Gosseta w 1908 roku pod pseudonimem \u201eStudent\u201d.<\/p>\n Rozk\u0142ad t-Studenta definiuje si\u0119 jako liczb\u0119 stopni swobody otrzyman\u0105 poprzez odj\u0119cie jednej jednostki od ca\u0142kowitej liczby obserwacji. Zatem wz\u00f3r na okre\u015blenie stopni swobody rozk\u0142adu t-Studenta to \u03bd=n-1<\/em> . <\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad F Snedecora<\/strong> , zwany tak\u017ce rozk\u0142adem F Fishera \u2013 Snedecora<\/strong> lub po prostu rozk\u0142adem F<\/strong> , jest ci\u0105g\u0142ym rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa stosowanym we wnioskowaniu statystycznym, szczeg\u00f3lnie w analizie wariancji.<\/p>\n Jedn\u0105 z w\u0142a\u015bciwo\u015bci rozk\u0142adu Snedecora F jest to, \u017ce jest on zdefiniowany przez warto\u015b\u0107 dw\u00f3ch rzeczywistych parametr\u00f3w m<\/em> i n<\/em> , kt\u00f3re wskazuj\u0105 jego stopnie swobody. Zatem symbolem rozk\u0142adu Snedecora F jest F m, n<\/sub><\/em> , gdzie m<\/em> i n<\/em> s\u0105 parametrami definiuj\u0105cymi rozk\u0142ad.<\/p>\n<\/p>\n Matematycznie rozk\u0142ad Snedecora F jest r\u00f3wny ilorazowi jednego rozk\u0142adu chi-kwadrat i jego stopni swobody podzielonemu przez iloraz innego rozk\u0142adu chi-kwadrat i jego stopni swobody. Zatem wz\u00f3r definiuj\u0105cy rozk\u0142ad Snedecora F jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n Rozk\u0142ad Fishera-Snedecora F swoj\u0105 nazw\u0119 zawdzi\u0119cza angielskiemu statystykowi Ronaldowi Fisherowi i ameryka\u0144skiemu statystykowi George’owi Snedecorowi.<\/p>\n W statystyce rozk\u0142ad Fishera-Snedecora F ma r\u00f3\u017cne zastosowania. Na przyk\u0142ad rozk\u0142ad F Fishera-Snedecora wykorzystuje si\u0119 do por\u00f3wnywania r\u00f3\u017cnych modeli regresji liniowej, a ten rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa wykorzystuje si\u0119 w analizie wariancji (ANOVA). <\/p>\n Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy<\/strong> jest ci\u0105g\u0142ym rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa stosowanym do modelowania czasu oczekiwania na wyst\u0105pienie zjawiska losowego.<\/p>\n Dok\u0142adniej, rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy umo\u017cliwia opisanie czasu oczekiwania pomi\u0119dzy dwoma zjawiskami, kt\u00f3ry jest zgodny z rozk\u0142adem Poissona. Dlatego rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy jest \u015bci\u015ble powi\u0105zany z rozk\u0142adem Poissona.<\/p>\n Rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy ma charakterystyczny parametr, oznaczony greck\u0105 liter\u0105 \u03bb, kt\u00f3ry wskazuje, ile razy przewidywane jest wyst\u0105pienie badanego zdarzenia w danym okresie.<\/p>\n<\/p>\n Podobnie rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy jest r\u00f3wnie\u017c u\u017cywany do modelowania czasu do wyst\u0105pienia awarii. Dlatego rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy ma kilka zastosowa\u0144 w teorii niezawodno\u015bci i przetrwania. <\/p>\n Rozk\u0142ad beta<\/strong> jest rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa okre\u015blonym w przedziale (0,1) i sparametryzowanym dwoma dodatnimi parametrami: \u03b1 i \u03b2. Innymi s\u0142owy, warto\u015bci rozk\u0142adu beta zale\u017c\u0105 od parametr\u00f3w \u03b1 i \u03b2.<\/p>\n Dlatego rozk\u0142ad beta s\u0142u\u017cy do definiowania ci\u0105g\u0142ych zmiennych losowych, kt\u00f3rych warto\u015b\u0107 mie\u015bci si\u0119 w przedziale od 0 do 1.<\/p>\n Istnieje kilka oznacze\u0144 wskazuj\u0105cych, \u017ce ci\u0105g\u0142a zmienna losowa podlega rozk\u0142adowi beta. Najcz\u0119stsze to:<\/p>\n<\/p>\n W statystykach dystrybucja beta ma bardzo r\u00f3\u017cnorodne zastosowania. Na przyk\u0142ad rozk\u0142ad beta s\u0142u\u017cy do badania r\u00f3\u017cnic procentowych w r\u00f3\u017cnych pr\u00f3bkach. Podobnie w zarz\u0105dzaniu projektami dystrybucja beta s\u0142u\u017cy do przeprowadzania analizy Pert. <\/p>\n Rozk\u0142ad gamma<\/strong> jest ci\u0105g\u0142ym rozk\u0142adem prawdopodobie\u0144stwa zdefiniowanym przez dwa charakterystyczne parametry, \u03b1 i \u03bb. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, rozk\u0142ad gamma zale\u017cy od warto\u015bci jego dw\u00f3ch parametr\u00f3w: \u03b1 jest parametrem kszta\u0142tu, a \u03bb jest parametrem skali.<\/p>\n<\/span> Rodzaje rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Dyskretne rozk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa<\/span><\/h3>\n
<\/span> Dyskretny rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9977cf21c766a3d0ee2d79c8210dc598_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad Bernoulliego<\/span><\/h4>\n
![\"\\begin{array}{c}X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad dwumianowy<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim\\text{Bin}(n,p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f2b2be5bfe6c63bd13c552f4c893f59_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Dystrybucja ryb<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be6e10a2b0137ec81fc7d366f237d1b2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> rozk\u0142ad wielomianowy<\/span><\/h4>\n
<\/span>rozk\u0142ad geometryczny<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim\\text{Geom\\'etrica}(p)\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fef9b6ab8e3b351598caf9925c2b3f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-171122de529a1c006bc46e8d89176016_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> rozk\u0142ad hipergeometryczny<\/span><\/h4>\n
\n
![\"X](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd43d7c14739c66e63b224abf6cc20b3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Ci\u0105g\u0142e rozk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa<\/span><\/h3>\n
<\/span> r\u00f3wnomierny i ci\u0105g\u0142y rozk\u0142ad<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-339036da3788f71282d3936dd092730c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span>Normalna dystrybucja<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e682e473c45274794b6fece4d7683f0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad lognormalny<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-216d8f120f09a37cd8f797bb3b115a40_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad chi-kwadrat<\/span><\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ea0bf7a87071883ceae5e419bae9e71_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad t-Studenta<\/span><\/h4>\n
![\"\\begin{array}{c}\\nu=n-1\\\\[2ex]X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c805dc2d6ca050feb70dad99de53402_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Dystrybucja Snedecor F<\/span><\/h4>\n
![\"F_{m,n}\\qquad](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6126a79c671267450b6523ca16b4a92_l3.png\")
0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”><\/p>\n<\/p>\n![\"\\left.\\begin{array}{c}](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d407869e61ca4357ffbcb40df3bd83ab_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> rozk\u0142ad wyk\u0142adniczy<\/span><\/h4>\n
![\"X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05fa833356caeb193384f780ae4edac1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Dystrybucja wersji beta<\/span><\/h4>\n
![\"\\begin{array}{c}X\\sim](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee1d0d8a1624a017b8ef9ce8a67c694e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Rozk\u0142ad gamma<\/span><\/h4>\n