{"id":391,"date":"2023-08-01T05:09:32","date_gmt":"2023-08-01T05:09:32","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/"},"modified":"2023-08-01T05:09:32","modified_gmt":"2023-08-01T05:09:32","slug":"prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/","title":{"rendered":"Prawdopodobie\u0144stwo zbiegu zdarze\u0144"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniamy, jak obliczy\u0107 sum\u0119 prawdopodobie\u0144stwa zdarze\u0144. Dowiesz si\u0119 wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144, a ponadto dowiesz si\u0119 \u0107wicze\u0144 rozwi\u0105zywanych krok po kroku.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-union-de-sucesos\"><\/span> Czym jest zjednoczenie wydarze\u0144?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>suma zdarze\u0144<\/strong> jest operacj\u0105 zdarzeniow\u0105, kt\u00f3rej wynik sk\u0142ada si\u0119 ze wszystkich <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/proste-wydarzenie-elementarne-wydarzenie\/\">elementarnych zdarze\u0144<\/a> ze zbior\u00f3w operacji. Innymi s\u0142owy, po\u0142\u0105czenie dw\u00f3ch zdarze\u0144 A i B to zbi\u00f3r zdarze\u0144 wyst\u0119puj\u0105cych w A, w B lub w obu.<\/p>\n<p> Po\u0142\u0105czenie dw\u00f3ch zdarze\u0144 wyra\u017cane jest symbolem \u22c3. Zatem sum\u0119 zdarze\u0144 A i B zapisuje si\u0119 jako A\u22c3B.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad w losowym eksperymencie polegaj\u0105cym na rzucie kostk\u0105, je\u015bli w jednym przypadku wyrzucona zostanie nieparzysta liczba A={1, 3, 5}, a w innym przypadku liczba mniejsza ni\u017c trzy B={1, 2}, suma tych dw\u00f3ch zdarzenia to A\u22c3B={1, 2, 3, 5}. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-probabilidad-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> Wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> jest r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu pierwszego zdarzenia plus prawdopodobie\u0144stwo drugiego zdarzenia minus prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 dw\u00f3ch zdarze\u0144.<\/p>\n<p> Innymi s\u0142owy, <strong>wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/strong> to P(A\u22c3B)=P(A)+P(B)-P(A\u22c2B).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e79827dee6ad7d53b96b5497d617f7c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem sumy zdarzenia A i zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e9e218bb5d81f21881e6c57e37c7a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia A.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem wyst\u0105pienia zdarzenia B.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e28c16735c6423d27941ce417b5fb4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> jest prawdopodobie\u0144stwem przeci\u0119cia zdarzenia A i zdarzenia B. <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\">Prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia si\u0119 zdarze\u0144<\/a><\/div>\n<p> Je\u015bli jednak te dwa zdarzenia s\u0105 niezgodne, punkt przeci\u0119cia mi\u0119dzy nimi wynosi zero. Dlatego prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch niezgodnych zdarze\u0144 oblicza si\u0119, dodaj\u0105c prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e37b28e2af91ca519dd29b995f09b255_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A y B son incompatibles} \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black} \\ P(A\\cap B)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"434\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b9b611e8eecce66db00b6a62c94c7a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/niekompatybilne-zdarzenia\/\">Niekompatybilne zdarzenia<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-resueltos-de-la-probabilidad-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> Rozwi\u0105zane przyk\u0142ady prawdopodobie\u0144stwa sumy zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aby\u015b m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak obliczane jest prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch zdarze\u0144, zostawiamy poni\u017cej dwa przyk\u0142ady rozwi\u0105zane krok po kroku. Najpierw znajdziemy prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch niezgodnych zdarze\u0144, a nast\u0119pnie dw\u00f3ch zgodnych zdarze\u0144, poniewa\u017c obliczenia s\u0105 nieco inne. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-union-de-dos-sucesos-incompatibles\"><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch niezgodnych zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Do pude\u0142ka wk\u0142adamy 10 kul niebieskich, 6 kulek pomara\u0144czowych i 4 kulki zielone. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wylosujemy kul\u0119 niebiesk\u0105 lub pomara\u0144czow\u0105?<\/li>\n<\/ul>\n<p> \u0106wiczenie wymaga od nas okre\u015blenia prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia tego lub innego zdarzenia. Dlatego, aby rozwi\u0105za\u0107 problem, musimy skorzysta\u0107 ze wzoru na sum\u0119 dw\u00f3ch zdarze\u0144:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem najpierw obliczamy prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia osobno, korzystaj\u0105c ze <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regu\u0142a-laplace\u2019a-lub-prawo-laplace\u2019a\/\">wzoru regu\u0142y Laplace&#8217;a<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b1a5b8249e01fe618b08ea0079e1146_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola azul})=\\cfrac{10}{10+6+4}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6220946609d47abd9f3fe7cd85d4b14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola naranja})=\\cfrac{6}{10+6+4}=0,3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"279\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jednak w tym przypadku oba zdarzenia nie mog\u0105 wyst\u0105pi\u0107 w tym samym czasie, poniewa\u017c s\u0105 to dwa zdarzenia niezgodne. Zatem je\u015bli wylosujemy niebiesk\u0105 kul\u0119, nie b\u0119dziemy ju\u017c mogli wylosowa\u0107 pomara\u0144czowej kuli i odwrotnie.