{"id":302,"date":"2023-08-02T19:59:18","date_gmt":"2023-08-02T19:59:18","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prosta-regresja-liniowa\/"},"modified":"2023-08-02T19:59:18","modified_gmt":"2023-08-02T19:59:18","slug":"prosta-regresja-liniowa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prosta-regresja-liniowa\/","title":{"rendered":"Prosta regresja liniowa"},"content":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest prosta regresja liniowa w statystyce i jak jest wykonywana. W Internecie znajdziesz tak\u017ce rozwi\u0105zanie prostego \u0107wiczenia regresji liniowej oraz dodatkowo prosty kalkulator regresji liniowej. <\/p>\n

<\/span> Co to jest prosta regresja liniowa?<\/span><\/h2>\n

Prosta regresja liniowa<\/strong> to model statystyczny u\u017cywany do powi\u0105zania zmiennej niezale\u017cnej i staramy si\u0119 przybli\u017cy\u0107 zwi\u0105zek Co istnieje pomi\u0119dzy dwiema zmiennymi.<\/p>\n

Dlatego do znalezienia r\u00f3wnania, kt\u00f3re \u0142\u0105czy liniowo dwie zmienne, stosuje si\u0119 prost\u0105 regresj\u0119 liniow\u0105. Logicznie rzecz bior\u0105c, zwi\u0105zek mi\u0119dzy dwiema zmiennymi musi by\u0107 liniowy, w przeciwnym razie nale\u017cy zastosowa\u0107 inny typ modelu regresji.<\/p>\n

R\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej sk\u0142ada si\u0119 z dw\u00f3ch wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w: sta\u0142ej r\u00f3wnania (b 0<\/sub> ) i wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji pomi\u0119dzy obiema zmiennymi (b 1<\/sub> ). Dlatego r\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej to y=b 0<\/sub> +b 1<\/sub> x.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=b_0+b_1x\"<\/p>\n<\/p>\n

R\u00f3wnanie prostej regresji liniowej przedstawiono na wykresie jako lini\u0119 prost\u0105, wi\u0119c wsp\u00f3\u0142czynnik b 0<\/sub> to punkt przeci\u0119cia, a wsp\u00f3\u0142czynnik b 1<\/sub> to nachylenie linii. <\/p>\n

<\/span> Proste wzory regresji liniowej<\/span><\/h2>\n

Wzory na obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w prostej regresji liniowej<\/strong> s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce: <\/p>\n

\"proste<\/figure>\n

\ud83d\udc49 Poni\u017cszy kalkulator umo\u017cliwia obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w prostej regresji liniowej dla dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

Oczywi\u015bcie r\u00f3wnanie wynikaj\u0105ce z prostego modelu regresji liniowej nie b\u0119dzie w stanie odgadn\u0105\u0107 dok\u0142adnej warto\u015bci wszystkich obserwacji, poniewa\u017c model ten po prostu pr\u00f3buje znale\u017a\u0107 r\u00f3wnanie przybli\u017caj\u0105ce zale\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Zatem reszt\u0119 definiuje si\u0119 jako r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy warto\u015bci\u0105 prawdziw\u0105 a warto\u015bci\u0105 oszacowan\u0105 za pomoc\u0105 modelu regresji liniowej.<\/p>\n<\/p>\n

\"e_i=y_i-\\widehat{y}_i\"<\/p>\n<\/p>\n

Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce celem prostego modelu regresji liniowej jest minimalizacja kwadrat\u00f3w reszt, co oznacza, \u017ce prosta regresja liniowa opiera si\u0119 na kryterium najmniejszych kwadrat\u00f3w<\/a> . <\/p>\n

<\/span> Konkretny przyk\u0142ad prostej regresji liniowej<\/span><\/h2>\n

Aby zako\u0144czy\u0107 zrozumienie metody prostej regresji liniowej, poni\u017cej znajduje si\u0119 praktyczny przyk\u0142ad krok po kroku, w kt\u00f3rym r\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej jest obliczane na podstawie zestawu danych statystycznych.<\/p>\n

    \n
  • Po zdaniu egzaminu ze statystyki pi\u0119ciu student\u00f3w zosta\u0142o zapytanych, ile godzin nauki po\u015bwi\u0119cili na egzamin. Dane zosta\u0142y zaprezentowane w poni\u017cszej tabeli. Wykonaj prosty model regresji liniowej zebranych danych statystycznych, aby liniowo powi\u0105za\u0107 godziny nauki z uzyskan\u0105 ocen\u0105. <\/li>\n<\/ul>\n
    \"\"<\/figure>\n

