{"id":281,"date":"2023-08-03T03:28:35","date_gmt":"2023-08-03T03:28:35","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/"},"modified":"2023-08-03T03:28:35","modified_gmt":"2023-08-03T03:28:35","slug":"przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/","title":{"rendered":"Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich w statystykach i do czego si\u0119 go stosuje. W ten spos\u00f3b dowiesz si\u0119, jak obliczy\u0107 przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich i dowiesz si\u0119, jak krok po kroku rozwi\u0105za\u0107 \u0107wiczenie. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-intervalo-de-confianza-para-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/strong> to przedzia\u0142 zapewniaj\u0105cy warto\u015b\u0107 maksymaln\u0105 i minimaln\u0105, pomi\u0119dzy kt\u00f3rymi warto\u015b\u0107 r\u00f3\u017cnicy \u015brednich dw\u00f3ch populacji le\u017cy z pewnym poziomem ufno\u015bci.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad, je\u015bli przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich dw\u00f3ch populacji z 95% poziomem ufno\u015bci wynosi (3,5), oznacza to, \u017ce r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy \u015brednimi obu populacji b\u0119dzie wynosi\u0107 od 3 do 5 z prawdopodobie\u0144stwem 95 %.<\/p>\n<p> Dlatego w statystyce przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich s\u0142u\u017cy do oszacowania dw\u00f3ch warto\u015bci, pomi\u0119dzy kt\u00f3rymi le\u017cy r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy \u015brednimi z dw\u00f3ch populacji. Zatem wykorzystuj\u0105c dane z dw\u00f3ch pr\u00f3b, mo\u017cliwe jest przybli\u017cenie r\u00f3\u017cnicy pomi\u0119dzy \u015brednimi populacji. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-intervalo-de-confianza-para-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Wz\u00f3r na przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wz\u00f3r na przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich zale\u017cy od tego, czy znane s\u0105 wariancje populacji, a je\u015bli nie, to od tego, czy mo\u017cna za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce wariancje populacji s\u0105 r\u00f3wne. . Zobaczymy w\u00f3wczas, jak w ka\u017cdym przypadku obliczany jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"varianzas-conocidas\"><\/span> znane odchylenia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Wz\u00f3r na obliczenie przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, gdy znane s\u0105 wariancje dw\u00f3ch populacji<\/strong> przy poziomie ufno\u015bci 1-\u03b1, jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43af3f53a009f90021521508efe8c2a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (\\overline{x_1}-\\overline{x_2})\\pm Z_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{\\sigma_1^2}{n_1}+\\frac{\\sigma_2^2}{n_2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"212\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4071a38558726a684ed069430c89fe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc8c8f782c0ed8b7925012b60e174fa3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym populacji, tj.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f8ee37ecf97c2a7c7d6dbe8fddddc27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Z_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> jest warto\u015bci\u0105 standardowego rozk\u0142adu normalnego z prawdopodobie\u0144stwem \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f087375b50e0b49186779714206626b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki, tj.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Ten przypadek jest najmniej powszechny, poniewa\u017c warto\u015b\u0107 wariancji populacji jest generalnie nieznana.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"varianzas-desconocidas-e-iguales\"><\/span> nieznane i r\u00f3wne wariancje<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Je\u017celi wariancje obu populacji s\u0105 nieznane, ale mo\u017cna je oszacowa\u0107 jako r\u00f3wne, wz\u00f3r na obliczenie przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/strong> przy poziomie ufno\u015bci 1-\u03b1 jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0534fc597a2d7842c41a47a907c1b185_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (\\overline{x_1}-\\overline{x_2})\\pm t_{\\alpha\/2}s_p\\sqrt{\\frac{1}{n_1}+\\frac{1}{n_2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4071a38558726a684ed069430c89fe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db24109a40d5779feee64c7bccc11371_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<p> jest zbiorczym odchyleniem standardowym.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33bd5d525ddf37600aef97b0c8c08f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> jest warto\u015bci\u0105 rozk\u0142adu t-Studenta n <sub>1<\/sub> + n <sub>2<\/sub> -2 stopni swobody z prawdopodobie\u0144stwem \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f087375b50e0b49186779714206626b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki, tj.