{"id":258,"date":"2023-08-03T11:26:47","date_gmt":"2023-08-03T11:26:47","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/"},"modified":"2023-08-03T11:26:47","modified_gmt":"2023-08-03T11:26:47","slug":"test-hipotezy-dla-sredniej","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/","title":{"rendered":"Testowanie hipotez dla \u015bredniej"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, na czym polega testowanie hipotez dla \u015bredniej w statystyce. W ten spos\u00f3b znajdziesz wz\u00f3r testu hipotezy na \u015bredni\u0105, a dodatkowo \u0107wiczenie rozwi\u0105zane krok po kroku. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Na czym polega testowanie hipotez dla \u015bredniej?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Testowanie hipotez dla \u015bredniej<\/strong> jest metod\u0105 statystyczn\u0105 stosowan\u0105 do odrzucenia lub odrzucenia hipotezy zerowej \u015bredniej populacji.<\/p>\n<p> M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, testowanie hipotezy pod k\u0105tem \u015bredniej polega na obliczeniu statystyki testowej i por\u00f3wnaniu jej z warto\u015bci\u0105 krytyczn\u0105, aby odrzuci\u0107 hipotez\u0119 zerow\u0105 lub nie.<\/p>\n<p> Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce testy hipotez maj\u0105 r\u00f3\u017cne nazwy; w statystyce nazywane s\u0105 one r\u00f3wnie\u017c kontrastami hipotez, testami hipotez lub testami istotno\u015bci. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Testowanie hipotezy Wz\u00f3r na \u015bredni\u0105<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nast\u0119pnie zobaczymy, jak obliczana jest statystyka testu hipotezy dla \u015bredniej. Jednak\u017ce wz\u00f3r r\u00f3\u017cni si\u0119 nieznacznie w zale\u017cno\u015bci od tego, czy wariancja jest znana, czy nie, wi\u0119c najpierw zobaczymy, jak to si\u0119 robi, gdy wariancja jest znana, a nast\u0119pnie, gdy wariancja jest nieznana.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"con-varianza-conocida\"><\/span> Ze znanym odchyleniem<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Wz\u00f3r hipotezy testowej dla \u015bredniej ze znan\u0105 wariancj\u0105<\/strong> to:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdf1817a07bfb8c1eda9a8d8ccd8c828_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Z=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest statystyk\u0105 testow\u0105 hipotezy dla \u015bredniej.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> to przyk\u0142adowe \u015brodki.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest proponowan\u0105 warto\u015bci\u0105 \u015bredni\u0105.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaaf379fee5e67946f3fedf5631047b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym populacji.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Po obliczeniu statystyki testu hipotezy dla \u015bredniej, wynik nale\u017cy zinterpretowa\u0107 w celu odrzucenia lub odrzucenia hipotezy zerowej:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u017celi test hipotezy dla \u015bredniej jest dwustronny, hipotez\u0119 zerow\u0105 odrzuca si\u0119, je\u015bli warto\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dna statystyki jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna Z <sub>\u03b1\/2<\/sub> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli test hipotezy dla \u015bredniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, je\u015bli statystyka jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna Z <sub>\u03b1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli test hipotezy dla \u015bredniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, je\u015bli statystyka jest mniejsza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna -Z <sub>\u03b1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e2ccadfc369eb7543b8f86dfccc528e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1: \\mu\\neq \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } |Z|>Z_{\\alpha\/2} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu> \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } Z>Z_{\\alpha} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu< \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } Z<-Z_{\\alpha} \\text{ se rechaza } H_0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"440\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W tym przypadku warto\u015bci krytyczne uzyskuje si\u0119 ze <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/tablica-rozk\u0142adu-normalnego\/\">znormalizowanej tabeli rozk\u0142adu normalnego<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"con-varianza-desconocida\"><\/span> Z nieznan\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Wz\u00f3r hipotezy testowej dla \u015bredniej o nieznanej wariancji<\/strong> wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8277d83b2d28325f25f5d118486200f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{s}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd9cb27edab3f0a8a249bc80cc9c6ee2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest statystyk\u0105 testuj\u0105c\u0105 hipotez\u0119 dla \u015bredniej, kt\u00f3ra jest zdefiniowana przez <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/dystrybucja-uczniow\/\">rozk\u0142ad t-Studenta<\/a> .<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> to przyk\u0142adowe \u015brodki.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05d9eae892416bd34247a25207f8b718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"11\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest proponowan\u0105 warto\u015bci\u0105 \u015bredni\u0105.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1edc883862ceed1a21913f60358e31d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym pr\u00f3bki.