{"id":376,"date":"2023-08-01T12:09:39","date_gmt":"2023-08-01T12:09:39","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/"},"modified":"2023-08-01T12:09:39","modified_gmt":"2023-08-01T12:09:39","slug":"twierdzenie-bayesa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/","title":{"rendered":"Twierdzenie bayesa"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest twierdzenie Bayesa i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. W ten spos\u00f3b dowiesz si\u0119, jaki jest wz\u00f3r twierdzenia Bayesa, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia Bayesa i jakie s\u0105 zastosowania tego twierdzenia.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-bayes\"><\/span> Jakie jest twierdzenie Bayesa?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>twierdzenie Bayesa<\/strong> jest prawem u\u017cywanym do obliczania prawdopodobie\u0144stwa zdarzenia, gdy znana jest a priori informacja o tym zdarzeniu.<\/p>\n<p> M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, twierdzenie Bayesa matematycznie wi\u0105\u017ce prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia A przy danym zdarzeniu B z prawdopodobie\u0144stwem B przy danym A.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad, je\u015bli znasz z g\u00f3ry prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce dana osoba b\u0119dzie mia\u0142a b\u00f3l g\u0142owy w przypadku grypy, mo\u017cesz u\u017cy\u0107 twierdzenia Bayesa, aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce dana osoba b\u0119dzie mia\u0142a gryp\u0119 w przypadku b\u00f3lu g\u0142owy.<\/p>\n<p> Twierdzenie Bayesa ma wiele zastosowa\u0144, np. wykorzystuje si\u0119 je w medycynie, ekonomii czy technologii do obliczania prawdopodobie\u0144stw pewnych zdarze\u0144 uwarunkowanych innymi zdarzeniami. Poni\u017cej om\u00f3wimy szczeg\u00f3\u0142owo r\u00f3\u017cne zastosowania twierdzenia Bayesa.<\/p>\n<p> Twierdzenie Bayesa zosta\u0142o wymy\u015blone przez angielskiego matematyka Thomasa Bayesa (1702-1761), chocia\u017c zosta\u0142o opublikowane po\u015bmiertnie w 1763 roku. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\">Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Wz\u00f3r twierdzenia Bayesa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Twierdzenie Bayesa m\u00f3wi, \u017ce maj\u0105c przestrze\u0144 pr\u00f3bki z\u0142o\u017con\u0105 ze zbioru <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/zdarzen-wzajemnie-wykluczajacych\/\">wzajemnie wykluczaj\u0105cych si\u0119 zdarze\u0144<\/a> {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>i<\/sub> ,\u2026, <sub>An<\/sub> }, kt\u00f3rych prawdopodobie\u0144stwa nie s\u0105 r\u00f3wne zero, oraz innego zdarzenia B , mo\u017cemy matematycznie powi\u0105za\u0107 warunek prawdopodobie\u0144stwo A <sub>i,<\/sub> bior\u0105c pod uwag\u0119 zdarzenie B, z prawdopodobie\u0144stwem warunkowym B, bior\u0105c pod uwag\u0119 A <sub>i<\/sub> .<\/p>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na twierdzenie Bayesa<\/strong> , znane r\u00f3wnie\u017c jako <strong>regu\u0142a Bayesa<\/strong> , wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-bayes.png\" alt=\"Wz\u00f3r twierdzenia Bayesa, regu\u0142a Bayesa\" class=\"wp-image-8514\" width=\"370\" height=\"318\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62ffcdb184381914ec23155ad31bbfb0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym zdarzenia A <sub>w przypadku<\/sub> danego zdarzenia B, zwanym prawdopodobie\u0144stwem p\u00f3\u017aniejszym.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym zdarzenia B przy danym zdarzeniu A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem zaj\u015bcia zdarzenia A <sub>i<\/sub> , zwanym prawdopodobie\u0144stwem apriorycznym.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce mianownikiem wzoru twierdzenia Bayesa jest <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-ca\u0142kowitym\/\">ca\u0142kowite prawdopodobie\u0144stwo<\/a> zdarzenia B. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Przyk\u0142ad twierdzenia Bayesa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kiedy ju\u017c poznamy definicj\u0119 twierdzenia Bayesa i jego wz\u00f3r, zobaczymy rozwi\u0105zany przyk\u0142ad obliczania prawdopodobie\u0144stwa za pomoc\u0105 twierdzenia Bayesa, aby lepiej zrozumie\u0107 t\u0119 koncepcj\u0119.<\/p>\n<ul>\n<li> W sklepie z elektronik\u0105 znajduj\u0105 si\u0119 telewizory trzech marek: X, Y, Z. Szacuje si\u0119, \u017ce 20% sprzeda\u017cy stanowi\u0105 telewizory marki Y s\u0105 wadliwe, 3% telewizory marki Y s\u0105 wadliwe, a 4% telewizory marki Z s\u0105 wadliwe. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce jest to telewizor marki Z, bior\u0105c pod uwag\u0119 wadliwy telewizor?<\/li>\n<\/ul>\n<p> \u0106wiczenie daje nam prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce klient kupi telewizor ka\u017cdej marki:<\/p>\n<ul>\n<li> Zdarzenie A <sub>1<\/sub> : Klient kupuje telewizor marki X \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,20<\/li>\n<li> Zdarzenie A <sub>2<\/sub> : Klient kupuje telewizor marki Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Zdarzenie A <sub>3<\/sub> : Klient kupuje telewizor marki Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Ponadto odczyt daje nam r\u00f3wnie\u017c prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce telewizor ka\u017cdej marki jest uszkodzony:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Zdarzenie B: Telewizor jest uszkodzony<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Telewizor marki X jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Telewizor marki Y jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Telewizor marki Z jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zatem <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/schemat-drzewa\/\">drzewo prawdopodobie\u0144stwa<\/a> wszystkich