{"id":390,"date":"2023-08-01T05:30:46","date_gmt":"2023-08-01T05:30:46","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/"},"modified":"2023-08-01T05:30:46","modified_gmt":"2023-08-01T05:30:46","slug":"prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/","title":{"rendered":"Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144. Dowiesz si\u0119 wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144, a ponadto dowiesz si\u0119 \u0107wicze\u0144 rozwi\u0105zywanych krok po kroku. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-interseccion-de-sucesos\"><\/span> Jakie jest skrzy\u017cowanie wydarze\u0144?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>przeci\u0119cie zdarze\u0144<\/strong> jest operacj\u0105 zdarze\u0144, kt\u00f3rej wynik sk\u0142ada si\u0119 ze zdarze\u0144 elementarnych wsp\u00f3lnych dla wszystkich zdarze\u0144 operacji. Oznacza to, \u017ce przeci\u0119cie zdarze\u0144 A i B tworz\u0105 wszystkie zdarzenia nale\u017c\u0105ce jednocze\u015bnie do A i B.<\/p>\n<p> Przeci\u0119cie dw\u00f3ch zdarze\u0144 jest oznaczone symbolem \u22c2. Zatem przeci\u0119cie zdarze\u0144 A i B zapisuje si\u0119 jako A\u22c2B.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad w losowym eksperymencie polegaj\u0105cym na rzucie kostk\u0105, je\u015bli jednym zdarzeniem jest wyrzucenie liczby parzystej A={2, 4, 6}, a innym zdarzeniem wyrzucenie liczby wi\u0119kszej ni\u017c trzy B={4, 5, 6 }, przeci\u0119cie dw\u00f3ch zdarze\u0144 to A\u22c2B={4, 6}. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-probabilidad-de-la-interseccion-de-sucesos\"><\/span> Wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> jest r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu wyst\u0105pienia jednego zdarzenia pomno\u017conemu przez prawdopodobie\u0144stwo warunkowe wyst\u0105pienia drugiego zdarzenia, przy uwzgl\u0119dnieniu pierwszego zdarzenia.<\/p>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> to P(A\u22c2B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acadb606c53d2237406ab492ad5c26ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)=P(B)\\cdot P(A|B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> I<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> S\u0105 to dwa zdarzenia zale\u017cne.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem przeci\u0119cia zdarzenia A i zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c0c4ce70731e4b1321acc93f53679ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym wyst\u0105pienia zdarzenia B przy danym zdarzeniu A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa17d530df1f8fd53a077cb6af545add_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A|B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem warunkowym wyst\u0105pienia zdarzenia A przy danym zdarzeniu B. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-warunkowe\/\">Prawdopodobie\u0144stwo warunkowe (lub prawdopodobie\u0144stwo warunkowe)<\/a><\/div>\n<p> Je\u017celi jednak te dwa zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, oznacza to, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia jednego zdarzenia nie zale\u017cy od tego, czy zajdzie drugie zdarzenie. Zatem wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch niezale\u017cnych zdarze\u0144 jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-816b613a4f79d4bf9cb51396a9654120_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> I<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c74288aabc0e2ca280d25d92bf1a1ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> To dwa niezale\u017cne zdarzenia.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem przeci\u0119cia zdarzenia A i zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia B. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wydarzenia-niezalezne-wydarzenia\/\">Wydarzenia niezale\u017cne<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-resueltos-de-la-probabilidad-de-la-interseccion-de-sucesos\"><\/span> Rzeczywiste przyk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa przeci\u0119cia zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nast\u0119pnie zostawiamy dwa przyk\u0142ady rozwi\u0105zane krok po kroku, aby\u015b m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak obliczane jest prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144. Najpierw zobaczymy przyk\u0142ad przeci\u0119cia dw\u00f3ch niezale\u017cnych zdarze\u0144, a nast\u0119pnie dw\u00f3ch zdarze\u0144 zale\u017cnych, dzi\u0119ki czemu b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107 oba przypadki. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-interseccion-de-dos-sucesos-independientes\"><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch niezale\u017cnych zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Losowanie rozpoczyna si\u0119 trzy razy z rz\u0119du. Znajd\u017a prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a we wszystkich trzech rzutach.<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku zdarzenia, dla kt\u00f3rych chcemy obliczy\u0107 \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo, s\u0105 niezale\u017cne, poniewa\u017c wynik losowania nie zale\u017cy od wyniku uzyskanego w poprzednim losowaniu. Dlatego, aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia trzech kolejnych or\u0142\u00f3w, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dla niezale\u017cnych zdarze\u0144:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podczas losowania mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki, mo\u017cemy otrzyma\u0107 orze\u0142 lub reszk\u0119. Zatem prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a lub reszki podczas rzucania monet\u0105 wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aby wi\u0119c obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a we wszystkich trzech rzutach monet\u0105, musimy pomno\u017cy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a przez trzy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54abe4c41545eb6e46fd1cf97f8a3253_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{cara}\\cap \\text{cara}\\cap \\text{cara})&amp;=P(\\text{cara})\\cdot P(\\text{cara})\\cdot P(\\text{cara})\\\\[2ex]&amp;=0,5\\cdot 0,5\\cdot 0,5\\\\[2ex]&amp;=0,125\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a trzy razy z rz\u0119du wynosi 12,5%. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-interseccion-de-dos-sucesos-dependientes\"><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zale\u017cnych zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> W pustym pude\u0142ku wk\u0142adamy 8 kul niebieskich, 4 pomara\u0144czowe i 2 zielone. Je\u015bli najpierw losujemy jedn\u0105, potem drug\u0105 kul\u0119, nie wk\u0142adaj\u0105c pierwszej wylosowanej do pude\u0142ka, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce pierwsza kula b\u0119dzie niebieska, a druga pomara\u0144czowa?<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, poniewa\u017c prawdopodobie\u0144stwo podniesienia kulki pomara\u0144czowej w drugim losowaniu zale\u017cy od koloru kulki wylosowanej w pierwszym losowaniu. Dlatego, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, o kt\u00f3re pyta nas problem, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 zale\u017cnych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dddb39f8c7ff49e40025c3aae59044d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B|A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwo otrzymania niebieskiej kuli w pierwszym losowaniu jest \u0142atwe do ustalenia, wystarczy podzieli\u0107 liczb\u0119 niebieskich kul przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 kul:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-01c2ac51c56664735750a0821834727d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{8}{8+4+2}=\\cfrac{8}{14}=0,57\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"295\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z drugiej strony prawdopodobie\u0144stwo wylosowania kulki pomara\u0144czowej po wzi\u0119ciu kulki niebieskiej jest obliczane inaczej, poniewa\u017c liczba kul pomara\u0144czowych jest inna, a dodatkowo w pude\u0142ku jest teraz o jedn\u0105 kul\u0119 mniej:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4dfda0193e549c67dabe2e6065d84f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\cfrac{4}{7+4+2}=\\cfrac{4}{13}=0,31\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"397\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem prawdopodobie\u0144stwo wylosowania najpierw niebieskiej, a nast\u0119pnie pomara\u0144czowej kuli oblicza si\u0119, mno\u017c\u0105c oba prawdopodobie\u0144stwa podane powy\u017cej: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94896f8575aeb7e73cc056595920fedb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}P(\\text{bola azul}\\cap\\text{bola naranja})=\\\\[2ex]=P(\\text{bola azul})\\cdot P(\\text{bola naranja}|\\text{bola azul})=\\\\[2ex]=0,57\\cdot 0,31= \\\\[2ex]=0,18\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"348\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\">Prawdopodobie\u0144stwo zbiegu zdarze\u0144<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-interseccion-de-sucesos\"><\/span> W\u0142a\u015bciwo\u015bci skrzy\u017cowania zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa przeci\u0119cie zdarze\u0144 ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 przemienna:<\/strong> Kolejno\u015b\u0107 zdarze\u0144 przeci\u0119cia nie zmienia wyniku operacji.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf8f77ee754a8baedd35ff8cd79fbbd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B=B\\cap A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"118\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 asocjacji:<\/strong> Przeci\u0119cie trzech zdarze\u0144 mo\u017cna obliczy\u0107 w dowolnej kolejno\u015bci, poniewa\u017c wynik jest taki sam.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb1da58ec6bf1f24f459a5edf91507eb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\cap B)\\cap C=A\\cap (B\\cap C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142asno\u015b\u0107 rozdzielcza:<\/strong> przeci\u0119cie zdarze\u0144 spe\u0142nia w\u0142asno\u015b\u0107 rozdzielcz\u0105 w po\u0142\u0105czeniu zdarze\u0144.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e43f1e4d6e688179f911a63ac3b46789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap (B\\cup C)=(A\\cap B)\\cup (A\\cap C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\">Operacje na zdarzeniach<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144. Dowiesz si\u0119 wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144, a ponadto dowiesz si\u0119 \u0107wicze\u0144 rozwi\u0105zywanych krok po kroku. Jakie jest skrzy\u017cowanie wydarze\u0144? W teorii prawdopodobie\u0144stwa przeci\u0119cie zdarze\u0144 jest operacj\u0105 zdarze\u0144, kt\u00f3rej wynik sk\u0142ada si\u0119 ze zdarze\u0144 elementarnych wsp\u00f3lnych dla wszystkich zdarze\u0144 operacji. Oznacza [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-390","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T05:30:46+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acadb606c53d2237406ab492ad5c26ff_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/\",\"name\":\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T05:30:46+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T05:30:46+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144","description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T05:30:46+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acadb606c53d2237406ab492ad5c26ff_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/","name":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T05:30:46+00:00","dateModified":"2023-08-01T05:30:46+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest przeci\u0119cie zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-przeciecia-sie-zdarzen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/390","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=390"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/390\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=390"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=390"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=390"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}