{"id":36,"date":"2023-08-06T08:15:33","date_gmt":"2023-08-06T08:15:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/"},"modified":"2023-08-06T08:15:33","modified_gmt":"2023-08-06T08:15:33","slug":"prawdopodobienstwo-warunkowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","title":{"rendered":"Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)"},"content":{"rendered":"

Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe). Wyja\u015bniamy, jak obliczane jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, na przyk\u0142adzie i w\u0142a\u015bciwo\u015bciach tego rodzaju prawdopodobie\u0144stwa. Ponadto b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 \u0107wiczy\u0107 krok po kroku rozwi\u0105zywane \u0107wiczenia z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego. <\/p>\n

<\/span> Co to jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe?<\/span><\/h2>\n

Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe<\/strong> , zwane tak\u017ce prawdopodobie\u0144stwem warunkowym<\/strong> , jest miar\u0105 statystyczn\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenie A nast\u0105pi, je\u015bli wyst\u0105pi inne zdarzenie B. Oznacza to, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo warunkowe P(A|B) odnosi si\u0119 do prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia zdarzenia A po wyst\u0105pieniu zdarzenia B.<\/p>\n

Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zapisywane jest pionow\u0105 kresk\u0105 pomi\u0119dzy dwoma zdarzeniami: P(A|B) i brzmi: \u201eprawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarzenia A przy danym zdarzeniu B\u201d.<\/p>\n

Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce warto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa warunkowego to liczba z zakresu od 0 do 1. Im wy\u017csze prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, tym wi\u0119ksze prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenie A nast\u0105pi, gdy nast\u0105pi zdarzenie B, ale im ni\u017csze prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, tym mniejsze prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenie A nast\u0105pi, gdy nast\u0105pi zdarzenie B. <\/p>\n

<\/span> Wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe<\/span><\/h2>\n

Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarzenia A dla danego zdarzenia B<\/strong> jest r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu przeci\u0119cia zdarzenia A i zdarzenia B podzielonemu przez prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia B. <\/p>\n

\"prawdopodobie\u0144stwo<\/figure>\n

Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe) mo\u017cna zastosowa\u0107 tylko wtedy, gdy prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zdarzenia bezwarunkowego jest niezerowe, tj. P(B)\u22600. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, je\u015bli mo\u017cliwe jest wyst\u0105pienie zdarzenia B.<\/p>\n

Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c obliczy\u0107 z jego odwrotno\u015bci, tzn. je\u015bli znane jest P(B|A), mo\u017cna wyznaczy\u0107 P(A|B). Ale aby to zrobi\u0107, musisz zastosowa\u0107 twierdzenie Bayesa, mo\u017cesz zobaczy\u0107, z czego to twierdzenie si\u0119 sk\u0142ada tutaj: <\/p>\n

\u27a4<\/span> Zobacz:<\/strong> Co to jest twierdzenie Bayesa?<\/a> <\/div>\n

<\/span> Przyk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa warunkowego<\/span><\/h2>\n

Kiedy ju\u017c poznamy definicj\u0119 i wz\u00f3r prawdopodobie\u0144stwa warunkowego, krok po kroku rozwi\u0105\u017cemy przyk\u0142ad tego typu prawdopodobie\u0144stwa, aby w pe\u0142ni zrozumie\u0107 jego znaczenie.<\/p>\n

    \n
  • Po zdaniu egzaminu w klasie licz\u0105cej 30 uczni\u00f3w zebrano dane, aby dowiedzie\u0107 si\u0119, ilu uczni\u00f3w si\u0119 uczy\u0142o, a ilu zda\u0142o egzamin. Wyniki przedstawiono w poni\u017cszej tabeli awaryjnej. Na podstawie zebranych danych oblicz warunkowe prawdopodobie\u0144stwo zdania egzaminu, je\u015bli ju\u017c si\u0119 uczy\u0142e\u015b. <\/li>\n<\/ul>\n
    \"Rozwi\u0105zanie<\/figure>\n

    Aby uzyska\u0107 prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, musimy zastosowa\u0107 wz\u00f3r, kt\u00f3ry widzieli\u015bmy wcze\u015bniej:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Dlatego najpierw musimy znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce student studiowa\u0142, studiowa\u0142 i zda\u0142 egzamin. Aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce student si\u0119 uczy\u0142, wystarczy skorzysta\u0107 z regu\u0142y Laplace\u2019a, to znaczy podzieli\u0107 liczb\u0119 student\u00f3w, kt\u00f3rzy studiowali, przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 obserwacji:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{estudiado})=\\cfrac{23}{30}=0,77\"<\/p>\n<\/p>\n

    Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce student studiowa\u0142 i zda\u0142 egzamin w tym samym czasie, mo\u017cemy znale\u017a\u0107 z tabeli kontyngencji, dziel\u0105c liczb\u0119 student\u00f3w, kt\u00f3rzy studiowali i zaliczyli przez sum\u0119:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Zatem prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce student zda egzamin, je\u015bli si\u0119 uczy\u0142, wynosi: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})&=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarze\u0144 zale\u017cnych i niezale\u017cnych<\/span><\/h2>\n

