{"id":316,"date":"2023-08-02T14:06:03","date_gmt":"2023-08-02T14:06:03","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/"},"modified":"2023-08-02T14:06:03","modified_gmt":"2023-08-02T14:06:03","slug":"regresja-liniowa-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/","title":{"rendered":"Regresja liniowa"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest regresja liniowa i do czego s\u0142u\u017cy w statystyce. Dodatkowo b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak obliczane s\u0105 dwa typy regresji liniowej: prosta regresja liniowa i wielokrotna regresja liniowa.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-regresion-lineal\"><\/span> Co to jest regresja liniowa?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Regresja liniowa<\/strong> to model statystyczny, kt\u00f3ry wi\u0105\u017ce jedn\u0105 lub wi\u0119cej zmiennych niezale\u017cnych ze zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105. M\u00f3wi\u0105c najpro\u015bciej, regresja liniowa to technika stosowana do znalezienia r\u00f3wnania przybli\u017caj\u0105cego zwi\u0105zek mi\u0119dzy jedn\u0105 lub wi\u0119ksz\u0105 liczb\u0105 zmiennych obja\u015bniaj\u0105cych a zmienn\u0105 odpowiedzi.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad r\u00f3wnanie y=2+5x <sub>1<\/sub> -3x <sub>2<\/sub> +8x <sub>3<\/sub> jest modelem regresji liniowej, poniewa\u017c matematycznie wi\u0105\u017ce trzy zmienne niezale\u017cne (x <sub>1<\/sub> , x <sub>2<\/sub> , x <sub>3<\/sub> ) ze zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105 (y) i co wi\u0119cej, zale\u017cno\u015b\u0107 pomi\u0119dzy zmiennymi jest liniowa.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-regresion-lineal\"><\/span>Rodzaje regresji liniowej<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Istniej\u0105 dwa <strong>rodzaje regresji liniowej<\/strong> :<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:20px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Prosta regresja liniowa<\/strong> : pojedyncza zmienna niezale\u017cna jest powi\u0105zana ze zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105. R\u00f3wnanie dla tego typu modelu regresji liniowej ma zatem posta\u0107 y=\u03b2 <sub>0<\/sub> + \u03b2 <sub>1<\/sub> x <sub>1<\/sub> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:20px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Wielokrotna regresja liniowa<\/strong> : Model regresji ma kilka zmiennych obja\u015bniaj\u0105cych i zmienn\u0105 odpowiedzi. Zatem r\u00f3wnanie tego typu modelu regresji liniowej ma posta\u0107 y=\u03b2 <sub>0<\/sub> +\u03b2 <sub>1<\/sub> x <sub>1<\/sub> +\u03b2 <sub>2<\/sub> x <sub>2<\/sub> \u2026+\u03b2 <sub>m<\/sub> x <sub>m<\/sub> .<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regresion-lineal-simple\"><\/span> prosta regresja liniowa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Do powi\u0105zania jednej zmiennej niezale\u017cnej z obiema zmiennymi stosuje si\u0119 <strong>prost\u0105 regresj\u0119 liniow\u0105<\/strong> .<\/p>\n<p> R\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej jest lini\u0105 prost\u0105, dlatego sk\u0142ada si\u0119 z dw\u00f3ch wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w: sta\u0142ej r\u00f3wnania (\u03b2 <sub>0<\/sub> ) i wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji pomi\u0119dzy obiema zmiennymi (\u03b2 <sub>1<\/sub> ). Dlatego r\u00f3wnanie prostego modelu regresji liniowej ma posta\u0107 y=\u03b2 <sub>0<\/sub> + \u03b2 <sub>1<\/sub> x.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83e43f626a469e9de3d5ecfed9a216ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Wzory na obliczenie prostych wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w regresji liniowej<\/strong> s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-459281504d26f92756115054ef567021_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\beta_1=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})^2}\\\\[12ex]\\beta_0=\\overline{y}-\\beta_1\\overline{x}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"176\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5ba513cc7e504bc674f76afa70a3442_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest sta\u0142\u0105 linii regresji.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dff50ab66b848b910ea781069cba1094_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest nachyleniem linii regresji.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest warto\u015bci\u0105 zmiennej niezale\u017cnej X danych i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-761333a1d61654bd1cb5c7224b0d1994_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest warto\u015bci\u0105 zmiennej zale\u017cnej Y danych i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a39858a792fb4fe9a3173e004701f2a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 warto\u015bci zmiennej niezale\u017cnej<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ed5becac4ccb36fec040f449ba9fa52d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest \u015bredni\u0105 warto\u015bci zmiennej zale\u017cnej Y. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prosta-regresja-liniowa\/\">Konkretny przyk\u0142ad prostej regresji liniowej<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regresion-lineal-multiple\"><\/span> Wielokrotna regresja liniowa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> W modelu <strong>regresji liniowej wielokrotnej<\/strong> uwzgl\u0119dnione s\u0105 co najmniej dwie zmienne niezale\u017cne. Innymi s\u0142owy, wielokrotna regresja liniowa umo\u017cliwia liniowe powi\u0105zanie kilku zmiennych obja\u015bniaj\u0105cych ze zmienn\u0105 odpowiedzi.<\/p>\n<p> R\u00f3wnanie modelu regresji liniowej wielokrotnej to y=\u03b2 <sub>0<\/sub> +\u03b2 <sub>1<\/sub> x <sub>1<\/sub> +\u03b2 <sub>2<\/sub> x <sub>2<\/sub> +\u2026+\u03b2 <sub>m<\/sub> x <sub>m<\/sub> +\u03b5.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd3ba8386b5954b654ca555774108ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y=\\beta_0+\\beta_1 x_1+\\beta_2 x_2+\\dots+\\beta_m x_m+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"305\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38461fc041e953482219abf5d4cce1cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest zmienn\u0105 niezale\u017cn\u0105 i.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5ba513cc7e504bc674f76afa70a3442_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest sta\u0142\u0105 r\u00f3wnania regresji liniowej.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff540c55c6ee8f10a1dab8e2422947ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\beta_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest wsp\u00f3\u0142czynnikiem regresji powi\u0105zanym ze zmienn\u0105<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad27a9703483183e1afd245f5232b83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29b8f7fac5f2df4b101dff63e95516c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\varepsilon}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest b\u0142\u0119dem lub reszt\u0105, to znaczy r\u00f3\u017cnic\u0105 mi\u0119dzy warto\u015bci\u0105 obserwowan\u0105 a warto\u015bci\u0105 oszacowan\u0105 przez model.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:5px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdc40b8ad1cdad0aab9d632215459d28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"m\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jest ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0105 zmiennych w modelu.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Je\u015bli wi\u0119c mamy pr\u00f3bk\u0119 o \u0142\u0105cznej warto\u015bci<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> obserwacji mo\u017cemy przedstawi\u0107 model wielokrotnej regresji liniowej w postaci macierzowej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5848686c8ed0857f16e7e24e2a31024e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix}y_1\\\\y_2\\\\\\vdots\\\\y_n\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}1&amp;x_{11}&amp;\\dots&amp;x_{1m}\\\\1&amp;x_{21}&amp;\\dots&amp;x_{2m}\\\\ \\vdots&amp;\\vdots&amp;\\ddots&amp;\\vdots\\\\1&amp;x_{n1}&amp;\\dots&amp;x_{nm}\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}\\beta_0\\\\\\beta_1\\\\\\vdots\\\\\\beta_m\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}\\varepsilon_1\\\\\\varepsilon_2\\\\\\vdots\\\\\\varepsilon_n\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"96\" width=\"370\" style=\"vertical-align: -43px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Powy\u017csze wyra\u017cenie macierzowe mo\u017cna przepisa\u0107, przypisuj\u0105c liter\u0119 do ka\u017cdej macierzy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7614ddbb78ced2e2b8b6c7642d9969c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Y=X\\beta+\\varepsilon\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"95\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem, stosuj\u0105c kryterium najmniejszych kwadrat\u00f3w, mo\u017cemy otrzyma\u0107 <strong>wz\u00f3r na oszacowanie wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w modelu regresji liniowej wielokrotnej<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ef097cee722e7355fa4eb77b7ea3e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\widehat{\\beta}=\\left(X^tX\\right)^{-1}X^tY\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Stosowanie tej formu\u0142y jest jednak bardzo pracoch\u0142onne i czasoch\u0142onne, dlatego w praktyce zaleca si\u0119 stosowanie program\u00f3w komputerowych (takich jak Minitab czy Excel), kt\u00f3re pozwalaj\u0105 znacznie szybciej stworzy\u0107 model regresji wielokrotnej. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wielokrotna-regresja-liniowa-1\/\">Interpretacja modelu wielokrotnej regresji liniowej<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"supuestos-de-la-regresion-lineal\"><\/span> Za\u0142o\u017cenia regresji liniowej<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W modelu regresji liniowej, aby model by\u0142 wa\u017cny, musz\u0105 zosta\u0107 spe\u0142nione nast\u0119puj\u0105ce warunki:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Niezale\u017cno\u015b\u0107<\/strong> : reszty musz\u0105 by\u0107 od siebie niezale\u017cne. Powszechnym sposobem zapewnienia niezale\u017cno\u015bci modelu jest dodanie losowo\u015bci do procesu pr\u00f3bkowania.