{"id":362,"date":"2023-08-01T19:09:16","date_gmt":"2023-08-01T19:09:16","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/"},"modified":"2023-08-01T19:09:16","modified_gmt":"2023-08-01T19:09:16","slug":"regula-mnozenia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/","title":{"rendered":"Regu\u0142a mno\u017cenia"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest zasada mno\u017cenia, zwana tak\u017ce regu\u0142\u0105 iloczynu, w teorii prawdopodobie\u0144stwa. Znajdziesz wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia, przyk\u0142ady obliczania prawdopodobie\u0144stwa za pomoc\u0105 regu\u0142y mno\u017cenia, a ponadto kilka rozwi\u0105zanych \u0107wicze\u0144 do prze\u0107wiczenia.<\/p>\n<p> Regu\u0142a mno\u017cenia zale\u017cy od tego, czy zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, czy zale\u017cne, dlatego najpierw zobaczymy, jak regu\u0142a wygl\u0105da dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych, a p\u00f3\u017aniej dla zdarze\u0144 zale\u017cnych. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Regu\u0142a mno\u017cenia dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Pami\u0119taj, \u017ce niezale\u017cne zdarzenia s\u0105 wynikami eksperymentu statystycznego, kt\u00f3rego prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia nie zale\u017cy od siebie. Innymi s\u0142owy, dwa zdarzenia A i B s\u0105 niezale\u017cne, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zdarzenia A nie zale\u017cy od wyst\u0105pienia zdarzenia B i odwrotnie. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wydarzenia-niezalezne-wydarzenia\/\">Czym s\u0105 zdarzenia niezale\u017cne?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Gdy dwa zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, <strong>zasada mno\u017cenia<\/strong> m\u00f3wi, \u017ce \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia obu zdarze\u0144 jest r\u00f3wne iloczynowi prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia.<\/p>\n<\/div>\n<p> Zatem wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia zdarze\u0144 niezale\u017cnych jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> I<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> To dwa niezale\u017cne zdarzenia.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest \u0142\u0105cznym prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A i zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia B. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wspolne-prawdopodobienstwo\/\">Co to jest prawdopodobie\u0144stwo \u0142\u0105czne?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-independientes\"><\/span> Przyk\u0142adowa regu\u0142a mno\u017cenia dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Monet\u0105 rzucamy trzy razy z rz\u0119du. Oblicz prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a we wszystkich trzech rzutach.<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku zdarzenia, dla kt\u00f3rych chcemy obliczy\u0107 \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo, s\u0105 niezale\u017cne, poniewa\u017c wynik losowania nie zale\u017cy od wyniku uzyskanego w poprzednim losowaniu. Dlatego, aby wyznaczy\u0107 \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia trzech kolejnych or\u0142\u00f3w, nale\u017cy skorzysta\u0107 ze wzoru na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kiedy rzucamy monet\u0105, istniej\u0105 tylko dwa mo\u017cliwe wyniki: mo\u017cemy wyrzuci\u0107 or\u0142a lub reszk\u0119. Zatem prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a lub reszki podczas rzucania monet\u0105 wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bc45ea1827985f95c0e3199c9bc2bdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cruz})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aby wi\u0119c obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a we wszystkich trzech rzutach monet\u0105, musimy pomno\u017cy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a przez trzy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e107223e0e6a05a2bfaaf05dcc8d33a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara}\\cap \\text{cara}\\cap \\text{cara})=0,5\\cdot 0,5\\cdot 0,5=0,125\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"357\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a trzy razy z rz\u0119du wynosi 12,5%.<\/p>\n<p> Poni\u017cej znajduj\u0105 si\u0119 wszystkie mo\u017cliwe zdarzenia przedstawione wraz z ich prawdopodobie\u0144stwami na diagramie drzewa, w ten spos\u00f3b mo\u017cna lepiej zobaczy\u0107 proces, kt\u00f3ry zastosowali\u015bmy, aby uzyska\u0107 \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/diagramme-arborescent-calcul-de-probabilite.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3135\" width=\"436\" height=\"364\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/schemat-drzewa\/\">Co to jest diagram drzewa?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Regu\u0142a mno\u017cenia dla zdarze\u0144 zale\u017cnych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Teraz, gdy wiemy, jaka jest zasada mno\u017cenia dla zdarze\u0144 niezale\u017cnych, przyjrzyjmy si\u0119, jak to prawo wygl\u0105da dla zdarze\u0144 zale\u017cnych, poniewa\u017c wz\u00f3r jest nieco inny.<\/p>\n<p> Pami\u0119taj, \u017ce zdarzenia zale\u017cne s\u0105 wynikami losowego eksperymentu, kt\u00f3rego prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zale\u017cy od siebie. Oznacza to, \u017ce dwa zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia jednego zdarzenia wp\u0142ywa na prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia drugiego zdarzenia. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/zdarzenia-zalezne-od-zdarzen\/\">Czym s\u0105 zdarzenia zale\u017cne?