    W tej sekcji zobaczymy, jaki jest zwi\u0105zek mi\u0119dzy prawdopodobie\u0144stwem warunkowym a zdarzeniami zale\u017cnymi i niezale\u017cnymi (lub zdarzeniami zale\u017cnymi i niezale\u017cnymi). Poniewa\u017c chocia\u017c s\u0105 to r\u00f3\u017cne poj\u0119cia, te dwa typy zdarze\u0144 s\u0105 powi\u0105zane z prawdopodobie\u0144stwem warunkowym.<\/p>\n

    Dwa zdarzenia (lub wyst\u0105pienia) s\u0105 niezale\u017cne, gdy prawdopodobie\u0144stwo ich wyst\u0105pienia nie zale\u017cy od siebie. W takim przypadku punkt przeci\u0119cia obu zdarze\u0144 jest r\u00f3wny iloczynowi prawdopodobie\u0144stwa ka\u017cdego zdarzenia z osobna. Dlatego wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe jest uproszczony:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)=\\cfrac{P(A\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, je\u015bli zdarzenia A i B s\u0105 niezale\u017cne, prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarzenia A przy danym zdarzeniu B jest dok\u0142adnie r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/strong><\/p>\n

    Z drugiej strony, gdy dwa zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, oznacza to, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo jednego zdarzenia zale\u017cy od prawdopodobie\u0144stwa drugiego zdarzenia. Zatem, gdy dwa zdarzenia A i B s\u0105 zale\u017cne, prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarzenia A przy danym zdarzeniu B r\u00f3\u017cni si\u0119 od prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)\\neq<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenia z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego<\/span><\/h2>\n

    \u0106wiczenie 1<\/h3>\n

    Wiemy, \u017ce w worku pe\u0142nym pi\u0142ek po\u0142owa jest pomara\u0144czowa, a druga zielona. Dodatkowo jedna trzecia wszystkich pi\u0142ek jest pomara\u0144czowa i jednocze\u015bnie oznaczona znakiem. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wylosowana pomara\u0144czowa kula otrzyma sygna\u0142? <\/p>\n

    \n
    Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Aby rozwi\u0105za\u0107 zadanie, musimy zastosowa\u0107 wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo warunkowy, kt\u00f3ry wynosi:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Stwierdzenie problemu m\u00f3wi nam, \u017ce po\u0142owa worka to pomara\u0144cze. Zatem teoretyczne prawdopodobie\u0144stwo podniesienia pomara\u0144czowej kuli wynosi 50%.<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{naranja})=\\cfrac{1}{2}=0,5\"<\/p>\n<\/p>\n

    Z drugiej strony wiemy, \u017ce jedn\u0105 trzeci\u0105 ca\u0142o\u015bci stanowi\u0105 kule pomara\u0144czowe i maj\u0105 sygna\u0142, zatem prawdopodobie\u0144stwo otrzymania kulki pomara\u0144czowej z sygna\u0142em wynosi:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Na koniec podstawiamy obliczone prawdopodobie\u0144stwa do wzoru na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, aby znale\u017a\u0107 jego warto\u015b\u0107:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})&=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    Podsumowuj\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo wylosowania kuli z sygna\u0142em, je\u015bli jest pomara\u0144czowa, wynosi 66%.<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u0106wiczenie 2<\/h3>\n

    Je\u015bli w pude\u0142ku mamy sze\u015b\u0107 niebieskich d\u0142ugopis\u00f3w i trzy czarne d\u0142ugopisy, oblicz prawdopodobie\u0144stwo wylosowania jednego niebieskiego d\u0142ugopisu i prawdopodobie\u0144stwo wylosowania dw\u00f3ch niebieskich d\u0142ugopis\u00f3w pod rz\u0105d. <\/p>\n

    \n
    Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce raz podniesiesz niebieski d\u0142ugopis, po prostu skorzystaj z prawa Laplace’a:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul})=\\cfrac{6}{6+3}=0,67\"<\/p>\n<\/p>\n

    Zadanie wymaga r\u00f3wnie\u017c poznania prawdopodobie\u0144stwa podniesienia kolejno dw\u00f3ch niebieskich d\u0142ugopis\u00f3w, czyli warunkowego prawdopodobie\u0144stwa podniesienia niebieskiego d\u0142ugopisu, je\u015bli ju\u017c wcze\u015bniej podnie\u015bli\u015bmy niebieski d\u0142ugopis.<\/p>\n

    Je\u015bli narysujemy niebieski d\u0142ugopis, mamy mniej korzystny przypadek, ale w sumie jest te\u017c o jeden d\u0142ugopis mniej. Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe wynosi zatem: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul}|\\text{azul})=\\cfrac{5}{8}=0,63\"<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u0106wiczenie 3<\/h3>\n

    Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe wyrzucenia kostki do liczby 4, je\u015bli w wyniku rzutu monet\u0105 wypadn\u0105 reszki? <\/p>\n

