{"id":385,"date":"2023-08-01T08:06:03","date_gmt":"2023-08-01T08:06:03","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/"},"modified":"2023-08-01T08:06:03","modified_gmt":"2023-08-01T08:06:03","slug":"centralne-twierdzenie-graniczne-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/","title":{"rendered":"Centralne twierdzenie graniczne"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest centralne twierdzenie graniczne (CLT) i do czego s\u0142u\u017cy w statystyce. Znajdziesz tu tak\u017ce jaki jest wz\u00f3r centralnego twierdzenia granicznego oraz rozwi\u0105zany krok po kroku przyk\u0142ad jego zastosowania. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-central-del-limite\"><\/span> Co to jest centralne twierdzenie graniczne?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W statystyce <strong>centralne twierdzenie graniczne<\/strong> , zwane tak\u017ce <strong>centralnym twierdzeniem granicznym<\/strong> , stwierdza, \u017ce <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-probkowania-sredniej\/\">rozk\u0142ad \u015brednich z pr\u00f3by<\/a> zbli\u017ca si\u0119 do rozk\u0142adu normalnego w miar\u0119 wzrostu wielko\u015bci pr\u00f3by, niezale\u017cnie od <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-prawdopodobienstwa-1\/\">rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa<\/a> populacji.<\/p>\n<p> Oznacza to, \u017ce centralne twierdzenie graniczne m\u00f3wi, \u017ce je\u015bli we\u017amiemy wystarczaj\u0105co du\u017c\u0105 liczb\u0119 pr\u00f3bek, \u015bredni\u0105 z tych pr\u00f3bek mo\u017cna przybli\u017cy\u0107 do rozk\u0142adu normalnego.<\/p>\n<p> Ponadto centralne twierdzenie graniczne stwierdza, \u017ce \u015brednia pr\u00f3bki b\u0119dzie zbli\u017ca\u0107 si\u0119 do warto\u015bci \u015bredniej populacji w miar\u0119 wzrostu wielko\u015bci pr\u00f3by. Pozwala to na przybli\u017cenie parametr\u00f3w populacji statystycznej. Poni\u017cej zobaczymy, jak to si\u0119 robi. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-central-limite.png\" alt=\"centralne twierdzenie graniczne, centralne twierdzenie graniczne\" class=\"wp-image-8678\" width=\"315\" height=\"315\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Og\u00f3lnie uwa\u017ca si\u0119, \u017ce aby zastosowa\u0107 centralne twierdzenie graniczne, wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by musi wynosi\u0107 co najmniej 30 obserwacji, chocia\u017c zale\u017cy to od charakterystyki badanej zmiennej.<\/p>\n<p> Centralne twierdzenie graniczne ma wiele zastosowa\u0144, poniewa\u017c rozk\u0142ad normalny pozwala na wnioskowanie statystyczne, takie jak testowanie hipotez lub przedzia\u0142y ufno\u015bci. Na przyk\u0142ad w finansach centralne twierdzenie graniczne s\u0142u\u017cy do analizy zwrotu i ryzyka inwestycji. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/normalna-dystrybucja\/\">Co to jest rozk\u0142ad normalny?<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-teorema-central-del-limite\"><\/span> Przyk\u0142ad centralnego twierdzenia granicznego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kiedy ju\u017c poznali\u015bmy definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego, sp\u00f3jrzmy na przyk\u0142ad, aby w pe\u0142ni zrozumie\u0107 jego znaczenie.<\/p>\n<p> Przyk\u0142adem centralnego twierdzenia granicznego jest rzut kostk\u0105. Rzut kostk\u0105 ma <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/dyskretny-rozk\u0142ad-rownomierny\/\">dyskretny, r\u00f3wnomierny rozk\u0142ad<\/a> , poniewa\u017c wszystkie wyniki s\u0105 jednakowo prawdopodobne. Jednak rozk\u0142ad sumy kilku wynik\u00f3w zbli\u017ca si\u0119 do rozk\u0142adu normalnego. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"380\" height=\"456\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-du-theoreme-central-limite.png\" alt=\"przyk\u0142ad centralnego twierdzenia granicznego\" class=\"wp-image-8681\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Zatem im wi\u0119cej rzut\u00f3w, tym wi\u0119ksze prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce kszta\u0142t rozk\u0142adu \u015brednich b\u0119dzie przypomina\u0142 wykres rozk\u0142adu normalnego. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-central-del-limite\"><\/span> Wz\u00f3r centralnego twierdzenia granicznego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, \u017ce je\u015bli populacja ma \u015bredni\u0105 \u03bc i odchylenie standardowe \u03c3 i pobieramy odpowiednio du\u017c\u0105 liczb\u0119 pr\u00f3bek (n\u226530), to zbi\u00f3r \u015brednich z pr\u00f3by mo\u017cna aproksymowa\u0107 do rozk\u0142adu normalnego ze \u015bredni\u0105 \u03bc i odchyleniem standardowym \u03c3 \/\u221an.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc00b8814e098df988d7c695c66506a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle N\\left(\\mu,\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ponadto <em>,<\/em> <sub>je\u015bli<\/sub> <em>X<\/em> <sub>1<\/sub> <sub>,<\/sub> do rozk\u0142adu normalnego okre\u015blonego wzorem: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c518ada589db37029302048824df42a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Y=\\sum_{i=1}^n X_i \\sim N\\left(n\\cdot \\mu,\\sigma \\cdot \\sqrt{n}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"234\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicio-resuelto-del-teorema-central-del-limite\"><\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenie centralnego twierdzenia granicznego<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aby\u015b m\u00f3g\u0142 w pe\u0142ni przyswoi\u0107 sobie t\u0119 koncepcj\u0119, oto rozwi\u0105zane \u0107wiczenie centralnego twierdzenia granicznego.<\/p>\n<ul>\n<li> Firma sprzedaje cz\u0119\u015bci u\u017cywane do zast\u0105pienia niekt\u00f3rych element\u00f3w zabawek. Moneta ma \u015bredni\u0105 mas\u0119 300 g i odchylenie standardowe 50 g. Je\u017celi klient zam\u00f3wi\u0142 parti\u0119 100 sztuk, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce \u015brednia waga sztuk w partii b\u0119dzie wi\u0119ksza ni\u017c 305 g? A jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce partia 100 sztuk wa\u017cy wi\u0119cej ni\u017c 31 kg?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Poniewa\u017c wielko\u015b\u0107 partii jest du\u017ca (n=100), do rozwi\u0105zania problemu mo\u017cemy zastosowa\u0107 centralne twierdzenie graniczne.<\/p>\n<p> Zatem korzystaj\u0105c ze wzoru centralnego twierdzenia granicznego, rozk\u0142ad \u015brednich z pr\u00f3bki mo\u017cna przybli\u017cy\u0107 do rozk\u0142adu normalnego o nast\u0119puj\u0105cych parametrach: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9bc00b8814e098df988d7c695c66506a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle N\\left(\\mu,\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c62f30e3319566c578be2b03a2d983a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mu_{\\overline{X}}=\\mu=300\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"109\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d9f3d2d9a4272dca9d9e34626ff8290_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sigma_{\\overline{X}}=\\cfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}=\\cfrac{50}{\\sqrt{100}}=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2ccad42b29091909256610fdd711e39_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle N\\left(300,5\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Teraz przeprowadzamy proces wpisywania, aby\u015bmy mogli znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, o jakie prosi nas \u0107wiczenie. Aby to zrobi\u0107, musimy odj\u0105\u0107 \u015bredni\u0105 od rozk\u0142adu, a nast\u0119pnie podzieli\u0107 przez odchylenie standardowe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aabd7d1605e6518f17d8fc6199becc44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P\\left(\\overline{X}>305\\right)=P\\left(Z>\\frac{305-300}{5}\\right)=P\\left(Z>1\\right)&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;43&#8243; width=&#8221;381&#8243; style=&#8221;vertical-align: -17px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem, aby znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce \u015brednia masa sztuk w partii jest wi\u0119ksza ni\u017c 305 g, musimy sprawdzi\u0107, jakiej warto\u015bci Z&gt;1 odpowiada <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/tablica-rozk\u0142adu-normalnego\/\">tabela rozk\u0142adu normalnego<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05ad215d26ded143bc689eb37c00f30e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P\\left(\\overline{X}>305\\right)=P\\left(Z>1\\right)=0,1587&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;22&#8243; width=&#8221;276&#8243; style=&#8221;vertical-align: -7px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p> Z