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Wz\u00f3r regu\u0142y mno\u017cenia dla zdarze\u0144 zale\u017cnych <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Gdy dwa zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, <strong>zasada mno\u017cenia<\/strong> m\u00f3wi, \u017ce \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia obu zdarze\u0144 jest r\u00f3wne iloczynowi prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia jednego zdarzenia i prawdopodobie\u0144stwa warunkowego drugiego zdarzenia, przy uwzgl\u0119dnieniu pierwszego zdarzenia.<\/p>\n<\/div>\n<p> Zatem wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia zdarze\u0144 zale\u017cnych wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddb39f8c7ff49e40025c3aae59044d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto: <\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> I<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> S\u0105 to dwa zdarzenia zale\u017cne.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A i zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c0c4ce70731e4b1321acc93f53679ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym wyst\u0105pienia zdarzenia B przy danym zdarzeniu A. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\">Co to jest prawdopodobie\u0144stwo warunkowe?<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-regla-de-la-multiplicacion-para-eventos-dependientes\"><\/span> Przyk\u0142adowa regu\u0142a mno\u017cenia dla zdarze\u0144 zale\u017cnych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> W pustym pude\u0142ku wk\u0142adamy 8 kul niebieskich, 4 pomara\u0144czowe i 2 zielone. Je\u015bli najpierw losujemy jedn\u0105, potem drug\u0105 kul\u0119, nie wk\u0142adaj\u0105c pierwszej wylosowanej do pude\u0142ka, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce pierwsza kula b\u0119dzie niebieska, a druga pomara\u0144czowa?<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, poniewa\u017c prawdopodobie\u0144stwo podniesienia kulki pomara\u0144czowej w drugim losowaniu zale\u017cy od koloru kulki wylosowanej w pierwszym losowaniu. Dlatego, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo \u0142\u0105czne, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia dla zdarze\u0144 zale\u017cnych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddb39f8c7ff49e40025c3aae59044d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwo otrzymania niebieskiej kuli w pierwszym losowaniu jest \u0142atwe do ustalenia, wystarczy podzieli\u0107 liczb\u0119 niebieskich kul przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 kul:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01c2ac51c56664735750a0821834727d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{8}{8+4+2}=\\cfrac{8}{14}=0,57\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"295\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z drugiej strony prawdopodobie\u0144stwo wylosowania kulki pomara\u0144czowej po wzi\u0119ciu kulki niebieskiej jest obliczane inaczej, poniewa\u017c liczba kul pomara\u0144czowych jest inna, a dodatkowo w pude\u0142ku jest teraz o jedn\u0105 kul\u0119 mniej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4dfda0193e549c67dabe2e6065d84f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\cfrac{4}{7+4+2}=\\cfrac{4}{13}=0,31\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo wylosowania najpierw kuli niebieskiej, a nast\u0119pnie pomara\u0144czowej oblicza si\u0119, mno\u017c\u0105c oba prawdopodobie\u0144stwa podane powy\u017cej: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94896f8575aeb7e73cc056595920fedb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}P(\\text{bola azul}\\cap\\text{bola naranja})=\\\\[2ex]=P(\\text{bola azul})\\cdot P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\\\[2ex]=0,57\\cdot 0,31= \\\\[2ex]=0,18\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"348\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\">Zasada dodawania<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-regla-de-la-multiplicacion\"><\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenia z regu\u0142y mno\u017cenia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u0106wiczenie 1<\/h3>\n<p> W mie\u015bcie dzia\u0142aj\u0105 tylko 3 przedszkola: 60% dzieci ucz\u0119szcza do przedszkola A, 30% do przedszkola B i 10% do przedszkola C. Dodatkowo w trzech o\u015brodkach 55% stanowi\u0105 dziewczynki. Oblicz nast\u0119puj\u0105ce prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<ul>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce w przypadku losowego wyboru dziecka z przedszkola B b\u0119dzie to dziewczynka.<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce losowo wybrane dziecko z dowolnego przedszkola b\u0119dzie ch\u0142opcem. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Je\u017celi odsetek dziewcz\u0105t we wszystkich przedszkolach wynosi 55%, odsetek ch\u0142opc\u00f3w oblicza si\u0119, odejmuj\u0105c 1 minus 0,55:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6c48cfc81fd4e8283d9366bced38a6b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico})=1-0,55=0,45\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Teraz, gdy znamy ju\u017c wszystkie prawdopodobie\u0144stwa, mo\u017cemy stworzy\u0107 drzewo zawieraj\u0105ce prawdopodobie\u0144stwa wszystkich mo\u017cliwo\u015bci: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-resolu-du-diagramme-arborescent.png\" alt=\"\u0106wiczenie z drzewem rozwi\u0105zane\" class=\"wp-image-3140\" width=\"312\" height=\"330\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W tym przypadku zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, poniewa\u017c prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce b\u0119dzie to ch\u0142opiec czy dziewczynka, nie zale\u017cy od wybranego przedszkola. Zatem, aby znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo losowego wybrania dziewczynki z przedszkola B, nale\u017cy pomno\u017cy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wybrania przedszkola B przez prawdopodobie\u0144stwo wybrania