{"id":32,"date":"2023-08-06T10:52:51","date_gmt":"2023-08-06T10:52:51","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/"},"modified":"2023-08-06T10:52:51","modified_gmt":"2023-08-06T10:52:51","slug":"operacje-na-zdarzeniach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/","title":{"rendered":"Operacje na zdarzeniach"},"content":{"rendered":"<p>Tutaj wyja\u015bniamy, jakie operacje mo\u017cna wykona\u0107 na zdarzeniach i jak obliczany jest ka\u017cdy typ operacji na zdarzeniach. Dodatkowo mo\u017cesz \u0107wiczy\u0107, wykonuj\u0105c \u0107wiczenia krok po kroku dotycz\u0105ce operacji na zdarzeniach.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-operaciones-con-sucesos\"><\/span> Rodzaje operacji na zdarzeniach<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa istniej\u0105 trzy rodzaje operacji na zdarzeniach, kt\u00f3rymi s\u0105:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\">Suma zdarze\u0144<\/a><\/strong> : prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia tego lub innego zdarzenia.<\/li>\n<li> <strong><a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\">Przeci\u0119cie zdarze\u0144<\/a><\/strong> : jest to \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo dw\u00f3ch lub wi\u0119cej zdarze\u0144.<\/li>\n<li> <strong>R\u00f3\u017cnica w zdarzeniu<\/strong> : Jest to prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce jedno zdarzenie wyst\u0105pi, ale inne nie wyst\u0105pi w tym samym czasie.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Po prostu definiuj\u0105c ka\u017cdy typ operacji na zdarzeniach, trudno jest zrozumie\u0107, w jaki spos\u00f3b ka\u017cdy typ operacji jest wykonywany. Dlatego poni\u017cej wyja\u015bnimy te trzy operacje bardziej szczeg\u00f3\u0142owo.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"union-de-sucesos\"><\/span> po\u0142\u0105czenie wydarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Suma dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> A i B to prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenie A, zdarzenie B lub oba zdarzenia wyst\u0105pi\u0105 w tym samym czasie.<\/p>\n<p> Symbolem po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych wydarze\u0144 jest litera U, wi\u0119c po\u0142\u0105czenie dw\u00f3ch wydarze\u0144 wyra\u017ca si\u0119 liter\u0105 U po\u015brodku dw\u00f3ch liter reprezentuj\u0105cych te zdarzenia.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50505c0ff1d2e55a78d3f7ff7f84346_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> jest r\u00f3wne sumie prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia pomniejszonej o prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 dw\u00f3ch zdarze\u0144.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad obliczymy prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia <em>\u201ewyrzucimy liczb\u0119 parzyst\u0105\u201d<\/em> lub <em>\u201ewyrzucimy liczb\u0119 wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c 4\u201d<\/em> podczas rzucania kostk\u0105.<\/p>\n<p> Istniej\u0105 trzy mo\u017cliwo\u015bci uzyskania parzystej liczby przy rzucie kostk\u0105 (2, 4 i 6), wi\u0119c prawdopodobie\u0144stwo zaj\u015bcia zdarzenia wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z drugiej strony s\u0105 tylko dwie liczby wi\u0119ksze od czterech (5 i 6), zatem ich prawdopodobie\u0144stwo wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> A przeci\u0119cie dw\u00f3ch zdarze\u0144 odpowiada liczbom, kt\u00f3re pojawiaj\u0105 si\u0119 w obu zdarzeniach, wi\u0119c:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0ba40be6117cc3e22d6d347389dea9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B=\\{6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65de1160fc1ca0bf26e9acf7f5fd8c9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=\\cfrac{1}{6}=0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, \u0142\u0105cz\u0105c zdarzenia A i B, prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia b\u0119dzie wynosi\u0107: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cup B)&amp; =P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5+0,33-0,167\\\\[2ex] &amp;=0,67\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interseccion-de-sucesos\"><\/span> skrzy\u017cowanie wydarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Przeci\u0119cie dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> A i B to prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce oba zdarzenia A i B wyst\u0105pi\u0105 w tym samym czasie.<\/p>\n<p> Symbol przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144 jest reprezentowany przez odwr\u00f3cone U.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d142a3ddc9de576e468ef331890da9e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> jest r\u00f3wne iloczynowi prawdopodobie\u0144stw ka\u017cdego zdarzenia z osobna.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oczywi\u015bcie, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144, te dwa zdarzenia musz\u0105 by\u0107 zgodne. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kompatybilne-wydarzenia\/\">Jakie wydarzenia s\u0105 kompatybilne?<\/a><\/div>\n<p> Jako przyk\u0142ad obliczymy prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenia <em>\u201euzyskaj\u0105 liczb\u0119 parzyst\u0105\u201d<\/em> i <em>\u201euzyskaj\u0105 liczb\u0119 wi\u0119ksz\u0105 ni\u017c 4\u201d<\/em> przetn\u0105 si\u0119 podczas rzutu kostk\u0105.