interesuj\u0105cych nas zdarze\u0144 wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"Schemat drzewa twierdze\u0144 Bayesa\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Aby wi\u0119c obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce w przypadku uszkodzonego telewizora b\u0119dzie to telewizor marki Z, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru z twierdzenia Bayesa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> U\u017cywaj\u0105c terminologii u\u017cytej w tym przyk\u0142adzie, wz\u00f3r Bayesa wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c2b74ac3ed5173c4a40837675d8282d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_3|B)=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"525\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem obliczenie prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce dany wadliwy telewizor to marka Z, wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-818d0f3336f855a1315d6a94f01d1876_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_3|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,04\\cdot 0,30}{0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30}\\\\[2ex]&amp;=0,32\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"525\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podsumowuj\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce je\u015bli telewizor jest uszkodzony, jest to marka Z, wynosi 32%. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"aplicaciones-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Zastosowania twierdzenia Bayesa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Twierdzenie Bayesa ma wiele zastosowa\u0144, w tym:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Testy medyczne<\/strong> : Twierdzenie Bayesa jest cz\u0119sto stosowane w medycynie do okre\u015blenia prawdopodobie\u0144stwa przej\u015bcia test\u00f3w diagnostycznych. Na przyk\u0142ad w przypadku testu na obecno\u015b\u0107 wirusa HIV twierdzenie to mo\u017cna wykorzysta\u0107 do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce dana osoba faktycznie jest zaka\u017cona wirusem, je\u015bli wynik testu jest pozytywny.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Analiza finansowa<\/strong> : W finansach twierdzenie Bayesa s\u0142u\u017cy do obliczania prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia okre\u015blonych zdarze\u0144 gospodarczych, takich jak wzrost lub spadek warto\u015bci akcji, przy za\u0142o\u017ceniu zestawu zmiennych ekonomicznych.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Badania rynku<\/strong> : Twierdzenie Bayesa pozwala na okre\u015blenie np. prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce dana osoba kupi produkt po zobaczeniu reklamy tego produktu.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Prognozowanie pogody<\/strong> : Modele pogody wykorzystuj\u0105 r\u00f3wnie\u017c twierdzenie Bayesa do okre\u015blenia prawdopodobie\u0144stwa spe\u0142nienia si\u0119 danej prognozy pogody na podstawie zaobserwowanych danych. Poprawia to dok\u0142adno\u015b\u0107 prognoz klimatycznych.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Bezpiecze\u0144stwo komputerowe<\/strong> &#8211; w cyberbezpiecze\u0144stwie twierdzenie Bayesa mo\u017cna zastosowa\u0107 do okre\u015blenia prawdopodobie\u0144stwa, \u017ce podejrzane dzia\u0142anie jest w rzeczywisto\u015bci atakiem na system komputerowy.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-del-teorema-de-bayes\"><\/span> Rozwi\u0105zane problemy z twierdzeniem Bayesa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u0106wiczenie 1<\/h3>\n<p> Szacuje si\u0119, \u017ce na jak\u0105\u015b chorob\u0119 cierpi 1% populacji. Test wykrywaj\u0105cy t\u0119 chorob\u0119 ma skuteczno\u015b\u0107 w 95% w przypadku przypadk\u00f3w pozytywnych i 90% w przypadku przypadk\u00f3w negatywnych. Je\u015bli losowo wybrana osoba uzyska wynik pozytywny, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce rzeczywi\u015bcie jest ona chora? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Instrukcja \u0107wiczenia daje nam nast\u0119puj\u0105ce prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> A <sub>1<\/sub> : Osoba jest chora \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,01<br \/> A <sub>2<\/sub> : Osoba nie jest chora \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,99<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> B: Test jest pozytywny<br \/> B|A <sub>1<\/sub> : Wynik pozytywny, gdy dana osoba jest chora \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,95<br \/> B|A <sub>2<\/sub> : Test jest pozytywny, gdy dana osoba nie jest chora \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=1-0,90=0,10<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nast\u0119pnie, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce losowo wybrana osoba rzeczywi\u015bcie b\u0119dzie chora, gdy wynik testu b\u0119dzie pozytywny, nale\u017cy zastosowa\u0107 regu\u0142\u0119 Bayesa: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d76df126cb6076aeba65aa7d1c12e344_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_1|B)=\\cfrac{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Podstawiamy wi\u0119c warto\u015bci do wzoru i wykonujemy obliczenie prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-135e9ab7de6b44e7392fae0f5e70a125_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_1|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,95\\cdot 0,01}{0,95\\cdot 0,01+0,10\\cdot 0,99}\\\\[2ex]&amp;=0,0876\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"374\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce losowo wybrana osoba uzyska pozytywny wynik testu i rzeczywi\u015bcie b\u0119dzie chora, wynosi 8,76%.