drugiej strony, dzi\u0119ki centralnemu twierdzeniu granicznemu mo\u017cemy wiedzie\u0107, \u017ce partia 100 monet mo\u017ce zbli\u017cy\u0107 si\u0119 do rozk\u0142adu normalnego, poniewa\u017c wszystkie monety maj\u0105 ten sam rozk\u0142ad. Dlatego, aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce partia 100 monet wa\u017cy wi\u0119cej ni\u017c 31 kg, musimy zastosowa\u0107 drugi wz\u00f3r centralnego twierdzenia granicznego:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c518ada589db37029302048824df42a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Y=\\sum_{i=1}^n X_i \\sim N\\left(n\\cdot \\mu,\\sigma \\cdot \\sqrt{n}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"234\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22186501d443fa0104f80ab2210937ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Y\\sim N\\left(100\\cdot 300,50\\cdot \\sqrt{100}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2c36d2fd557394ea1f4f80d887d1625_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle Y\\sim N\\left(30000,500\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Powtarzamy wi\u0119c proces pisania, a nast\u0119pnie znajdujemy drugie prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce problem nas zadaje:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e3dfdc2ecc330ef981fba7476b5e13e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P\\left(Y>31000\\right)=P\\left(Z>\\frac{31000-30000}{500}\\right)=P\\left(Z>2\\right)&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;43&#8243; width=&#8221;430&#8243; style=&#8221;vertical-align: -17px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<p> Na koniec mo\u017cemy okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce partia licz\u0105ca 100 sztuk b\u0119dzie wa\u017cy\u0107 wi\u0119cej ni\u017c 31 kg, korzystaj\u0105c z tabeli rozk\u0142adu normalnego: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01523dbe603d64f1a7ca3187d96b062c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P\\left(Y>31000\\right)=P\\left(Z>2\\right)=0,0228&#8243; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;19&#8243; width=&#8221;289&#8243; style=&#8221;vertical-align: -5px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb\/\">Prawo wielkich liczb<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest centralne twierdzenie graniczne (CLT) i do czego s\u0142u\u017cy w statystyce. Znajdziesz tu tak\u017ce jaki jest wz\u00f3r centralnego twierdzenia granicznego oraz rozwi\u0105zany krok po kroku przyk\u0142ad jego zastosowania. Co to jest centralne twierdzenie graniczne? W statystyce centralne twierdzenie graniczne , zwane tak\u017ce centralnym twierdzeniem granicznym , stwierdza, \u017ce rozk\u0142ad \u015brednich [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-385","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T08:06:03+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-central-limite.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/\",\"name\":\"\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T08:06:03+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T08:06:03+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Centralne twierdzenie graniczne\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne","description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T08:06:03+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-central-limite.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/","name":"\u25b7 Centralne twierdzenie graniczne","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T08:06:03+00:00","dateModified":"2023-08-01T08:06:03+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest centralne twierdzenie graniczne (lub centralne twierdzenie graniczne), do czego s\u0142u\u017cy, jego wz\u00f3r i rozwi\u0105zane \u0107wiczenia.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne-2\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Centralne twierdzenie graniczne"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/385","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=385"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/385\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=385"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=385"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=385"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}