{"id":419,"date":"2023-07-30T01:30:00","date_gmt":"2023-07-30T01:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/"},"modified":"2023-07-30T01:30:00","modified_gmt":"2023-07-30T01:30:00","slug":"testujesz-manna-whitneya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/","title":{"rendered":"Test u manna \u2013 whitneya"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><strong>Test U Manna-Whitneya<\/strong> (czasami nazywany testem sumy rang Wilcoxona) s\u0142u\u017cy do por\u00f3wnywania r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy dwiema niezale\u017cnymi pr\u00f3bkami, gdy rozk\u0142ady pr\u00f3bek nie maj\u0105 rozk\u0142adu normalnego, a liczebno\u015b\u0107 pr\u00f3bek jest ma\u0142a (n &lt; 30).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Uwa\u017ca si\u0119, \u017ce jest to nieparametryczny odpowiednik <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">niezale\u017cnego testu t dla dw\u00f3ch pr\u00f3bek<\/a> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oto kilka przyk\u0142ad\u00f3w, kiedy mo\u017cna zastosowa\u0107 test U Manna-Whitneya:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Chcesz por\u00f3wna\u0107 wynagrodzenia pi\u0119ciu absolwent\u00f3w uniwersytetu A z wynagrodzeniami pi\u0119ciu absolwent\u00f3w uniwersytetu B. Wynagrodzenia nie podlegaj\u0105 rozk\u0142adowi normalnemu.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Chcesz wiedzie\u0107, czy utrata masy cia\u0142a r\u00f3\u017cni si\u0119 w przypadku dw\u00f3ch grup: 12 os\u00f3b stosuj\u0105cych diet\u0119 A i 10 os\u00f3b stosuj\u0105cych diet\u0119 B. Utrata masy cia\u0142a nie ma rozk\u0142adu normalnego.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Chcesz wiedzie\u0107, czy wyniki 8 uczni\u00f3w w klasie A r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 od wynik\u00f3w 7 uczni\u00f3w w klasie B. Wyniki nie maj\u0105 rozk\u0142adu normalnego.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">W ka\u017cdym przyk\u0142adzie chcesz por\u00f3wna\u0107 dwie grupy, rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania nie jest normalny, a liczebno\u015b\u0107 pr\u00f3by jest ma\u0142a.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zatem test U Manna-Whitneya jest odpowiedni, o ile spe\u0142nione s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce za\u0142o\u017cenia.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Za\u0142o\u017cenia testu U Manna-Whitneya<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przed wykonaniem testu U Manna-Whitneya nale\u017cy upewni\u0107 si\u0119, \u017ce spe\u0142nione s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce cztery za\u0142o\u017cenia:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zwyk\u0142a lub ci\u0105g\u0142a:<\/strong> Zmienna, kt\u00f3r\u0105 analizujesz, jest porz\u0105dkowa lub ci\u0105g\u0142a. Przyk\u0142adami zmiennych porz\u0105dkowych s\u0105 pozycje Likerta (np. 5-punktowa skala od \u201ezdecydowanie si\u0119 nie zgadzam\u201d do \u201ezdecydowanie si\u0119 zgadzam\u201d). Przyk\u0142adami zmiennych ci\u0105g\u0142ych s\u0105 wzrost (mierzony w calach), waga (mierzona w funtach) lub wyniki test\u00f3w (mierzone od 0 do 100).<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Niezale\u017cno\u015b\u0107:<\/strong> Wszystkie obserwacje z obu grup s\u0105 od siebie niezale\u017cne.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Kszta\u0142t:<\/strong> Kszta\u0142ty rozk\u0142ad\u00f3w dla obu grup s\u0105 w przybli\u017ceniu takie same.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Je\u015bli te za\u0142o\u017cenia s\u0105 spe\u0142nione, mo\u017cna wykona\u0107 test U Manna-Whitneya.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby wykona\u0107 test U Manna-Whitneya, post\u0119pujemy zgodnie ze <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">standardow\u0105 pi\u0119cioetapow\u0105 procedur\u0105 testowania hipotez<\/a> :<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Podaj za\u0142o\u017cenia.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">W wi\u0119kszo\u015bci przypadk\u00f3w test U Manna-Whitneya wykonywany jest jako test dwustronny. Hipotezy zerowe i alternatywne zapisuje si\u0119 w postaci:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> :<\/strong> Obie populacje s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> :<\/strong> Te dwie populacje nie s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Okre\u015bl poziom istotno\u015bci, jaki nale\u017cy zastosowa\u0107 w przypadku hipotezy.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zdecyduj si\u0119 na poziom istotno\u015bci. Typowe wybory to .01, .05 i .1.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Znajd\u017a statystyk\u0119 testow\u0105.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Statystyka testowa jest oznaczona jako U i jest mniejsz\u0105 z warto\u015bci U <sub>1<\/sub> i U <sub>2<\/sub> , jak zdefiniowano poni\u017cej:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>1<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>1<\/sub> (n <sub>1<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>1<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>2<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>2<\/sub> (n <sub>2<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>2<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">gdzie n <sub>1<\/sub> i n <sub>2<\/sub> to wielko\u015bci pr\u00f3bek odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2, a R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> to suma rang odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2.