{"id":319,"date":"2023-08-02T13:08:08","date_gmt":"2023-08-02T13:08:08","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/"},"modified":"2023-08-02T13:08:08","modified_gmt":"2023-08-02T13:08:08","slug":"test-chi-kwadrat-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/","title":{"rendered":"Test chi-kwadrat"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest test chi-kwadrat w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Dowiesz si\u0119 tak\u017ce jak wykona\u0107 test chi-kwadrat oraz dodatkowo rozwi\u0105zane \u0107wiczenie krok po kroku. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Co to jest test chi-kwadrat?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Test Chi-kwadrat<\/strong> jest testem statystycznym stosowanym w celu ustalenia, czy istnieje statystycznie istotna r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 oczekiwan\u0105 a cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 obserwowan\u0105.<\/p>\n<p> Logicznie rzecz bior\u0105c, statystyka testu chi-kwadrat ma <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-chi-kwadrat\/\">rozk\u0142ad chi-kwadrat<\/a> . Warto\u015b\u0107 statystyki testowej nale\u017cy zatem por\u00f3wna\u0107 z konkretn\u0105 warto\u015bci\u0105 rozk\u0142adu chi-kwadrat. Poni\u017cej zobaczymy, jak przeprowadzany jest test chi-kwadrat.<\/p>\n<p> Ten typ testu statystycznego jest r\u00f3wnie\u017c znany jako <strong>test chi-kwadrat Pearsona<\/strong> i czasami jest reprezentowany przez symbol rozk\u0142adu chi-kwadrat: <strong>test \u03c7\u00b2<\/strong> . <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Wz\u00f3r testu chi-kwadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Statystyka testu chi-kwadrat jest r\u00f3wna sumie kwadrat\u00f3w r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy warto\u015bciami obserwowanymi i warto\u015bciami oczekiwanymi podzielonej przez warto\u015bci oczekiwane.<\/p>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na test chi-kwadrat<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca52fc2f501a2bff49c05e6c321e242e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"52\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:5px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-984dc78529fc235b078a9f3b62d0f0c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest statystyk\u0105 testu chi-kwadrat, kt\u00f3ra jest zgodna z rozk\u0142adem chi-kwadrat<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dfca2445cd362ac42fb9032c9cf2367_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> stopnie swobody.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d42bc2203d6f76ad01b27ac9acc0bee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> to wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki danych.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-434bc05ea7818e67065a4f690de03718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"O_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"19\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest obserwowan\u0105 warto\u015bci\u0105 danych, tj.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e6cfc87bb6b00130570c8c9f348b98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> jest oczekiwan\u0105 warto\u015bci\u0105 danych, tj.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Hipotez\u0105 zerow\u0105 hipotezy testuj\u0105cej test chi-kwadrat jest to, \u017ce zaobserwowane warto\u015bci s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne warto\u015bciom oczekiwanym. Natomiast alternatywn\u0105 hipotez\u0105 testu jest to, \u017ce jedna z obserwowanych warto\u015bci r\u00f3\u017cni si\u0119 od warto\u015bci oczekiwanej.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ef850ed6bba6d33fed54194e3e675e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases}H_0:O_i=E_i \\quad \\forall i\\\\[2ex]H_1:\\exists \\ O_i\\neq E_i \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bior\u0105c pod uwag\u0119 poziom znaczenia<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f44d9bbc8046069be4aa2989bff19aa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> , obliczon\u0105 statystyk\u0119 testow\u0105 nale\u017cy por\u00f3wna\u0107 z krytyczn\u0105 warto\u015bci\u0105 testow\u0105, aby okre\u015bli\u0107, czy odrzuci\u0107 hipotez\u0119 zerow\u0105, czy hipotez\u0119 alternatywn\u0105:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli statystyka testowa jest mniejsza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , hipoteza alternatywna zostaje odrzucona (i przyj\u0119ta zostaje hipoteza zerowa).