dziewczynki:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8da69823ee95f9d3eb866b8830c69459_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chica guarder\\'ia B})=0,30\\cdot 0,55=\\bm{0,165}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Z drugiej strony, aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wybrania ch\u0142opca do dowolnego przedszkola, musimy najpierw obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wybrania ch\u0142opca do ka\u017cdego przedszkola, a nast\u0119pnie doda\u0107 je do siebie: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cba123bdad65bc0ef13fe011d12c16e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia A})=0,6\\cdot 0,45=0,27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"320\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-502aba9717f579b47d3aae94af910f9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia B})=0,30\\cdot 0,45=0,135\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ab8a01b04f94bda577564f835167d88_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia C})=0,10\\cdot 0,45=0,045\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"336\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2e92f117cfeb16530b9f37c647fe4f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{chico guarder\\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\\bm{0,45}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"467\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u0106wiczenie 2<\/h3>\n<p> Zbadano rok finansowy 25 sp\u00f3\u0142ek w danym kraju oraz to, jak zmieniaj\u0105 si\u0119 ceny ich akcji w zale\u017cno\u015bci od wyniku ekonomicznego roku. Zebrane dane mo\u017cna zobaczy\u0107 w poni\u017cszej tabeli awaryjnej: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-de-probabilite-conditionnelle-resolu.png\" alt=\"Rozwi\u0105zanie \u0107wiczenia prawdopodobie\u0144stwa warunkowego\" class=\"wp-image-667\" width=\"344\" height=\"151\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce firma osi\u0105gnie zysk, a jednocze\u015bnie odnotuje wzrost cen akcji? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W tym przypadku zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, poniewa\u017c prawdopodobie\u0144stwo wzrostu lub spadku zapas\u00f3w zale\u017cy od wyniku ekonomicznego. Dlatego musimy zastosowa\u0107 formu\u0142\u0119 regu\u0142y mno\u017cenia dla zdarze\u0144 zale\u017cnych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a2782612358c488cafb90c8c642eb5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{beneficio}\\cap\\text{precio sube})}=P(\\text{beneficio})\\cdot P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"520\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce sp\u00f3\u0142ka osi\u0105gnie zysk, a po drugie, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce akcje sp\u00f3\u0142ki wzrosn\u0105, gdy osi\u0105gnie ona zysk ekonomiczny: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe323f1e5e9f9e0e8fc44e886a63b476_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{beneficio})=\\cfrac{14}{25}=0,56\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a16170cf4dd1928934f317f29631dfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})=\\cfrac{10}{14}=0,71 \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"288\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nast\u0119pnie podstawiamy obliczone warto\u015bci do wzoru i obliczamy \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ef9a2ba07b99febef46f59960dc628d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}P(\\text{beneficio}\\cap\\text{precio sube})}=\\\\[2ex]=P(\\text{beneficio})\\cdot P(\\text{precio sube}|\\text{beneficio})=\\\\[2ex]= 0,56\\cdot 0,71=\\\\[2ex] =\\bm{0,4} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"332\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest zasada mno\u017cenia, zwana tak\u017ce regu\u0142\u0105 iloczynu, w teorii prawdopodobie\u0144stwa. Znajdziesz wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia, przyk\u0142ady obliczania prawdopodobie\u0144stwa za pomoc\u0105 regu\u0142y mno\u017cenia, a ponadto kilka rozwi\u0105zanych \u0107wicze\u0144 do prze\u0107wiczenia. Regu\u0142a mno\u017cenia zale\u017cy od tego, czy zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, czy zale\u017cne, dlatego najpierw zobaczymy, jak regu\u0142a wygl\u0105da dla [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-362","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T19:09:16+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/\",\"name\":\"\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T19:09:16+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T19:09:16+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Regu\u0142a mno\u017cenia\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia","description":"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia","og_description":"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T19:09:16+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/","name":"\u25b7 Regu\u0142a mno\u017cenia","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T19:09:16+00:00","dateModified":"2023-08-01T19:09:16+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz regu\u0142\u0119 mno\u017cenia (lub regu\u0142\u0119 iloczynu) s\u0142u\u017c\u0105c\u0105 do obliczania prawdopodobie\u0144stw, jej wz\u00f3r oraz rozwi\u0105zane \u0107wiczenia do \u0107wicze\u0144.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/regula-mnozenia\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Regu\u0142a mno\u017cenia"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/362","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=362"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/362\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=362"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=362"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=362"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}