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u0106wiczenie 2<\/h3>\n<p> Szacuje si\u0119, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce cena akcji w ci\u0105gu jednego dnia wzro\u015bnie wynosi 40%, \u017ce pozostanie stabilna, wynosi 10%, a \u017ce spadnie, wynosi 50%. Co wi\u0119cej, wiemy, \u017ce gdy rynek ro\u015bnie, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce analityk finansowy przewidzi to poprawnie, wynosi 90%, \u017ce gdy rynek pozostaje stabilny, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce prognoza si\u0119 sprawdzi, wynosi 75%, a w przypadku spadku prawdopodobie\u0144stwo trafnej prognozy wynosi 75%. 85%.%. Je\u015bli analityk przewiduje, \u017ce rynek spadnie, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce faktycznie spadnie? <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__FFF8E1\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#FFF8E1\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Zobacz rozwi\u0105zanie<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W tym przypadku instrukcja \u0107wiczenia zapewnia nam nast\u0119puj\u0105ce prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> A <sub>1<\/sub> : Rynek ro\u015bnie w ci\u0105gu jednego dnia \u2192 P(A <sub>1<\/sub> )=0,40<br \/> A <sub>2<\/sub> : Rynek pozostaje stabilny przez jeden dzie\u0144 \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,10<br \/> A <sub>3<\/sub> : Rynek ro\u015bnie w ci\u0105gu jednego dnia \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,50<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> B: Analityk przewiduje, \u017ce rynek spadnie<br \/> B|A <sub>1<\/sub> : Analityk poprawnie przewiduje, \u017ce rynek wzro\u015bnie \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,90<br \/> B|A <sub>2<\/sub> : Analityk poprawnie przewiduje, \u017ce rynek pozostanie stabilny \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,75<br \/> B|A <sub>3<\/sub> : Analityk poprawnie przewiduje spadek rynku \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,85<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce analityk przewiduje spadek rynku i \u017ce jest to prawid\u0142owe, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru twierdzenia Bayesa: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c15e369635dcf17952b5d832a818d535_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i|B)=\\cfrac{P(B|A_i)\\cdot P(A_i)}{\\displaystyle \\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\\cdot P(A_k)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"77\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -49px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c2b74ac3ed5173c4a40837675d8282d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_3|B)=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"525\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Podstawiamy warto\u015bci prawdopodobie\u0144stwa do wzoru Bayesa i obliczamy prawdopodobie\u0144stwo:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f98a5a8a91299aa55aab02159dcebec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(A_3|B)&amp;=\\cfrac{P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}{P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+ P(B|A_3)\\cdot P(A_3)}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{0,85\\cdot 0,50}{0,90\\cdot 0,40+0,75\\cdot 0,10+0,85\\cdot 0,50}\\\\[2ex]&amp;=0,4942\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"151\" width=\"525\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zatem prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce analityk ma racj\u0119 m\u00f3wi\u0105c, \u017ce gie\u0142da spadnie, wynosi 49,42%.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest twierdzenie Bayesa i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. W ten spos\u00f3b dowiesz si\u0119, jaki jest wz\u00f3r twierdzenia Bayesa, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia Bayesa i jakie s\u0105 zastosowania tego twierdzenia. Jakie jest twierdzenie Bayesa? W teorii prawdopodobie\u0144stwa twierdzenie Bayesa jest prawem u\u017cywanym do obliczania prawdopodobie\u0144stwa zdarzenia, gdy znana [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-376","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Twierdzenie Bayesa<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Twierdzenie Bayesa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T12:09:39+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-bayes.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\",\"name\":\"\u25b7 Twierdzenie Bayesa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T12:09:39+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T12:09:39+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie bayesa\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Twierdzenie Bayesa","description":"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Twierdzenie Bayesa","og_description":"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T12:09:39+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-bayes.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/","name":"\u25b7 Twierdzenie Bayesa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T12:09:39+00:00","dateModified":"2023-08-01T12:09:39+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj znajdziesz, co m\u00f3wi twierdzenie Bayesa, do czego s\u0142u\u017cy, wz\u00f3r twierdzenia Bayesa i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia twierdzenia Bayesa.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie bayesa"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/376","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=376"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/376\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=376"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=376"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=376"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}