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Tak jak poprzednio, obliczony wynik statystyki testowej nale\u017cy interpretowa\u0107 z warto\u015bci\u0105 krytyczn\u0105, aby odrzuci\u0107 lub nie hipotez\u0119 zerow\u0105:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u017celi test hipotezy dla \u015bredniej jest dwustronny, hipotez\u0119 zerow\u0105 odrzuca si\u0119, je\u015bli warto\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dna statystyki jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna t <sub>\u03b1\/2|n-1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli test hipotezy dla \u015bredniej odpowiada prawemu ogonowi, hipoteza zerowa zostaje odrzucona, je\u015bli statystyka jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna t <sub>\u03b1|n-1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli test hipotezy dla \u015bredniej odpowiada lewemu ogonowi, hipoteza zerowa jest odrzucana, je\u015bli statystyka jest mniejsza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna -t <sub>\u03b1|n-1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31fb206b75a47181c7c673f54ba28ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1: \\mu\\neq \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } |t|>t_{\\alpha\/2|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu> \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } t>t_{\\alpha|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\\\[3ex]H_1: \\mu< \\mu_0 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Si } t<-t_{\\alpha|n-1} \\text{ se rechaza } H_0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"112\" width=\"457\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gdy wariancja nie jest znana, krytyczne warto\u015bci testowe uzyskuje si\u0119 z tabeli rozk\u0142adu Studenta. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-de-la-prueba-de-hipotesis-para-la-media\"><\/span> Przyk\u0142ad sprawdzania hipotez w \u015bwiecie rzeczywistym dla \u015bredniej<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aby w pe\u0142ni zrozumie\u0107 koncepcj\u0119 testowania hipotez dla \u015bredniej populacji, poni\u017cej mo\u017cesz zobaczy\u0107 rzeczywisty przyk\u0142ad tego typu testowania hipotez.<\/p>\n<ul>\n<li> Firma technologiczna twierdzi, \u017ce bateria sprzedawanego przez ni\u0105 laptopa wytrzymuje 6 godzin. Sprawdzamy, czy hipoteza ta jest fa\u0142szywa, wykonuj\u0105c test hipotezy na poziomie istotno\u015bci \u03b1 = 0,05. Aby to zrobi\u0107, postanawia si\u0119 kupi\u0107 20 jednostek i obserwowa\u0107 \u017cywotno\u015b\u0107 baterii ka\u017cdego komputera (warto\u015bci wyra\u017cone s\u0105 w godzinach):<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"> 5,2 5,9 7,1 4,2 6,5<br \/> 8,5 4,6 6,8 6,9 5,8<br \/> 5,1 6,5 7,0 5,3 6,2<br \/> 5,7 6,6 7,5 5,1 6,1<\/p>\n<p> W tym przypadku <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/hipoteza-zerowa-i-alternatywna\/\">hipotezy zerowe i alternatywne<\/a> testu hipotezy dotycz\u0105ce \u015bredniej s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-329ffe392783b8bee1eef642d1a45f53_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}H_0: \\mu=6\\\\[2ex] H_1:\\mu\\neq 6 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"93\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aby okre\u015bli\u0107 statystyk\u0119 testow\u0105, musimy najpierw obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki i odchylenie standardowe pr\u00f3bki:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef07dbee8f95fc767bc069bd738bb493_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}=6,13 \\qquad s=1,05\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Poniewa\u017c nie znamy wariancji populacji, aby otrzyma\u0107 statystyk\u0119 testow\u0105, nale\u017cy zastosowa\u0107 wz\u00f3r na sprawdzenie hipotezy dla \u015bredniej o nieznanej wariancji: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8277d83b2d28325f25f5d118486200f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\overline{x}-\\mu}{\\displaystyle \\frac{s}{\\sqrt{n}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -34px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-447879c9f526afed74796d347fd69c97_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{6,13-6}{\\displaystyle \\frac{1,05}{\\sqrt{20}}} \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -38px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0e63621349c12eec107c43152b5213c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=0,68\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Teraz musimy znale\u017a\u0107 warto\u015b\u0107 krytyczn\u0105 testu hipotezy, wi\u0119c szukamy odpowiedniej warto\u015bci w <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/tabela-rozk\u0142adu-t-ucznia\/\">tabeli rozk\u0142adu t-Studenta<\/a> . Stopnie swobody t-Studenta s\u0105 o jeden mniejsze ni\u017c liczebno\u015b\u0107 pr\u00f3by (20-1=19), a z drugiej strony odpowiadaj\u0105ce im prawdopodobie\u0144stwo jest o po\u0142ow\u0119 mniejsze od poziomu istotno\u015bci (0,05\/2=0,025), poniewa\u017c jest to testowanie hipotez.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8154fa6e5bfee35698c6dc26928cd98c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha=0,05 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ \\alpha\/2=0,025\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e85692dfb2fb2522025566dc205b8117_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}t_{\\alpha\/2| n-1}= \\ \\color{orange}\\bm{?}\\\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"72\" width=\"152\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podsumowuj\u0105c, poniewa\u017c jest to test hipotezy dwustronnej i warto\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dna statystyki testowej jest mniejsza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna, nie odrzuca si\u0119 hipotezy zerowej, lecz odrzuca si\u0119 hipotez\u0119 alternatywn\u0105. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e46ceecc8ebcda6dd88ec4d3771c285_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0,68<2,093 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Se rechaza } H_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"prueba-de-hipotesis-para-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Testowanie hipotez pod k\u0105tem r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Test hipotezy r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/strong> s\u0142u\u017cy do odrzucenia lub przyj\u0119cia hipotezy zerowej, \u017ce \u015brednie w dw\u00f3ch populacjach s\u0105 takie same.