<\/p>\n<p> Jak obliczyli\u015bmy powy\u017cej, prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia z osobna wynosi: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-3 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Zatem prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144 b\u0119dzie pomno\u017ceniem prawdopodobie\u0144stw ka\u017cdego zdarzenia: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-467241b200c59905ecdcb42d834bc7ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cap B)&amp; =P(A)\\cdot P(B)\\\\[2ex] &amp; =0,5\\cdot 0,33\\\\[2ex] &amp;=0,167\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"diferencia-de-sucesos\"><\/span> r\u00f3\u017cnica wydarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>R\u00f3\u017cnica dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> A minus B odpowiada wszystkim elementarnym zdarzeniom A, kt\u00f3rych nie ma w B. Innymi s\u0142owy, w r\u00f3\u017cnicy dw\u00f3ch zdarze\u0144 A minus B zdarzenie A jest spe\u0142nione, ale zdarzenie B nie mo\u017ce by\u0107 spe\u0142nione jednocze\u015bnie.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52a50ded14e604d3d89d5df4d87449e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A-B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Prawdopodobie\u0144stwo r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy dwoma zdarzeniami<\/strong> A i B jest r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu wyst\u0105pienia zdarzenia A minus prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zdarze\u0144 elementarnych wsp\u00f3lnych dla A i B.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6629f4be6b709ade16ee97ae8a42d8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A-B)=P(A)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kieruj\u0105c si\u0119 tym samym przyk\u0142adem co w dw\u00f3ch poprzednich rodzajach operacji, prawdopodobie\u0144stwo tego zdarzenia wyznaczymy z r\u00f3\u017cnicy zdarzenia <em>\u201euzyskanie liczby parzystej\u201d<\/em> minus <em>\u201euzyskanie liczby wi\u0119kszej ni\u017c 4\u201d<\/em> podczas rzutu kostkami.<\/p>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia zdarze\u0144 A, B i ich przeci\u0119cia s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce (szczeg\u00f3\u0142owe obliczenia mo\u017cesz zobaczy\u0107 powy\u017cej): <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-7 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-507520eabc66126944ccf6869984ce22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=\\{2,4,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7182c80426b8d6d491af6c679f0527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-141dd1e0fa8df6a6db4ccbb63cc89dd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=\\{5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-563300d3d19119cf838f3ce63d4bf789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-632af7dc98e8dfe1d290dad299b7ed8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B= \\{6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534b4bfc1a446e367ee89c8b92a210e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=\\cfrac{1}{6}= 0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy dwoma zdarzeniami wynosi zatem:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7aed40cdbbe256ec9b19c670f1d7607_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A-B)&amp;=P(A)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5-0,167\\\\[2ex] &amp; =0,33\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"237\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Co ciekawe, r\u00f3\u017cnica zdarze\u0144 AB ma t\u0119 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107, \u017ce jest r\u00f3wnie\u017c r\u00f3wnowa\u017cna przeci\u0119ciu zdarzenia A i zdarzenia uzupe\u0142niaj\u0105cego (lub przeciwnego) zdarzenia B. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef7d6b43d04514a954789f1ca5ef085d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A-B=A\\cap\\overline{B}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"121\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wydarzenie-przeciwne-wydarzenie-uzupe\u0142niajace\/\">Co to jest wydarzenie uzupe\u0142niaj\u0105ce?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-operaciones-con-sucesos\"><\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenia dotycz\u0105ce operacji na zdarzeniach<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u0106wiczenie 1<\/h3>\n<p> Je\u015bli rzucisz sze\u015bcio\u015bcienn\u0105 kostk\u0105, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce otrzymasz liczb\u0119 nieparzyst\u0105 lub liczb\u0119 mniejsz\u0105 ni\u017c 3? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W tym \u0107wiczeniu musimy obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia tego lub innego zdarzenia, a zatem musimy znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia tych dw\u00f3ch zdarze\u0144.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobie\u0144stwo otrzymania liczby nieparzystej, stosuj\u0105c prawo Laplace&#8217;a:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-979ad7431176d3876eefe36603c62fb6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero impar})=\\cfrac{3}{6}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"220\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Po drugie, okre\u015blamy prawdopodobie\u0144stwo otrzymania liczby mniejszej ni\u017c 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5bbf47b98e14d8d013618a4febadd1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero menor que 3})=\\cfrac{2}{6}=0,33\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"281\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Obliczmy teraz prawdopodobie\u0144stwo powt\u00f3rzenia si\u0119 zdarze\u0144 elementarnych, kt\u00f3re jest tylko liczb\u0105 1 (tylko nieparzyst\u0105 mniejsz\u0105 ni\u017c 3):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-def5fea23c1336469a00fb1d7f8a1c9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" P(\\text{n\\'umero impar y menor que 3})=\\cfrac{1}{6}=0,167\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"356\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Na koniec stosujemy wz\u00f3r na sum\u0119 dw\u00f3ch zdarze\u0144, aby obliczy\u0107 ich prawdopodobie\u0144stwo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cup B)&amp; =P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\\\\[2ex] &amp; =0,5+0,33-0,167\\\\[2ex] &amp;=0,67\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u0106wiczenie 2<\/h3>\n<p> Do pude\u0142ka wk\u0142adamy 3 kule pomara\u0144czowe, 2 niebieskie i 5 bia\u0142ych. Wykonujemy losowy eksperyment polegaj\u0105cy na podniesieniu pi\u0142ki, w\u0142o\u017ceniu jej z powrotem do pude\u0142ka, a nast\u0119pnie wyj\u0119ciu kolejnej pi\u0142ki. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce w pierwszym przypadku wylosujemy kul\u0119 niebiesk\u0105, a w drugiej pomara\u0144czow\u0105? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aby rozwi\u0105za\u0107 ten problem, musimy obliczy\u0107 przeci\u0119cie dw\u00f3ch zdarze\u0144, poniewa\u017c chcemy, aby oba zdarzenia elementarne by\u0142y prawdziwe.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobie\u0144stwo z\u0142apania niebieskiej pi\u0142ki, stosuj\u0105c regu\u0142\u0119 Laplace&#8217;a:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2115f0ea9c6fe50a8dab8d498b4ef634_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{sacar bola azul})=\\cfrac{2}{3+2+5}=0,2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nast\u0119pnie znajdujemy prawdopodobie\u0144stwo otrzymania kulki pomara\u0144czowej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edba4b58924cad3279e8aef1c629e272_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{sacar bola naranja})=\\cfrac{3}{3+2+5}=0,3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> I na koniec obliczamy prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144, mno\u017c\u0105c dwa znalezione prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cfcbe0cbee264116460aa623fe22b8f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A\\cap B)&amp; =P(A)\\cdot P(B)\\\\[2ex] &amp; =0,2\\cdot 0,3\\\\[2ex] &amp;=0,06\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Podsumowuj\u0105c, szansa na z\u0142apanie niebieskiej pi\u0142ki w pierwszej pr\u00f3bie i pomara\u0144czowej w drugiej pr\u00f3bie wynosi tylko 6%.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u0106wiczenie 3<\/h3>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Marta zda egzamin wynosi 1\/3, a prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Juan zda ten sam egzamin wynosi 2\/5. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Marta odniesie sukces, a Juan poniesie pora\u017ck\u0119? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W tym \u0107wiczeniu musimy obliczy\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy tymi dwoma zdarzeniami, poniewa\u017c chcemy, aby Marta wyrazi\u0142a zgod\u0119, ale nie Juan. W tym celu wystarczy skorzysta\u0107 ze wzoru na tego typu operacje na zdarzeniach:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0e95b0b85a9436f42caf8eaa44f2a38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle A-B =A\\cap\\overline{B}=\\\\[2ex]\\displaystyle =\\frac{1}{3}\\cdot \\left(1-\\frac{2}{5}\\right) = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{5}=\\\\[3ex] =\\cfrac{3}{15} = 0,2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"134\" width=\"194\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce Marta odniesie sukces, a Juan poniesie pora\u017ck\u0119 w tym samym czasie, wynosi zatem 20%.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tutaj wyja\u015bniamy, jakie operacje mo\u017cna wykona\u0107 na zdarzeniach i jak obliczany jest ka\u017cdy typ operacji na zdarzeniach. Dodatkowo mo\u017cesz \u0107wiczy\u0107, wykonuj\u0105c \u0107wiczenia krok po kroku dotycz\u0105ce operacji na zdarzeniach. Rodzaje operacji na zdarzeniach W teorii prawdopodobie\u0144stwa istniej\u0105 trzy rodzaje operacji na zdarzeniach, kt\u00f3rymi s\u0105: Suma zdarze\u0144 : prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia tego lub innego zdarzenia. Przeci\u0119cie zdarze\u0144 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-32","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-06T10:52:51+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50505c0ff1d2e55a78d3f7ff7f84346_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\",\"name\":\"\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-06T10:52:51+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-06T10:52:51+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Operacje na zdarzeniach\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica","description":"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica","og_description":"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-06T10:52:51+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f50505c0ff1d2e55a78d3f7ff7f84346_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/","name":"\u25b7 Operacje na zdarzeniach: suma, przeci\u0119cie i r\u00f3\u017cnica","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-06T10:52:51+00:00","dateModified":"2023-08-06T10:52:51+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Wyja\u015bniamy operacje na zdarzeniach i spos\u00f3b obliczania ka\u017cdego rodzaju operacji. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami dotycz\u0105cymi operacji na zdarzeniach.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Operacje na zdarzeniach"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/32","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=32"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/32\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=32"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=32"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=32"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}