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Homoscedastyczno\u015b\u0107<\/strong> : wariancje reszt musz\u0105 by\u0107 jednorodne, to znaczy zmienno\u015b\u0107 reszt musi by\u0107 sta\u0142a.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Niewielokoliniowo\u015b\u0107<\/strong> : zmienne obja\u015bniaj\u0105ce zawarte w modelu nie mog\u0105 by\u0107 ze sob\u0105 powi\u0105zane lub przynajmniej ich zwi\u0105zek musi by\u0107 bardzo s\u0142aby.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Normalno\u015b\u0107<\/strong> : reszty musz\u0105 mie\u0107 rozk\u0142ad normalny, czyli innymi s\u0142owy musz\u0105 mie\u0107 rozk\u0142ad normalny ze \u015bredni\u0105 0.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Liniowo\u015b\u0107<\/strong> : zak\u0142ada si\u0119, \u017ce zwi\u0105zek pomi\u0119dzy zmienn\u0105 odpowiedzi a zmiennymi obja\u015bniaj\u0105cymi ma charakter liniowy.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfpara-que-sirve-la-regresion-lineal\"><\/span> Do czego s\u0142u\u017cy regresja liniowa?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Regresja liniowa ma zasadniczo dwa zastosowania: regresja liniowa s\u0142u\u017cy do wyja\u015bnienia zwi\u0105zku mi\u0119dzy zmiennymi obja\u015bniaj\u0105cymi a zmienn\u0105 odpowiedzi i podobnie regresja liniowa s\u0142u\u017cy do przewidywania warto\u015bci zmiennej zale\u017cnej dla nowej obserwacji.<\/p>\n<p> Otrzymuj\u0105c r\u00f3wnanie modelu regresji liniowej, mo\u017cemy dowiedzie\u0107 si\u0119, jaki rodzaj zale\u017cno\u015bci istnieje pomi\u0119dzy zmiennymi w modelu. Je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik regresji zmiennej niezale\u017cnej jest dodatni, zmienna zale\u017cna b\u0119dzie wzrasta\u0107 wraz ze wzrostem. natomiast je\u015bli wsp\u00f3\u0142czynnik regresji zmiennej niezale\u017cnej jest ujemny, zmienna zale\u017cna b\u0119dzie si\u0119 zmniejsza\u0107 wraz ze wzrostem.<\/p>\n<p> Z drugiej strony r\u00f3wnanie obliczone metod\u0105 regresji liniowej pozwala r\u00f3wnie\u017c na przewidywanie warto\u015bci. Zatem wprowadzaj\u0105c warto\u015bci zmiennych obja\u015bniaj\u0105cych do r\u00f3wnania modelu, mo\u017cemy obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 zmiennej zale\u017cnej dla nowej porcji danych.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest regresja liniowa i do czego s\u0142u\u017cy w statystyce. Dodatkowo b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak obliczane s\u0105 dwa typy regresji liniowej: prosta regresja liniowa i wielokrotna regresja liniowa. Co to jest regresja liniowa? Regresja liniowa to model statystyczny, kt\u00f3ry wi\u0105\u017ce jedn\u0105 lub wi\u0119cej zmiennych niezale\u017cnych ze zmienn\u0105 zale\u017cn\u0105. M\u00f3wi\u0105c najpro\u015bciej, regresja [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-316","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Regresja liniowa<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Regresja liniowa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-02T14:06:03+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83e43f626a469e9de3d5ecfed9a216ac_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/\",\"name\":\"\u25b7 Regresja liniowa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-02T14:06:03+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-02T14:06:03+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Regresja liniowa\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Regresja liniowa","description":"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Regresja liniowa","og_description":"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-02T14:06:03+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83e43f626a469e9de3d5ecfed9a216ac_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/","name":"\u25b7 Regresja liniowa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-02T14:06:03+00:00","dateModified":"2023-08-02T14:06:03+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz czym jest regresja liniowa, rodzaje regresji liniowej (regresja liniowa pojedyncza i wielokrotna) oraz wzory na regresj\u0119 liniow\u0105.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regresja-liniowa-1\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Regresja liniowa"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/316","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=316"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/316\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=316"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=316"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=316"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}