<\/span><\/p>\n<p> <em><span style=\"color: #000000;\">Poni\u017csze przyk\u0142ady poka\u017c\u0105, jak szczeg\u00f3\u0142owo znale\u017a\u0107 t\u0119 statystyk\u0119 testow\u0105.<\/span><\/em><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>4. Odrzu\u0107 lub nie odrzucaj hipotezy zerowej.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Korzystaj\u0105c ze statystyk testowych, okre\u015bl, czy mo\u017cesz odrzuci\u0107 hipotez\u0119 zerow\u0105, na podstawie poziomu istotno\u015bci i warto\u015bci krytycznej podanych w tabeli U Manna-Whitneya.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>5. Interpretacja wynik\u00f3w.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Interpretuj wyniki testu w kontek\u015bcie zadanego pytania.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Przyk\u0142ady wykonania testu U Manna-Whitneya<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017csze przyk\u0142ady pokazuj\u0105, jak przeprowadzi\u0107 test U Manna-Whitneya.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 1<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Chcemy wiedzie\u0107, czy nowy lek skutecznie zapobiega atakom paniki. \u0141\u0105cznie 12 pacjent\u00f3w podzielono losowo na dwie grupy po 6 os\u00f3b i przydzielono do grupy otrzymuj\u0105cej nowy lek lub placebo. Nast\u0119pnie pacjenci rejestruj\u0105 liczb\u0119 atak\u00f3w paniki, kt\u00f3rych do\u015bwiadczyli w ci\u0105gu miesi\u0105ca.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wyniki przedstawiono poni\u017cej:<\/span><\/p>\n<div style=\"width: 50%;\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">NOWY LEK<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">PLACEBO<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">4<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">5<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">8<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">6<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">5<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">9<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Wykonaj test U Manna-Whitneya, aby sprawdzi\u0107, czy istnieje r\u00f3\u017cnica w liczbie atak\u00f3w paniki w\u015br\u00f3d pacjent\u00f3w w grupie placebo w por\u00f3wnaniu z grup\u0105 nowego leku. U\u017cyj poziomu istotno\u015bci 0,05.<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Podaj za\u0142o\u017cenia.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> :<\/strong> Obie populacje s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> :<\/strong> Te dwie populacje nie s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Okre\u015bl poziom istotno\u015bci, jaki nale\u017cy zastosowa\u0107 w przypadku hipotezy.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Problem m\u00f3wi nam, \u017ce powinni\u015bmy zastosowa\u0107 poziom istotno\u015bci 0,05.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Znajd\u017a statystyk\u0119 testow\u0105.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przypomnijmy, \u017ce statystyka testowa jest oznaczona jako U i jest mniejsz\u0105 z warto\u015bci U <sub>1<\/sub> i U <sub>2<\/sub> , jak zdefiniowano poni\u017cej:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>1<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>1<\/sub> (n <sub>1<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>1<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>2<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>2<\/sub> (n <sub>2<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>2<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">gdzie n <sub>1<\/sub> i n <sub>2<\/sub> to wielko\u015bci pr\u00f3bek odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2, a R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> to suma rang odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby znale\u017a\u0107<\/span> <span style=\"color: #000000;\">R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> , musimy po\u0142\u0105czy\u0107 obserwacje z obu grup i uporz\u0105dkowa\u0107 je od najmniejszej do najwi\u0119kszej:<\/span><\/p>\n<div style=\"width: 50%;\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\">NOWY LEK<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\">PLACEBO<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>3<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>4<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>5<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>8<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>1<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>6<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>4<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>2<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>3<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>1<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>5<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>9<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Ca\u0142kowita pr\u00f3bka: <span style=\"color: #008080;\">1<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">1<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">2<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">3<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">3<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">4<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">4<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">5<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">6<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">8<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">9<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Rangi: <span style=\"color: #008080;\">1,5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">1,5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">3<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">4,5<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">4,5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">6,5<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">6,5<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">8,5<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">8,5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">10<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">11<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">12<\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #008080;\"><strong>R <sub>1<\/sub><\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\">= suma rang dla pr\u00f3by 1 = 1,5+4,5+4,5+6,5+8,5+8,5 = 34<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>R <sub>2<\/sub><\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\">= suma rang dla pr\u00f3by 2 = 1,5+3+6,5+10+11+12 = 44<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nast\u0119pnie u\u017cywamy wielko\u015bci pr\u00f3bek n <sub>1<\/sub> i n <sub>2<\/sub> , a tak\u017ce sumy rang R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> , aby znale\u017a\u0107 U <sub>1<\/sub> i U <sub>2<\/sub> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><sub>U1<\/sub> = 6(6) + 6(6+1)\/2 \u2013 34 = 23<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><sub>U2<\/sub> = 6(6) + 6(6+1)\/2 \u2013 44 = 13<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nasze statystyki testowe to mniejsza z <sub>warto\u015bci U1<\/sub> i <sub>U2<\/sub> , kt\u00f3ra wynosi U=13.<\/span><\/p>\n<p> <em><span style=\"color: #000000;\">Uwaga: Mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c u\u017cy\u0107 <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kalkulator-testowy-manna-whitneya\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">kalkulatora testu U Manna-Whitneya,<\/a> aby ustali\u0107, \u017ce U = 13.<\/span><\/em><\/p>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>4. Odrzu\u0107 lub nie odrzucaj hipotezy zerowej.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Stosuj\u0105c n <sub>1<\/sub> = 6 i n <sub>2<\/sub> = 6 z poziomem istotno\u015bci 0,05, tabela U Manna-Whitneya m\u00f3wi nam, \u017ce warto\u015b\u0107 krytyczna wynosi 5:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1381 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/mw_ex1.png\" alt=\"Tabela warto\u015bci krytycznych testu Manna Whitneya U\" width=\"544\" height=\"401\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c nasza statystyka testowa (13) jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna (5), nie mo\u017cemy odrzuci\u0107 hipotezy zerowej.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>5. Interpretacja wynik\u00f3w.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c nie odrzucili\u015bmy hipotezy zerowej, nie mamy wystarczaj\u0105cych dowod\u00f3w, aby stwierdzi\u0107, \u017ce liczba atak\u00f3w paniki do\u015bwiadczanych przez pacjent\u00f3w w grupie placebo r\u00f3\u017cni si\u0119 od tej w grupie nowego leku.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad 2<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Chcemy wiedzie\u0107, czy nauka przez 30 minut dziennie przez tydzie\u0144 pomaga uczniom osi\u0105ga\u0107 lepsze wyniki na te\u015bcie. \u0141\u0105cznie 15 pacjent\u00f3w przydzielono losowo do grupy badanej lub do \u017cadnej grupy badawczej. Po tygodniu wszyscy uczniowie przyst\u0119puj\u0105 do tego samego testu.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wyniki test\u00f3w dla obu grup przedstawiono poni\u017cej:<\/span><\/p>\n<div style=\"width: 50%;\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">BADANIE<\/span><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">BEZ STUDI\u00d3W<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">89<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">88<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">92<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">93<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">94<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">95<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">96<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">75<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">91<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">72<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">99<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">80<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">84<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">81<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">90<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Wykonaj test U Manna-Whitneya, aby sprawdzi\u0107, czy istnieje r\u00f3\u017cnica w wynikach testu dla grupy badanej w por\u00f3wnaniu z grup\u0105 niebadan\u0105. U\u017cyj poziomu istotno\u015bci 0,01.<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1. Podaj za\u0142o\u017cenia.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> :<\/strong> Obie populacje s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> :<\/strong> Te dwie populacje nie s\u0105 r\u00f3wne<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2. Okre\u015bl poziom istotno\u015bci, jaki nale\u017cy zastosowa\u0107 w przypadku hipotezy.