{"id":386,"date":"2023-08-01T07:32:30","date_gmt":"2023-08-01T07:32:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/"},"modified":"2023-08-01T07:32:30","modified_gmt":"2023-08-01T07:32:30","slug":"prawo-wielkich-liczb-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/","title":{"rendered":"Prawo wielkich liczb"},"content":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniamy, czym jest prawo wielkich liczb i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. B\u0119dziecie mogli zobaczy\u0107 tak\u017ce przyk\u0142ad zastosowania prawa wielkich liczb oraz dodatkowo jaki jest zwi\u0105zek tego prawa z centralnym twierdzeniem granicznym. <\/p>\n

<\/span> Jakie jest prawo wielkich liczb?<\/span><\/h2>\n

W teorii prawdopodobie\u0144stwa prawo wielkich liczb<\/strong> jest regu\u0142\u0105 opisuj\u0105c\u0105 wynik wykonania du\u017cej liczby razy. M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, prawo wielkich liczb m\u00f3wi, \u017ce \u015brednia wynik\u00f3w uzyskanych z du\u017cej liczby pr\u00f3b b\u0119dzie bliska warto\u015bci oczekiwanej.<\/p>\n

Co wi\u0119cej, zgodnie z prawem wielkich liczb, im wi\u0119cej eksperyment\u00f3w przeprowadzimy, tym wyniki b\u0119d\u0105 bli\u017csze warto\u015bci oczekiwanej.<\/p>\n

Na przyk\u0142ad, je\u015bli rzucimy monet\u0105 pi\u0119\u0107 razy, mo\u017cemy wyrzuci\u0107 reszk\u0119 tylko raz (20%). Je\u015bli jednak monet\u0105 rzucisz kilka razy (ponad 1000 rzut\u00f3w), prawie po\u0142owa wynik\u00f3w b\u0119dzie reszk\u0105 (50%), poniewa\u017c jest to jej oczekiwana warto\u015b\u0107. To jest przyk\u0142ad prawa wielkich liczb.<\/p>\n

Pochodzenie prawa wielkich liczb mo\u017cna znale\u017a\u0107 w XVI wieku za czas\u00f3w Gerolamo Cardano, jednak w rozwoju tego prawa statystycznego na przestrzeni dziej\u00f3w uczestniczy\u0142o wielu autor\u00f3w: Bernoulli, Poisson, Czebyszew, Markow, Borel, Cantelli, Ko\u0142mogorow i Chinchin. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Zobacz:<\/strong> Jaka jest warto\u015b\u0107 oczekiwana?<\/a> <\/div>\n

<\/span> Przyk\u0142ad prawa wielkich liczb<\/span><\/h2>\n

Po zapoznaniu si\u0119 z definicj\u0105 prawa wielkich liczb zobaczymy konkretny przyk\u0142ad, aby lepiej zrozumie\u0107 jego znaczenie. W tym przypadku przeanalizujemy prawdopodobie\u0144stwa mo\u017cliwych wynik\u00f3w, kt\u00f3re mo\u017cemy uzyska\u0107 rzucaj\u0105c kostk\u0105.<\/p>\n

Przy rzucie kostk\u0105 istnieje sze\u015b\u0107 mo\u017cliwych wynik\u00f3w (1, 2, 3, 4, 5 i 6), zatem teoretyczne prawdopodobie\u0144stwo ka\u017cdego elementarnego zdarzenia wynosi:<\/p>\n<\/p>\n

\"P=\\cfrac{1}{6}=0,167\"<\/p>\n<\/p>\n

Nast\u0119pnie przeprowadzimy kilka symulacji startu i zapiszemy wyniki w tabeli cz\u0119stotliwo\u015bci<\/a> , aby sprawdzi\u0107, czy przestrzegane jest prawo wielkich liczb.<\/p>\n

Aby\u015b m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak wa\u017cne jest liczba przeprowadzonych eksperyment\u00f3w, najpierw przeprowadzimy symulacj\u0119 dziesi\u0119ciu start\u00f3w, potem stu, a na koniec tysi\u0105ca. Zatem wyniki uzyskane z symulacji 10 losowych rzut\u00f3w kostk\u0105 s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce: <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Jak wida\u0107, prawdopodobie\u0144stwa cz\u0119stotliwo\u015bci uzyskane poprzez symulacj\u0119 zaledwie dziesi\u0119ciu rzut\u00f3w nie przypominaj\u0105 prawdopodobie\u0144stw teoretycznych.<\/p>\n

Jednak w miar\u0119 zwi\u0119kszania liczby eksperyment\u00f3w te dwa wska\u017aniki staj\u0105 si\u0119 coraz bardziej podobne. Sp\u00f3jrz na symulacj\u0119 100 uruchomie\u0144: <\/p>\n

\"przyk\u0142ad<\/figure>\n

Teraz prawdopodobie\u0144stwo cz\u0119stotliwo\u015bci obliczone dla ka\u017cdej liczby na kostce jest bardziej zbli\u017cone do prawdopodobie\u0144stwa teoretycznego, jednak nadal otrzymujemy bardzo r\u00f3\u017cne warto\u015bci.<\/p>\n

Na koniec wykonujemy t\u0119 sam\u0105 procedur\u0119, ale symulujemy 1000 uruchomie\u0144: <\/p>\n

