{"id":397,"date":"2023-08-01T02:01:55","date_gmt":"2023-08-01T02:01:55","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/"},"modified":"2023-08-01T02:01:55","modified_gmt":"2023-08-01T02:01:55","slug":"teoria-prawdopodobienstwa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/","title":{"rendered":"Teoria prawdopodobie\u0144stwa"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa i do czego si\u0119 j\u0105 wykorzystuje. Znajdziesz wi\u0119c podstawowe poj\u0119cia teorii prawdopodobie\u0144stwa, a tak\u017ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci i prawa teorii prawdopodobie\u0144stwa. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-teoria-de-la-probabilidad\"><\/span> Co to jest teoria prawdopodobie\u0144stwa?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Teoria prawdopodobie\u0144stwa<\/strong> to zbi\u00f3r regu\u0142 i w\u0142a\u015bciwo\u015bci u\u017cywanych do obliczania prawdopodobie\u0144stwa zjawiska losowego. Zatem teoria prawdopodobie\u0144stwa pozwala nam wiedzie\u0107, kt\u00f3ry wynik losowego eksperymentu ma najwi\u0119ksze prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia.<\/p>\n<p> Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce zjawisko losowe to wynik, kt\u00f3ry mo\u017cna uzyska\u0107 w wyniku eksperymentu, kt\u00f3rego wyniku nie mo\u017cna przewidzie\u0107, ale zale\u017cy od przypadku. Teoria prawdopodobie\u0144stwa jest zatem zbiorem praw, kt\u00f3re pozwalaj\u0105 okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zjawiska losowego.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad, rzucaj\u0105c monet\u0105, mo\u017cemy uzyska\u0107 dwa mo\u017cliwe wyniki: orze\u0142 lub reszka. C\u00f3\u017c, mo\u017cemy u\u017cy\u0107 teorii prawdopodobie\u0144stwa, aby obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia or\u0142a, kt\u00f3re w tym przypadku wynosi 50%.<\/p>\n<p> Na przestrzeni dziej\u00f3w do rozwoju teorii prawdopodobie\u0144stwa przyczyni\u0142o si\u0119 wiele os\u00f3b, w\u015br\u00f3d kt\u00f3rych wyr\u00f3\u017cniaj\u0105 si\u0119 Cardano, Laplace, Gauss i Ko\u0142mogorow. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wzory-na-prawdopodobienstwo\/\">Wzory na prawdopodobie\u0144stwo<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"conceptos-basicos-de-la-teoria-de-la-probabilidad\"><\/span> Podstawy teorii prawdopodobie\u0144stwa <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"espacio-muestral\"><\/span> Przyk\u0142adowa przestrze\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>przestrze\u0144 pr\u00f3bki<\/strong> to zbi\u00f3r wszystkich mo\u017cliwych wynik\u00f3w losowego eksperymentu.<\/p>\n<p> Symbolem przestrzeni pr\u00f3bki jest wielka grecka litera Omega (\u03a9), chocia\u017c mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wnie\u017c reprezentowana przez wielk\u0105 liter\u0119 E.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad przyk\u0142adowa przestrze\u0144 do rzucenia kostk\u0105 to: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3ad0ac057b6cd7e3d3db78b556249a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/miejsce-na-probke-1\/\">Przyk\u0142adowa przestrze\u0144<\/a><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"suceso\"><\/span> Wydarzenie<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>wydarzeniem<\/strong> (lub wyst\u0105pieniem) jest ka\u017cdy mo\u017cliwy wynik losowego eksperymentu. Dlatego prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia jest warto\u015bci\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia wyniku.<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad w rzucie monet\u0105 wyst\u0119puj\u0105 dwa zdarzenia: \u201ereszka\u201d i \u201ereszka\u201d.<\/p>\n<p> Istniej\u0105 r\u00f3\u017cne typy wydarze\u0144:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenie elementarne (lub zdarzenie proste):<\/strong> ka\u017cdy z mo\u017cliwych wynik\u00f3w eksperymentu.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenie z\u0142o\u017cone:<\/strong> jest to podzbi\u00f3r przestrzeni pr\u00f3bki.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Pewne wydarzenie:<\/strong> Jest to wynik losowego do\u015bwiadczenia, kt\u00f3re zawsze b\u0119dzie mia\u0142o miejsce.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenie niemo\u017cliwe:<\/strong> Jest to wynik losowego eksperymentu, kt\u00f3ry nigdy nie nast\u0105pi.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenia kompatybilne:<\/strong> dwa zdarzenia s\u0105 kompatybilne, je\u015bli maj\u0105 wsp\u00f3lne zdarzenie elementarne.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Niekompatybilne zdarzenia:<\/strong> dwa zdarzenia s\u0105 niezgodne, je\u015bli nie maj\u0105 wsp\u00f3lnego \u017cadnego zdarzenia elementarnego.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Niezale\u017cne zdarzenia:<\/strong> Dwa zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia jednego nie wp\u0142ywa na prawdopodobie\u0144stwo drugiego.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenia zale\u017cne:<\/strong> Dwa zdarzenia s\u0105 zale\u017cne, je\u015bli prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia jednego zmienia prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia drugiego.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Zdarzenie przeciwne drugiemu:<\/strong> zdarzenie, kt\u00f3re ma miejsce, gdy inne zdarzenie nie zachodzi.