<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u015bli statystyka testowa jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63233cd2098dd4d4be73a18d4ab3df18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\chi_{1-\\alpha|k-1}^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -10px;\"><\/p>\n<p><\/span> , hipoteza zerowa zostaje odrzucona (i przyj\u0119ta zostaje hipoteza alternatywna). <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b48f7bb620dca865b7e652e81cc247a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\text{Si } \\chi^2<\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_1\\\\[3ex]\\text{Si } \\chi^2>\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}\\text{ se rechaza } H_0\\end{array}&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;70&#8243; width=&#8221;243&#8243; style=&#8221;vertical-align: 0px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Przyk\u0142ad testu chi-kwadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kiedy ju\u017c zapoznali\u015bmy si\u0119 z definicj\u0105 testu chi-kwadrat i jaki jest jego wz\u00f3r, poni\u017cej przedstawiono rozwi\u0105zany krok po kroku przyk\u0142ad, dzi\u0119ki czemu mo\u017cna zobaczy\u0107, jak przeprowadza si\u0119 tego typu test statystyczny.<\/p>\n<ul>\n<li> W\u0142a\u015bciciel sklepu twierdzi, \u017ce 50% jego sprzeda\u017cy dotyczy produktu A, 35% jego sprzeda\u017cy dotyczy produktu B, a 15% jego sprzeda\u017cy dotyczy produktu C. Jednak\u017ce sprzedane jednostki ka\u017cdego produktu to te, w kt\u00f3rych s\u0105 prezentowane w poni\u017cszej <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/tabela-awaryjnych\/\">tabeli awaryjnej<\/a> . Przeanalizuj, czy dane teoretyczne w\u0142a\u015bciciela r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 statystycznie od danych faktycznie zebranych.<\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Produkt<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Zaobserwowana sprzeda\u017c (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Produkt A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Ca\u0142kowity<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Najpierw musimy obliczy\u0107 warto\u015bci oczekiwane przez w\u0142a\u015bciciela sklepu. W tym celu mno\u017cymy procent oczekiwanej sprzeda\u017cy ka\u017cdego produktu przez liczb\u0119 osi\u0105gni\u0119tej sprzeda\u017cy ca\u0142kowitej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfd0d5e1cc7a049ddd825c5db9eb4bec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}E_A=800\\cdot 0,5=400\\\\[2ex]E_B=800\\cdot 0,35=280\\\\[2ex]E_A=800\\cdot 0,15=120\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"92\" width=\"173\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dlatego <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-czestotliwosci\/\">tabela rozk\u0142adu cz\u0119stotliwo\u015bci<\/a> problemu jest nast\u0119puj\u0105ca:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-table aligncenter is-style-stripes\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th> Produkt<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Zaobserwowana sprzeda\u017c (O <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<th class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> Oczekiwana sprzeda\u017c (E <sub>i<\/sub> )<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td> Produkt A<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 453<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 400<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt B<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 268<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 280<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Produkt C<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 79<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 120<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td> Ca\u0142kowity<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<td class=\"has-text-align-center\" data-align=\"center\"> 800<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<p> Teraz, gdy obliczyli\u015bmy wszystkie warto\u015bci, stosujemy wz\u00f3r testu chi-kwadrat do obliczenia statystyki testowej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c76621fbe8504217dfe8ac55b2d6e67_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\displaystyle\\chi^2=\\sum_{i=1}^k\\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\\\[6ex]\\chi^2=\\cfrac{(453-400)^2}{400}+\\cfrac{(268-280)^2}{280}+\\cfrac{(79-120)^2}{120}\\\\[6ex]\\chi^2=7,02+0,51+14,00\\\\[6ex]\\chi^2=21,53\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"252\" width=\"372\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Po obliczeniu warto\u015bci statystyki testowej u\u017cywamy tabeli rozk\u0142adu chi-kwadrat, aby znale\u017a\u0107 warto\u015b\u0107 krytyczn\u0105 testu. Rozk\u0142ad chi-kwadrat ma<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ae885b62b57867e96527f583044991_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k-1=3-1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> stopni swobody, wi\u0119c je\u015bli wybierzemy poziom istotno\u015bci<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76d20f2945704d6640a4b9986b8b7c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha=0,05\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"69\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> warto\u015b\u0107 krytyczna testu jest nast\u0119puj\u0105ca:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1850e764fc71b1e7b49b0c4d8133ab89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}\\chi^2_{1-\\alpha|k-1}=\\ \\color{orange}\\bm{?