{"id":377,"date":"2023-08-01T11:32:01","date_gmt":"2023-08-01T11:32:01","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/"},"modified":"2023-08-01T11:32:01","modified_gmt":"2023-08-01T11:32:01","slug":"twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/","title":{"rendered":"Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. Znajdziesz wi\u0119c wz\u00f3r na twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie, rozwi\u0105zane \u0107wiczenia i kiedy stosuje si\u0119 twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Jakie jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym<\/strong> jest prawem umo\u017cliwiaj\u0105cym obliczenie prawdopodobie\u0144stwa zdarzenia nieb\u0119d\u0105cego cz\u0119\u015bci\u0105 przestrzeni pr\u00f3bnej na podstawie <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\">prawdopodobie\u0144stw warunkowych<\/a> wszystkich zdarze\u0144 w tej przestrzeni pr\u00f3bnej.<\/p>\n<p> Zatem twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym s\u0142u\u017cy do obliczenia prawdopodobie\u0144stwa okre\u015blonego zdarzenia na podstawie cz\u0119\u015bciowych informacji o tym zdarzeniu. Czasami nie mo\u017cemy okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwa zdarzenia bezpo\u015brednio stosuj\u0105c regu\u0142\u0119 Laplace&#8217;a, poniewa\u017c nie mamy wszystkich niezb\u0119dnych informacji. Je\u015bli jednak znamy dane dotycz\u0105ce tego zdarzenia w por\u00f3wnaniu z innymi zdarzeniami, zwykle przydatne jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym.<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym stosuje si\u0119, gdy chcemy obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia, ale posiadamy o nim informacje tylko pod pewnymi warunkami. Na przyk\u0142ad niekt\u00f3re zastosowania tego twierdzenia obejmuj\u0105 eksperymenty z wieloma przypadkami, teori\u0119 kolejek i analiz\u0119 prze\u017cycia. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regu\u0142a-laplace\u2019a-lub-prawo-laplace\u2019a\/\">Regu\u0142a Laplace&#8217;a<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Wz\u00f3r na twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym m\u00f3wi, \u017ce bior\u0105c pod uwag\u0119 zbi\u00f3r zdarze\u0144 {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>n<\/sub> } tworz\u0105cych podzia\u0142 przestrzeni pr\u00f3bek, prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia B jest r\u00f3wne sumie iloczyn\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa ka\u017cdego zdarzenie P(A <sub>i<\/sub> ) przez prawdopodobie\u0144stwo warunkowe P(B|A <sub>i<\/sub> ).<\/p>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png\" alt=\"wz\u00f3r na twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym\" class=\"wp-image-8595\" width=\"291\" height=\"320\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym zdarzenia B przy danym zdarzeniu A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem zaj\u015bcia zdarzenia A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<\/ul>\n<p> Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce z prawdopodobie\u0144stwa podzia\u0142 przestrzeni pr\u00f3bki definiuje si\u0119 jako zbi\u00f3r wzajemnie niezgodnych zdarze\u0144, kt\u00f3rych suma tworzy przestrze\u0144 pr\u00f3bki. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/miejsce-na-probke-1\/\">Przyk\u0142adowa przestrze\u0144<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Konkretny przyk\u0142ad twierdzenia o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Po zapoznaniu si\u0119 z definicj\u0105 twierdzenia o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i jego wzorem, zobaczymy rozwi\u0105zane \u0107wiczenie dotycz\u0105ce obliczania prawdopodobie\u0144stwa za pomoc\u0105 twierdzenia o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, aby lepiej zrozumie\u0107 jego znaczenie.<\/p>\n<ul>\n<li> W sklepie z elektronik\u0105 sprzedawane s\u0105 telewizory trzech marek: X, Y, Z. Szacuje si\u0119, \u017ce 20% sprzeda\u017cy stanowi\u0105 telewizory markowe, % wadliwe marki, a 4% telewizory marki Z. telewizory s\u0105 uszkodzone. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo zakupu wadliwego telewizora?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Opis problemu podaje nam prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce klient kupi telewizor ka\u017cdej marki:<\/p>\n<ul>\n<li> Zdarzenie A <sub>1<\/sub> : Klient kupuje markowy <sub>telewizor<\/sub><\/li>\n<li> Zdarzenie A <sub>2<\/sub> : Klient kupuje telewizor marki Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Zdarzenie A <sub>3<\/sub> : Klient kupuje mark\u0119 telewizyjn\u0105 Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Dodatkowo zestawienie \u0107wicze\u0144 podaje nam r\u00f3wnie\u017c prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce telewizor ka\u017cdej marki jest uszkodzony:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Zdarzenie B: Telewizor jest uszkodzony<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Telewizor marki X jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Bior\u0105c pod uwag\u0119 mark\u0119 telewizora Y, telewizor jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Telewizor marki Z jest uszkodzony \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zatem <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/schemat-drzewa\/\">drzewo prawdopodobie\u0144stwa<\/a> problemu wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Aby wi\u0119c obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo zakupu wadliwego telewizora, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na regu\u0142\u0119 ca\u0142kowitego prawdopodobie\u0144stwa:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bd2e4c30e05d7abab89dabb7b85cd6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=\\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\\cdot P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W naszym przypadku przestrze\u0144 pr\u00f3bek sk\u0142ada si\u0119 z trzech zdarze\u0144 (A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> i A <sub>3<\/sub> ), wi\u0119c wz\u00f3r na twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe9d6f5c6241bf124144269ba498188_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wystarczy zatem zast\u0105pi\u0107 prawdopodobie\u0144stwa poprzedniego wyra\u017cenia, aby znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo zakupu wadliwego telewizora:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78411084ca76e5e0de6a2b1794e61b28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(B)&amp;=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\\\\[2ex]&amp;=0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30\\\\[2ex]&amp;=0,037\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"496\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podsumowuj\u0105c, istnieje 3,7% prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce kupimy telewizor i b\u0119dzie on uszkodzony. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"teorema-de-la-probabilidad-total-y-teorema-de-bayes\"><\/span> Twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i twierdzenie Bayesa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i twierdzenie Bayesa to dwa wa\u017cne twierdzenia teorii prawdopodobie\u0144stwa, szczeg\u00f3lnie dlatego, \u017ce pozwalaj\u0105 nam oblicza\u0107 prawdopodobie\u0144stwa na podstawie warto\u015bci prawdopodobie\u0144stwa warunkowego.<\/p>\n<p> Twierdzenie Bayesa jest prawem teorii prawdopodobie\u0144stwa u\u017cywanym do obliczania prawdopodobie\u0144stwa zdarzenia, gdy znana jest a priori informacja o tym zdarzeniu.<\/p>\n<p> W szczeg\u00f3lno\u015bci <strong>twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i twierdzenie Bayesa<\/strong> s\u0105 ze sob\u0105 powi\u0105zane, w rzeczywisto\u015bci mianownik wzoru twierdzenia Bayesa jest r\u00f3wnowa\u017cny formule twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.<\/p>\n<p> Kliknij poni\u017cszy link, aby zobaczy\u0107, czym jest twierdzenie Bayesa i przyk\u0142ady jego zastosowania: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-bayesa\/\">Twierdzenie Bayesa<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. Znajdziesz wi\u0119c wz\u00f3r na twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie, rozwi\u0105zane \u0107wiczenia i kiedy stosuje si\u0119 twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie. Jakie jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym? W teorii prawdopodobie\u0144stwa twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym jest prawem umo\u017cliwiaj\u0105cym obliczenie prawdopodobie\u0144stwa [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-377","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T11:32:01+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/\",\"name\":\"\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T11:32:01+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T11:32:01+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie","description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T11:32:01+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/","name":"\u25b7 Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T11:32:01+00:00","dateModified":"2023-08-01T11:32:01+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest twierdzenie o prawdopodobie\u0144stwie ca\u0142kowitym, do czego si\u0119 go u\u017cywa, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane przyk\u0142ady twierdzenia o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/twierdzenie-o-prawdopodobienstwie-calkowitym\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Twierdzenie o ca\u0142kowitym prawdopodobie\u0144stwie"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/377","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=377"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/377\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=377"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=377"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=377"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}