<\/span> <\/li>\n<\/ul>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> Rodzaje wydarze\u0144 <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"axiomas-de-la-probabilidad\"><\/span> Aksjomaty prawdopodobie\u0144stwa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aksjomaty prawdopodobie\u0144stwa to:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Aksjomat prawdopodobie\u0144stwa 1<\/strong> : Prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia nie mo\u017ce by\u0107 ujemne.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60e0ca200964690b247a4dd29a7533ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0\\leq P(A)\\leq 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"105\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Aksjomat prawdopodobie\u0144stwa 2<\/strong> : Prawdopodobie\u0144stwo okre\u015blonego zdarzenia wynosi 1.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bce9a4bd2e6e64bfb5c0563de6106a5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\Omega)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\"><strong>Aksjomat prawdopodobie\u0144stwa 3<\/strong> : Prawdopodobie\u0144stwo zbioru niezgodnych zdarze\u0144 jest r\u00f3wne sumie wszystkich prawdopodobie\u0144stw.<\/span> <\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe646d340e4b18901999affd42bbaa21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cap B= \\varnothing \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ P(A\\cup B)=P(A)+P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/aksjomaty-prawdopodobienstwa\/\">Aksjomaty prawdopodobie\u0144stwa<\/a><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-probabilidad\"><\/span> W\u0142a\u015bciwo\u015bci prawdopodobie\u0144stwa<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W\u0142a\u015bciwo\u015bci prawdopodobie\u0144stwa to:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Prawdopodobie\u0144stwo jednego zdarzenia jest r\u00f3wne jeden minus prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia przeciwnego.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0d62ccd1f8f95072d222f71dc749d90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\\bigl(A\\bigr)=1-P\\bigl(\\overline{A}\\bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Prawdopodobie\u0144stwo zdarzenia niemo\u017cliwego jest zawsze zerowe.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a100ef3cff594784306812f09ec1edf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\varnothing)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Je\u017celi zdarzenie jest zawarte w innym zdarzeniu, prawdopodobie\u0144stwo pierwszego zdarzenia musi by\u0107 mniejsze lub r\u00f3wne prawdopodobie\u0144stwu drugiego zdarzenia.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-305a2b392adf58d4a453451588cc8df7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\subset B \\ \\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\color{black}\\ P(A)\\leq P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"292\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Prawdopodobie\u0144stwo sumy dw\u00f3ch zdarze\u0144 jest r\u00f3wne sumie prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia z osobna pomniejszonej o prawdopodobie\u0144stwo ich przeci\u0119cia.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Bior\u0105c pod uwag\u0119 zbi\u00f3r niezgodnych zdarze\u0144 dwa na dwa, ich \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo oblicza si\u0119, dodaj\u0105c prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764b23b74452aaa9dae225ca858b6621_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_1\\cup A_2 \\cup \\ldots\\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\\ldots+P(A_n)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li style=\"margin-bottom:16px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Suma prawdopodobie\u0144stw wszystkich zdarze\u0144 elementarnych w przestrzeni pr\u00f3bki jest r\u00f3wna 1.<\/span> <\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-191a5226cbed021795400db02c08ed57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Omega=\\{A_1,A_2,\\ldots,A_n\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee0f59a00301b4e664c0c7b9d36de757_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_1)+P(A_2)+\\ldots+P(A_n)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"265\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/w\u0142asciwosci-prawdopodobienstwa\/\">W\u0142asno\u015bci prawdopodobie\u0144stwa<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"reglas-de-la-probabilidad\"><\/span> Regu\u0142y prawdopodobie\u0144stwa <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-laplace\"><\/span> Regu\u0142a Laplace\u2019a<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Regu\u0142a Laplace&#8217;a<\/strong> to regu\u0142a probabilistyczna u\u017cywana do obliczania prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia zdarzenia w przestrzeni pr\u00f3bki.