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Poniewa\u017c w tym przypadku zak\u0142ada si\u0119, \u017ce wariancje populacji s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne, do obliczenia przedzia\u0142u ufno\u015bci wykorzystuje si\u0119 z\u0142o\u017cone odchylenie standardowe, kt\u00f3re oblicza si\u0119 ze wzoru:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8fb43d179e453d19f5781319aa9e1ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle s_p=\\sqrt{\\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"240\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2071979c45a4a9e06d8cccc739ffc771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym pr\u00f3bki i. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"varianzas-desconocidas-y-diferentes\"><\/span> Nieznane i r\u00f3\u017cne odmiany<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Je\u017celi wariancje obu populacji s\u0105 nieznane i nie mo\u017cna za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce s\u0105 r\u00f3wne, wz\u00f3r na obliczenie przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/strong> przy poziomie ufno\u015bci 1-\u03b1 jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef56281d972a143678514c47fed3690d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (\\overline{x_1}-\\overline{x_2})\\pm t_{\\alpha\/2}\\sqrt{\\frac{s_1^2}{n_1}+\\frac{s_2^2}{n_2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4071a38558726a684ed069430c89fe2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2071979c45a4a9e06d8cccc739ffc771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym pr\u00f3bki i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33bd5d525ddf37600aef97b0c8c08f94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"t_{\\alpha\/2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -8px;\"><\/p>\n<p> jest warto\u015bci\u0105 rozk\u0142adu t-Studenta z prawdopodobie\u0144stwem \u03b1\/2.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f087375b50e0b49186779714206626b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki, tj.<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku stopnie swobody rozk\u0142adu t-Studenta obliczane s\u0105 ze wzoru:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecf1ccfa1ecb47b889c569e5faa65a78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle GL=\\frac{\\displaystyle\\left(\\frac{s_1^2}{n_1}+\\frac{s_2^2}{n_2}\\right)^2}{\\displaystyle\\frac{\\displaystyle\\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\\frac{\\displaystyle\\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"115\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -61px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2071979c45a4a9e06d8cccc739ffc771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"s_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest odchyleniem standardowym pr\u00f3bki i. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzia\u0142-ufnosci-dla-sredniej\/\">Wz\u00f3r na przedzia\u0142 ufno\u015bci dla \u015bredniej<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-del-intervalo-de-confianza-para-la-diferencia-de-medias\"><\/span> Konkretny przyk\u0142ad przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Po zapoznaniu si\u0119 z definicj\u0105 przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich i poznaniem r\u00f3\u017cnych wzor\u00f3w, zobaczymy teraz konkretny przyk\u0142ad pozwalaj\u0105cy zako\u0144czy\u0107 przyswojenie sposobu obliczania przedzia\u0142u ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich.<\/p>\n<ul>\n<li> Chcemy zbada\u0107 wp\u0142yw tytoniu na mas\u0119 urodzeniow\u0105 dzieci. W tym celu por\u00f3wnuje si\u0119 dwie pr\u00f3by: pierwsz\u0105 pr\u00f3b\u0119 stanowi\u0105 dzieci, kt\u00f3rych matki nie pali\u0142y, drug\u0105 pr\u00f3b\u0119 \u2013 dzieci, kt\u00f3rych matki pali\u0142y (parametry pr\u00f3by podano poni\u017cej). Oblicz przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich przy poziomie ufno\u015bci 95%.\n<ol>\n<li> Matki niepal\u0105ce:\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1493306090541d3c6e01455a25d1fecc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_1}=3,1 \\ kg \\quad s_1=0,6 \\ kg \\quad n_1=39\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li> Pal\u0105ce matki:\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b01145787503a21957331cbe3785111_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x_2}=3,5 \\ kg \\quad s_2=0,4 \\ kg\\quad n_2=43\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku nie znamy warto\u015bci wariancji populacji, mo\u017cemy jednak za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce wariancje populacji s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne, poniewa\u017c mamy do czynienia z dwiema populacjami o bardzo podobnych cechach. Zatem wz\u00f3r na przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, kt\u00f3ry powinni\u015bmy