    Aby przeprowadzi\u0107 prosty model regresji liniowej, musimy wyznaczy\u0107 wsp\u00f3\u0142czynniki b 0<\/sub> i b 1<\/sub> r\u00f3wnania i w tym celu musimy skorzysta\u0107 ze wzor\u00f3w przedstawionych w powy\u017cszej sekcji.<\/p>\n

    Aby jednak zastosowa\u0107 proste wzory regresji liniowej, musimy najpierw obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 zmiennej niezale\u017cnej i \u015bredni\u0105 zmiennej zale\u017cnej:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{c}\\overline{x}=\\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\\\[4ex]\\overline{y}=\\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\\end{array}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Teraz, gdy znamy \u015brednie zmiennych, obliczamy wsp\u00f3\u0142czynnik b 1<\/sub> modelu, korzystaj\u0105c z odpowiedniego wzoru:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{c}b_1=\\cfrac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Na koniec obliczamy wsp\u00f3\u0142czynnik b 0<\/sub> modelu, korzystaj\u0105c z odpowiedniego wzoru:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\\\\[3ex]b_0=6-0,4412\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

    Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, r\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej problemu wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n

    \"y=2,0294+0,4412x\"<\/p>\n<\/p>\n

    Poni\u017cej mo\u017cesz zobaczy\u0107 graficzn\u0105 reprezentacj\u0119 przyk\u0142adowych danych, a tak\u017ce lini\u0119 prost\u0105 prostego modelu regresji liniowej: <\/p>\n

    \"prosty<\/figure>\n

    Na koniec, gdy ju\u017c obliczyli\u015bmy r\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej, pozostaje nam jedynie zinterpretowa\u0107 uzyskany wynik. W tym celu niezb\u0119dne jest obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnika determinacji modelu regresji, mo\u017cna zobaczy\u0107 jak to si\u0119 robi wyszukuj\u0105c odpowiedni artyku\u0142 na naszej stronie internetowej. <\/p>\n

    <\/span> Proste za\u0142o\u017cenia regresji liniowej<\/span><\/h2>\n

    Aby przeprowadzi\u0107 prost\u0105 regresj\u0119 liniow\u0105 nale\u017cy spe\u0142ni\u0107 nast\u0119puj\u0105ce za\u0142o\u017cenia:<\/p>\n

      \n
    • Niezale\u017cno\u015b\u0107<\/strong> : obserwowane reszty musz\u0105 by\u0107 od siebie niezale\u017cne. Powszechnym sposobem zapewnienia niezale\u017cno\u015bci modelu jest dodanie losowo\u015bci do procesu pr\u00f3bkowania.<\/span><\/li>\n
    • Homoscedastyczno\u015b\u0107<\/strong> : wariancje reszt musz\u0105 by\u0107 jednorodne, to znaczy zmienno\u015b\u0107 reszt musi by\u0107 sta\u0142a.<\/span><\/li>\n
    • Normalno\u015b\u0107<\/strong> : reszty musz\u0105 mie\u0107 rozk\u0142ad normalny, czyli innymi s\u0142owy musz\u0105 mie\u0107 rozk\u0142ad normalny ze \u015bredni\u0105 0.<\/span><\/li>\n
    • Liniowo\u015b\u0107<\/strong> \u2013 zale\u017cno\u015b\u0107 pomi\u0119dzy zmienn\u0105 niezale\u017cn\u0105 a zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105 powinna by\u0107 liniowa.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n

      <\/span> Prosty kalkulator regresji liniowej<\/span><\/h2>\n

      Pod\u0142\u0105cz przyk\u0142adowe dane do poni\u017cszego kalkulatora, aby dopasowa\u0107 prosty model regresji liniowej pomi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Nale\u017cy rozdzieli\u0107 pary danych tak, aby w pierwszym polu znajdowa\u0142y si\u0119 tylko warto\u015bci zmiennej niezale\u017cnej X, a w drugim polu znajdowa\u0142y si\u0119 wy\u0142\u0105cznie warto\u015bci zmiennej zale\u017cnej Y.<\/p>\n

      Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego.<\/p>\n

      \n
        \n
      • Niezale\u017cna zmienna <\/li>\n<\/ul>\n