\"zdeterminowane<\/figure>\n

Jak wida\u0107 w ostatniej tabeli, teraz warto\u015bci prawdopodobie\u0144stw cz\u0119stotliwo\u015bci s\u0105 bardzo zbli\u017cone do prawdopodobie\u0144stw teoretycznych.<\/p>\n

Podsumowuj\u0105c, im bardziej zwi\u0119kszamy liczb\u0119 przeprowadzanych eksperyment\u00f3w, tym bardziej warto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa cz\u0119stotliwo\u015bci zdarzenia zbli\u017ca si\u0119 do teoretycznego prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia. Dlatego przestrzegane jest prawo wielkich liczb<\/strong> , gdy\u017c im wi\u0119cej iteracji wykonamy, tym bardziej zbli\u017cone s\u0105 warto\u015bci eksperymentalne do warto\u015bci teoretycznych. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Zobacz:<\/strong> Prawdopodobie\u0144stwo cz\u0119stotliwo\u015bci<\/a> <\/div>\n

<\/span> Ograniczenie prawa wielkich liczb<\/span><\/h2>\n

Prawo wielkich liczb obowi\u0105zuje w zdecydowanej wi\u0119kszo\u015bci przypadk\u00f3w, jednak niekt\u00f3re typy rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa nie spe\u0142niaj\u0105 tego twierdzenia statystycznego.<\/p>\n

Na przyk\u0142ad rozk\u0142ad Cauchy’ego lub rozk\u0142ad Pareto (\u03b1<1) nie s\u0105 zbie\u017cne wraz ze wzrostem liczby pr\u00f3b. Wynika to z du\u017cych ogon\u00f3w rozk\u0142ad\u00f3w, co oznacza, \u017ce nie maj\u0105 one warto\u015bci oczekiwanej.<\/p>\n

Z drugiej strony, niekt\u00f3re eksperymenty s\u0105 stronnicze ze wzgl\u0119du na ich charakterystyk\u0119, w zwi\u0105zku z czym badacz ma tendencj\u0119 do modyfikowania wynik\u00f3w (celowo lub nie) w kierunku racjonalnym, psychologicznym, ekonomicznym itp. powod\u00f3w. W takich przypadkach prawo wielkich liczb nie pomaga rozwi\u0105za\u0107 problemu b\u0142\u0119du systematycznego, ale b\u0142\u0105d ten b\u0119dzie si\u0119 utrzymywa\u0142 niezale\u017cnie od zwi\u0119kszenia liczby pr\u00f3b. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Zobacz:<\/strong> Rodzaje rozk\u0142ad\u00f3w prawdopodobie\u0144stwa<\/a> <\/div>\n

<\/span> Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne<\/span><\/h2>\n

Prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne to dwie \u015bci\u015ble powi\u0105zane podstawowe zasady prawdopodobie\u0144stwa i statystyki. W tej sekcji zobaczymy, jaki jest ich zwi\u0105zek i jaka jest mi\u0119dzy nimi r\u00f3\u017cnica.<\/p>\n

Centralne twierdzenie graniczne, zwane tak\u017ce centralnym twierdzeniem granicznym, m\u00f3wi, \u017ce rozk\u0142ad \u015brednich pr\u00f3by zbli\u017ca si\u0119 do rozk\u0142adu normalnego w miar\u0119 wzrostu liczebno\u015bci pr\u00f3by, niezale\u017cnie od rozk\u0142adu prawdopodobie\u0144stwa populacji.<\/p>\n

R\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy prawem wielkich liczb a centralnym twierdzeniem granicznym<\/strong> polega na tym, \u017ce prawo wielkich liczb m\u00f3wi, \u017ce \u015brednia z du\u017cej liczby pr\u00f3b jest bliska warto\u015bci oczekiwanej, natomiast centralne twierdzenie graniczne m\u00f3wi, \u017ce \u015brednia z wielu pr\u00f3bki maj\u0105 rozk\u0142ad normalny. <\/p>\n

\u27a4<\/span> Zobacz:<\/strong> Centralne twierdzenie graniczne<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniamy, czym jest prawo wielkich liczb i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobie\u0144stwie i statystyce. B\u0119dziecie mogli zobaczy\u0107 tak\u017ce przyk\u0142ad zastosowania prawa wielkich liczb oraz dodatkowo jaki jest zwi\u0105zek tego prawa z centralnym twierdzeniem granicznym. Jakie jest prawo wielkich liczb? W teorii prawdopodobie\u0144stwa prawo wielkich liczb jest regu\u0142\u0105 opisuj\u0105c\u0105 wynik wykonania du\u017cej […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-386","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"\n\u25b7Prawo wielkich liczb<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7Prawo wielkich liczb\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T07:32:30+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8d6889656fa0d5faf24bf66b58d9e27_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/\",\"name\":\"\u25b7Prawo wielkich liczb\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T07:32:30+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T07:32:30+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Prawo wielkich liczb\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7Prawo wielkich liczb","description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7Prawo wielkich liczb","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T07:32:30+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8d6889656fa0d5faf24bf66b58d9e27_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/","name":"\u25b7Prawo wielkich liczb","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T07:32:30+00:00","dateModified":"2023-08-01T07:32:30+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest prawo wielkich liczb, do czego si\u0119 je stosuje, rozwi\u0105zane przyk\u0142ady oraz zwi\u0105zek pomi\u0119dzy tym prawem a centralnym twierdzeniem granicznym.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawo-wielkich-liczb-2\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Prawo wielkich liczb"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/386","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=386"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/386\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=386"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=386"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=386"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}