zastosowa\u0107, wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0534fc597a2d7842c41a47a907c1b185_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (\\overline{x_1}-\\overline{x_2})\\pm t_{\\alpha\/2}s_p\\sqrt{\\frac{1}{n_1}+\\frac{1}{n_2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W ten spos\u00f3b obliczamy \u0142\u0105czne odchylenie standardowe z odchyle\u0144 standardowych dw\u00f3ch pr\u00f3bek:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-688958252e9838e7fddc2ddcb9061b01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\displaystyle s_p&amp;=\\sqrt{\\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\\\[2ex]\\displaystyle s_p&amp;=\\sqrt{\\frac{(39-1)\\cdot 0,6^2+(43-1)\\cdot 0,4^2}{39+43-2}}\\\\[2ex]\\displaystyle s_p&amp;=0,50\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"161\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podobnie musimy znale\u017a\u0107 warto\u015b\u0107 rozk\u0142adu t-Studenta 80 stopni swobody z prawdopodobie\u0144stwem 2,5% w <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/tabela-rozk\u0142adu-t-ucznia\/\">tabeli rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa rozk\u0142adu t-Studenta<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-776a555edd1d064cf29a3a354caa5325_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1-\\alpha=0,95 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\alpha=0,05 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ \\alpha\/2=0,025\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"534\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e4ea90fdc33c9a3d3dab0f1d9d29af0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}t_{\\alpha\/2| n_1+n_2-2}= \\ \\color{orange}\\bm{?}\\\\[4ex]t_{0,025|80}=1,990\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"72\" width=\"184\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Na koniec podstawiamy dane do wzoru na przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich i wykonujemy obliczenia: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0534fc597a2d7842c41a47a907c1b185_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (\\overline{x_1}-\\overline{x_2})\\pm t_{\\alpha\/2}s_p\\sqrt{\\frac{1}{n_1}+\\frac{1}{n_2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c0a07bffc585f3c89a19ef1de2fc441_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (3,1-3,5)\\pm 1,990\\cdot 0,5\\cdot\\sqrt{\\frac{1}{39}+\\frac{1}{43}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4863b308e6ac856e407d75022a40aa23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -0,4\\pm 0,22\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brodk\u00f3w problemu jest zatem nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e399a671d64c87e8c9deda851850a00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(-0,61,-0,18)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-hipotezy-na-roznice-srednich\/\">Kontrast hipotez dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich w statystykach i do czego si\u0119 go stosuje. W ten spos\u00f3b dowiesz si\u0119, jak obliczy\u0107 przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch \u015brednich i dowiesz si\u0119, jak krok po kroku rozwi\u0105za\u0107 \u0107wiczenie. Jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich? Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich to przedzia\u0142 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-281","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-03T03:28:35+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43af3f53a009f90021521508efe8c2a1_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/\",\"name\":\"\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-03T03:28:35+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-03T03:28:35+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich","description":"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich","og_description":"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-03T03:28:35+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43af3f53a009f90021521508efe8c2a1_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/","name":"\u25b7 Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-03T03:28:35+00:00","dateModified":"2023-08-03T03:28:35+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz, jaki jest przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich, jak jest obliczany (wz\u00f3r) i konkretny przyk\u0142ad.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/przedzial-ufnosci-dla-roznicy-srednich\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Przedzia\u0142 ufno\u015bci dla r\u00f3\u017cnicy \u015brednich"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/281","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=281"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/281\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=281"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=281"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=281"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}