    \n
    Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Aby rozwi\u0105za\u0107 to \u0107wiczenie, nale\u017cy wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119 teori\u0119 prawdopodobie\u0144stwa warunkowego, poniewa\u017c zdarzenia \u201euzyskanie liczby 4 w wyniku rzutu kostk\u0105\u201d<\/em> i \u201euzyskanie or\u0142a w wyniku rzutu monet\u0105\u201d<\/em> s\u0105 niezale\u017cne. Nie jest zatem konieczne stosowanie wzoru na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, ale spe\u0142niona jest nast\u0119puj\u0105ca r\u00f3wno\u015b\u0107:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    Aby znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, po prostu skorzystaj z regu\u0142y Laplace’a: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    \u0106wiczenie 4<\/h3>\n

    Zbadano rok finansowy 25 sp\u00f3\u0142ek w danym kraju oraz to, jak zmieniaj\u0105 si\u0119 ceny ich akcji w zale\u017cno\u015bci od wyniku ekonomicznego roku. Zebrane dane mo\u017cna zobaczy\u0107 w poni\u017cszej tabeli awaryjnej: <\/p>\n

    \"Rozwi\u0105zanie<\/figure>\n

    Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo wzrostu ceny akcji sp\u00f3\u0142ki, je\u015bli osi\u0105gn\u0119\u0142a ona zysk w ci\u0105gu ostatniego roku? <\/p>\n

    \n
    Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    W \u0107wiczeniu pytamy o warunkowe prawdopodobie\u0144stwo wzrostu warto\u015bci zapas\u00f3w przy za\u0142o\u017ceniu, \u017ce sp\u00f3\u0142ka osi\u0105gn\u0119\u0142a dodatni wynik ekonomiczny. Aby wi\u0119c obliczy\u0107 to prawdopodobie\u0144stwo, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na prawdopodobie\u0144stwo warunkowe:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce sp\u00f3\u0142ka osi\u0105gnie zysk, a po drugie, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce sp\u00f3\u0142ka osi\u0105gnie zysk ekonomiczny, zwi\u0119kszaj\u0105c cen\u0119 za akcj\u0119: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{beneficio})=\\cfrac{14}{25}=0,56\"<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    Nast\u0119pnie podstawiamy znalezione warto\u015bci do wzoru i obliczamy prawdopodobie\u0144stwo warunkowe: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    <\/span> W\u0142asno\u015bci prawdopodobie\u0144stwa warunkowego<\/span><\/h2>\n

    W\u0142a\u015bciwo\u015bci prawdopodobie\u0144stwa warunkowego lub prawdopodobie\u0144stwa warunkowego s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n

      \n
    • Suma prawdopodobie\u0144stwa warunkowego zdarzenia A danego zdarzenia B plus prawdopodobie\u0144stwa warunkowego zdarzenia uzupe\u0142niaj\u0105cego A danego zdarzenia B jest r\u00f3wna jeden.<\/li>\n<\/ul>\n

      \"<\/p>\n<\/p>\n

        \n
      • Je\u015bli zdarzenie A jest podzbiorem zdarzenia B, A zawsze wyst\u0105pi, gdy B b\u0119dzie prawdziwe. Zatem prawdopodobie\u0144stwo warunkowe zdarzenia A przy danym zdarzeniu B w tych przypadkach wynosi 1.<\/li>\n<\/ul>\n

        \"B\\subseteq<\/p>\n<\/p>\n

          \n
        • Bior\u0105c pod uwag\u0119 dwa r\u00f3\u017cne zdarzenia, zawsze zachodzi nast\u0119puj\u0105ca r\u00f3wno\u015b\u0107 w odniesieniu do prawdopodobie\u0144stwa warunkowego:<\/li>\n<\/ul>\n

          \"P\\bigl(A\\bigr)=P\\bigl(A|B\\bigr)\\cdot<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe). Wyja\u015bniamy, jak obliczane jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe, na przyk\u0142adzie i w\u0142a\u015bciwo\u015bciach tego rodzaju prawdopodobie\u0144stwa. Ponadto b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 \u0107wiczy\u0107 krok po kroku rozwi\u0105zywane \u0107wiczenia z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego. Co to jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe? Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe , zwane tak\u017ce prawdopodobie\u0144stwem warunkowym , jest miar\u0105 statystyczn\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zdarzenie […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-36","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"\n\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-06T08:15:33+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/probabilite-conditionnelle-ou-conditionnelle.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\",\"name\":\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-06T08:15:33+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-06T08:15:33+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)","description":"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)","og_description":"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-06T08:15:33+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/probabilite-conditionnelle-ou-conditionnelle.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/","name":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-06T08:15:33+00:00","dateModified":"2023-08-06T08:15:33+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Wyja\u015bniamy, czym jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe i jak jest obliczane. Z rozwi\u0105zanymi \u0107wiczeniami z prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/36","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=36"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/36\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=36"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=36"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=36"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}