<\/p>\n<p> M\u00f3wi\u0105c dok\u0142adniej, regu\u0142a Laplace&#8217;a m\u00f3wi, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia zdarzenia jest r\u00f3wne liczbie korzystnych przypadk\u00f3w podzielonej przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 mo\u017cliwych przypadk\u00f3w. Wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 Laplace&#8217;a jest zatem nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3b5a3fd8897ec1933cfc654566b84dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A)=\\cfrac{\\text{casos favorables}}{\\text{casos posibles}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Na przyk\u0142ad, je\u015bli w\u0142o\u017cymy do worka 5 zielonych, 4 niebieskie i 2 \u017c\u00f3\u0142te kule, prawdopodobie\u0144stwo wylosowania zielonej kuli mo\u017cemy obliczy\u0107, korzystaj\u0105c z regu\u0142y Laplace&#8217;a: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68f6b4223a63448cf4e89485ee0ca28e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(\\text{bola verde})=\\cfrac{5}{5+4+2}=0,45\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regu\u0142a-laplace\u2019a-lub-prawo-laplace\u2019a\/\">Regu\u0142a Laplace&#8217;a (prawdopodobie\u0144stwo)<\/a><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-suma\"><\/span> regu\u0142a sumy<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> W teorii prawdopodobie\u0144stwa <strong>regu\u0142a sumy<\/strong> (lub zasada dodawania) m\u00f3wi, \u017ce suma prawdopodobie\u0144stw dw\u00f3ch zdarze\u0144 jest r\u00f3wna sumie prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia osobno pomniejszonej o prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia obu zdarze\u0144 w tym samym czasie. czas. .<\/p>\n<p> Zatem wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 dodawania jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be7c6347c0f331eeb6540ac9e15081dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\\cap B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"299\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenia krok po kroku dotycz\u0105ce stosowania zasady dodawania mo\u017cna zobaczy\u0107 pod nast\u0119puj\u0105cym linkiem: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\">Regu\u0142a dodawania (prawdopodobie\u0144stwo)<\/a> <\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"regla-de-la-multiplicacion\"><\/span> regu\u0142a mno\u017cenia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Regu\u0142a mno\u017cenia (lub zasada iloczynu)<\/strong> m\u00f3wi, \u017ce \u0142\u0105czne prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia dw\u00f3ch niezale\u017cnych zdarze\u0144 jest r\u00f3wne iloczynowi prawdopodobie\u0144stwa wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia.<\/p>\n<p> Wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia jest zatem nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-593a1a131cab23d805d8324e21e6b4ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A\\cap B)=P(A)\\cdot P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jednak wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia r\u00f3\u017cni si\u0119 w zale\u017cno\u015bci od tego, czy zdarzenia s\u0105 niezale\u017cne, czy zale\u017cne. Jak wygl\u0105da wz\u00f3r na regu\u0142\u0119 mno\u017cenia zdarze\u0144 zale\u017cnych oraz przyk\u0142ady zastosowania tej regu\u0142y mo\u017cesz zobaczy\u0107 klikaj\u0105c tutaj: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/regu\u0142a-mnozenia\/\">Regu\u0142a mno\u017cenia (prawdopodobie\u0144stwo)<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa i do czego si\u0119 j\u0105 wykorzystuje. Znajdziesz wi\u0119c podstawowe poj\u0119cia teorii prawdopodobie\u0144stwa, a tak\u017ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci i prawa teorii prawdopodobie\u0144stwa. Co to jest teoria prawdopodobie\u0144stwa? Teoria prawdopodobie\u0144stwa to zbi\u00f3r regu\u0142 i w\u0142a\u015bciwo\u015bci u\u017cywanych do obliczania prawdopodobie\u0144stwa zjawiska losowego. Zatem teoria prawdopodobie\u0144stwa pozwala nam wiedzie\u0107, kt\u00f3ry wynik losowego eksperymentu [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-397","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-01T02:01:55+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3ad0ac057b6cd7e3d3db78b556249a1_l3.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/\",\"name\":\"\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-01T02:01:55+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-01T02:01:55+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Teoria prawdopodobie\u0144stwa\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa","description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa","og_description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-01T02:01:55+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3ad0ac057b6cd7e3d3db78b556249a1_l3.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/","name":"\u25b7 Teoria prawdopodobie\u0144stwa","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-01T02:01:55+00:00","dateModified":"2023-08-01T02:01:55+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Tutaj dowiesz si\u0119, czym jest teoria prawdopodobie\u0144stwa, poj\u0119ciami teorii prawdopodobie\u0144stwa oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bciami i regu\u0142ami prawdopodobie\u0144stwa.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/teoria-prawdopodobienstwa\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Teoria prawdopodobie\u0144stwa"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/397","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=397"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/397\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=397"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=397"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=397"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}