}\\color{black}\\\\[4ex]\\chi^2_{0,95|2}=5,991\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"78\" width=\"199\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem statystyka testowa (21,53) jest wi\u0119ksza od krytycznej warto\u015bci testowej (5,991), dlatego hipotez\u0119 zerow\u0105 odrzuca si\u0119 i przyjmuje hipotez\u0119 alternatywn\u0105. Oznacza to, \u017ce dane s\u0105 bardzo r\u00f3\u017cne i dlatego w\u0142a\u015bciciel sklepu spodziewa\u0142 si\u0119 innej sprzeda\u017cy ni\u017c faktycznie zrealizowana. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90430933949106828df9b184b6215225_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"21,53>5,991 \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ \\text{Se rechaza } H_0&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;17&#8243; width=&#8221;354&#8243; style=&#8221;vertical-align: -4px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-de-la-prueba-chi-cuadrado\"><\/span> Interpretacja testu chi-kwadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Interpretacji testu Chi-kwadrat<\/strong> nie mo\u017cna dokona\u0107 wy\u0142\u0105cznie na podstawie uzyskanego wyniku testu, ale nale\u017cy go por\u00f3wna\u0107 z warto\u015bci\u0105 krytyczn\u0105 testu.<\/p>\n<p> Logicznie rzecz bior\u0105c, im mniejsza warto\u015b\u0107 obliczonej statystyki testowej, tym bardziej podobne s\u0105 dane zaobserwowane do danych oczekiwanych. Je\u015bli wi\u0119c wynik testu chi-kwadrat wynosi 0, oznacza to, \u017ce warto\u015bci obserwowane i warto\u015bci oczekiwane s\u0105 dok\u0142adnie takie same. Natomiast im wi\u0119kszy wynik testu, tym bardziej zaobserwowane warto\u015bci r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 od oczekiwanych.<\/p>\n<p> Aby jednak zdecydowa\u0107, czy te dwa zbiory danych s\u0105 statystycznie r\u00f3\u017cne czy r\u00f3wne, nale\u017cy por\u00f3wna\u0107 obliczon\u0105 warto\u015b\u0107 testow\u0105 z krytyczn\u0105 warto\u015bci\u0105 testow\u0105, aby odrzuci\u0107 hipotez\u0119 zerow\u0105 lub alternatywn\u0105 hipotez\u0119 kontrastu. Je\u017celi statystyka testowa jest mniejsza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna rozk\u0142adu, hipoteza alternatywna zostaje odrzucona. Z drugiej strony, je\u017celi statystyka testowa jest wi\u0119ksza od warto\u015bci krytycznej rozk\u0142adu, hipoteza zerowa zostaje odrzucona.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest test chi-kwadrat w statystyce i do czego si\u0119 go u\u017cywa. Dowiesz si\u0119 tak\u017ce jak wykona\u0107 test chi-kwadrat oraz dodatkowo rozwi\u0105zane \u0107wiczenie krok po kroku. Co to jest test chi-kwadrat? Test Chi-kwadrat jest testem statystycznym stosowanym w celu ustalenia, czy istnieje statystycznie istotna r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 oczekiwan\u0105 a cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105 obserwowan\u0105. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-319","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-02T13:08:08+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca52fc2f501a2bff49c05e6c321e242e_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/\",\"name\":\"\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-02T13:08:08+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-02T13:08:08+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Test chi-kwadrat\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)","description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-02T13:08:08+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca52fc2f501a2bff49c05e6c321e242e_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/","name":"\u25b7 Test chi-kwadrat (\u03c7\u00b2)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-02T13:08:08+00:00","dateModified":"2023-08-02T13:08:08+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest test chi-kwadrat, do czego s\u0142u\u017cy, jak wykona\u0107 test chi-kwadrat (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-chi-kwadrat-2\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Test chi-kwadrat"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/319","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=319"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/319\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=319"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=319"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=319"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}