<\/p>\n<p> Zatem \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo obu zdarze\u0144 wynosi zero i st\u0105d wz\u00f3r jest uproszczony:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e00a6d1c1398bf9e15fd02b1d93a0354_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-\\cancelto{0}{P(A\\cap B)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem obliczenie prawdopodobie\u0144stwa z\u0142apania pi\u0142ki niebieskiej lub pomara\u0144czowej jest nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1776904c975b28dbbd57e37f714182ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{bola azul}\\cup \\text{bola naranja})&amp;=P(\\text{bola azul})+P(\\text{bola azul})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,3\\\\[2ex]&amp;=0,8\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo wyj\u0119cia niebieskiej lub pomara\u0144czowej kuli z pude\u0142ka wynosi 80%. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"probabilidad-de-la-union-de-dos-sucesos-compatibles\"><\/span> Prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch zgodnych zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Je\u015bli rzucimy monet\u0105 dwa razy, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce w co najmniej jednym rzucie wypadnie reszka?<\/li>\n<\/ul>\n<p> W tym przypadku zdarzenia s\u0105 zgodne, poniewa\u017c przy pierwszym rzucie mo\u017cemy uzyska\u0107 \u201ereszk\u0119\u201d, a przy drugim rzucie \u201ereszk\u0119\u201d. Dlatego wz\u00f3r na obliczenie prawdopodobie\u0144stwa splotu zdarze\u0144 nie jest uproszczony i przedstawia si\u0119 nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zatem najpierw musimy obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia reszki w rzucie monet\u0105, stosuj\u0105c regu\u0142\u0119 Laplace&#8217;a:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24700638f62e83613a39f2b566e2fb9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara})=\\cfrac{1}{2}=0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obliczmy teraz prawdopodobie\u0144stwo przeci\u0119cia dw\u00f3ch zdarze\u0144, korzystaj\u0105c ze <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regu\u0142a-mnozenia\/\">wzoru na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1382d107f7e0e3e2f936db296f550df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})=\\cfrac{1}{2}\\cdot \\cfrac{1}{2}=0,5\\cdot 0,5=0,25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Na koniec, aby znale\u017a\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce orze\u0142 spadnie w co najmniej jednym z dw\u00f3ch rzut\u00f3w, wystarczy podstawi\u0107 warto\u015bci do wzoru i wykona\u0107 obliczenia:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbdfc38f607783282ef9cd0578dfba06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}P(\\text{cara}\\cup \\text{cara})&amp;=P(\\text{cara})+P(\\text{cara})-P(\\text{cara}\\cap \\text{cara})\\\\[2ex]&amp;=0,5+0,5-0,25\\\\[2ex]&amp;=0,75\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"411\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Podsumowuj\u0105c, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce przy dwukrotnym rzucie monet\u0105 przynajmniej raz wypadnie reszka, wynosi 75%. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-union-de-sucesos\"><\/span> W\u0142a\u015bciwo\u015bci sum zdarze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa funkcjonowanie sumy zdarze\u0144 spe\u0142nia nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 przemienna:<\/strong> kolejno\u015b\u0107 zdarze\u0144 w zwi\u0105zku nie modyfikuje wyniku operacji.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9902cfce1cbc93d9a6a1ec886b024e56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup B=B\\cup A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"118\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 asocjacyjna:<\/strong> sum\u0119 trzech zdarze\u0144 mo\u017cna obliczy\u0107 w dowolnej kolejno\u015bci, poniewa\u017c wynik jest taki sam.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee83128771a53d7707db452775e813fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\cup B)\\cup C=A\\cup (B\\cup C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>W\u0142asno\u015b\u0107 rozdzielcza:<\/strong> suma zdarze\u0144 realizuje w\u0142asno\u015b\u0107 rozdzielcz\u0105 wraz z przeci\u0119ciem zdarze\u0144.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34438b7988bfbf972fba4814e374bcef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cup (B\\cap C)=(A\\cup B)\\cap (A\\cup C)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/operacje-na-zdarzeniach\/\">Operacje na zdarzeniach<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniamy, jak obliczy\u0107 sum\u0119 prawdopodobie\u0144stwa zdarze\u0144. Dowiesz si\u0119 wi\u0119c, jaki jest wz\u00f3r na prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144, a ponadto dowiesz si\u0119 \u0107wicze\u0144 rozwi\u0105zywanych krok po kroku. Czym jest zjednoczenie wydarze\u0144? W teorii prawdopodobie\u0144stwa suma zdarze\u0144 jest operacj\u0105 zdarzeniow\u0105, kt\u00f3rej wynik sk\u0142ada si\u0119 ze wszystkich elementarnych zdarze\u0144 ze zbior\u00f3w operacji. Innymi s\u0142owy, po\u0142\u0105czenie dw\u00f3ch [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-391","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T05:09:32+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\",\"name\":\"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T05:09:32+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T05:09:32+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Prawdopodobie\u0144stwo zbiegu zdarze\u0144\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144","description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T05:09:32+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/","name":"\u25b7 Prawdopodobie\u0144stwo po\u0142\u0105czenia dw\u00f3ch zdarze\u0144","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T05:09:32+00:00","dateModified":"2023-08-01T05:09:32+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119 czym jest suma dw\u00f3ch zdarze\u0144, jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo sumy zdarze\u0144 (wz\u00f3r) oraz rozwi\u0105zane przyk\u0142ady.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/prawdopodobienstwo-zbiegu-zdarzen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Prawdopodobie\u0144stwo zbiegu zdarze\u0144"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/391","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=391"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/391\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=391"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=391"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=391"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}