<\/p>\n<p> Zatem hipoteza zerowa testu hipotezy dla r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich jest zawsze nast\u0119puj\u0105ca:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2945a64bf97e1c02ac7fb56bbf1f215b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"H_0: \\mu_1=\\mu_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Chocia\u017c alternatywna hipoteza mo\u017ce by\u0107 jedn\u0105 z trzech nast\u0119puj\u0105cych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c612ac7651faad9faa195f37fdf6edef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}H_1:\\mu_1\\neq \\mu_2\\\\[2ex]H_1:\\mu_1>\\mu_2\\\\[2ex]H_1:\\mu_1<\\mu_2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nast\u0119pnie <strong>wz\u00f3r na obliczenie statystyki testu hipotezy dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, gdy znana jest wariancja,<\/strong> wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83c9d3ddf8c2ff8b9cf2b0fa4ac8082e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Z=\\frac{\\displaystyle \\overline{x_1}-\\overline{x_2}}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"123\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be116875001706f29a24434bd0d91c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest statystyk\u0105 testuj\u0105c\u0105 hipotez\u0119 dotycz\u0105c\u0105 r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich o znanej wariancji, kt\u00f3ra jest zgodna ze standardowym rozk\u0142adem normalnym.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1436bb55d331d1efe559fd1e55245851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f06b28a75570ecb4df1371dea2d9f2b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2e8ce841b1fc1e199b133e6f24f6f51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_1^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest wariancj\u0105 populacji 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5fd430c9ff19057933c215e683ace41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_2^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest wariancj\u0105 populacji 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cebc0a013985f2695aeb53ded9e7afb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to pr\u00f3bka o wielko\u015bci 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf1e42c248eee22a0911c24c95fe28f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to pr\u00f3bka o wielko\u015bci 2.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Z drugiej strony <strong>wz\u00f3r na obliczenie statystyki testu hipotezy dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, gdy wariancja jest nieznana,<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9fbc7bf6d5bbaeb18a3992a3f373a55_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle t=\\frac{\\displaystyle \\overline{x_1}-\\overline{x_2}}{\\displaystyle\\sqrt{\\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\sqrt{\\frac{1}{n_1}+\\frac{1}{n_2}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -52px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd9cb27edab3f0a8a249bc80cc9c6ee2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"6\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest statystyk\u0105 testuj\u0105c\u0105 hipotez\u0119 dotycz\u0105c\u0105 r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich o nieznanej wariancji, kt\u00f3ra jest zgodna z rozk\u0142adem t-Studenta.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1436bb55d331d1efe559fd1e55245851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f06b28a75570ecb4df1371dea2d9f2b7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ae3c411ec80f65d56e397f87d29753_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_1^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest wariancj\u0105 pr\u00f3bki 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c785df8c080b6984c6205f881426fb10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_2^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest wariancj\u0105 pr\u00f3bki 2.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cebc0a013985f2695aeb53ded9e7afb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to pr\u00f3bka o wielko\u015bci 1.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf1e42c248eee22a0911c24c95fe28f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to pr\u00f3bka o wielko\u015bci 2.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, na czym polega testowanie hipotez dla \u015bredniej w statystyce. W ten spos\u00f3b znajdziesz wz\u00f3r testu hipotezy na \u015bredni\u0105, a dodatkowo \u0107wiczenie rozwi\u0105zane krok po kroku. Na czym polega testowanie hipotez dla \u015bredniej? Testowanie hipotez dla \u015bredniej jest metod\u0105 statystyczn\u0105 stosowan\u0105 do odrzucenia lub odrzucenia hipotezy zerowej \u015bredniej populacji. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, testowanie [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-258","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-03T11:26:47+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdf1817a07bfb8c1eda9a8d8ccd8c828_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/\",\"name\":\"\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-03T11:26:47+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-03T11:26:47+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Testowanie hipotez dla \u015bredniej\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej","description":"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej","og_description":"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-03T11:26:47+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdf1817a07bfb8c1eda9a8d8ccd8c828_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/","name":"\u25b7 Testowanie hipotez dla \u015bredniej","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-03T11:26:47+00:00","dateModified":"2023-08-03T11:26:47+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz, czym jest test hipotezy dla \u015bredniej, jego wz\u00f3r i konkretny przyk\u0142ad testu hipotezy dla \u015bredniej.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-dla-sredniej\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Testowanie hipotez dla \u015bredniej"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/258","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=258"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/258\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=258"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=258"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=258"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}