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Problem m\u00f3wi nam, \u017ce powinni\u015bmy zastosowa\u0107 poziom istotno\u015bci 0,01.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>3. Znajd\u017a statystyk\u0119 testow\u0105.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przypomnijmy, \u017ce statystyka testowa jest oznaczona jako U i jest mniejsz\u0105 z warto\u015bci U <sub>1<\/sub> i U <sub>2<\/sub> , jak zdefiniowano poni\u017cej:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>1<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>1<\/sub> (n <sub>1<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>1<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">U <sub>2<\/sub> = n <sub>1<\/sub> n <sub>2<\/sub> + n <sub>2<\/sub> (n <sub>2<\/sub> +1)\/2 \u2013 R <sub>2<\/sub><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">gdzie n <sub>1<\/sub> i n <sub>2<\/sub> to wielko\u015bci pr\u00f3bek odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2, a R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> to suma rang odpowiednio dla pr\u00f3bek 1 i 2.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby znale\u017a\u0107<\/span> <span style=\"color: #000000;\">R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> , musimy po\u0142\u0105czy\u0107 obserwacje z obu grup i uporz\u0105dkowa\u0107 je od najmniejszej do najwi\u0119kszej:<\/span><\/p>\n<div style=\"width: 50%;\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">BADANIE<\/span><\/strong><\/th>\n<th style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #ff0000;\">BEZ STUDI\u00d3W<\/span><\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #008080;\"><strong>89<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">88<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">92<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">93<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">94<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">95<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">96<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">75<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">91<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">72<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">99<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">80<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">84<\/span><\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #ff0000;\">81<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">90<\/span><\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #000000;\">Ca\u0142kowita pr\u00f3bka: <span style=\"color: #ff0000;\">72<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">75<\/span> <span style=\"color: #008080;\">,<\/span> <span style=\"color: #ff0000;\">80<\/span> , 81, 84, <span style=\"color: #ff0000;\">88<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">89<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">90<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">91<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">92<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">93<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">94<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">95<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">96<\/span> <span style=\"color: #008080;\">,<\/span> <span style=\"color: #ff0000;\">99<\/span><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #000000;\">Rz\u0119dy: <span style=\"color: #ff0000;\">1<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">2<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">3<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">4<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">5<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">6<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">7<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">8<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">9<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">10<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">11<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">12<\/span> , <span style=\"color: #ff0000;\">13<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">14<\/span> , <span style=\"color: #008080;\">15<\/span><\/span><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #008080;\"><strong>R <sub>1<\/sub><\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\">= suma rang dla pr\u00f3by 1 = 5+7+8+9+10+12+14+15 = 80<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>R <sub>2<\/sub><\/strong><\/span> <span style=\"color: #000000;\">= suma rang dla pr\u00f3by 2 = 1+2+3+4+6+11+13 = 40<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nast\u0119pnie u\u017cywamy wielko\u015bci pr\u00f3bek n <sub>1<\/sub> i n <sub>2<\/sub> , a tak\u017ce sumy rang R <sub>1<\/sub> i R <sub>2<\/sub> , aby znale\u017a\u0107 U <sub>1<\/sub> i U <sub>2<\/sub> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><sub>U1<\/sub> = 8(7) + 8(8+1)\/2 \u2013 80 = 12<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><sub>U2<\/sub> = 8(7) + 7(7+1)\/2 \u2013 40 = 44<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nasze statystyki testowe to mniejsza z <sub>warto\u015bci U1<\/sub> i <sub>U2<\/sub> , kt\u00f3ra wynosi U=12.<\/span><\/p>\n<p> <em><span style=\"color: #000000;\">Uwaga: Mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c u\u017cy\u0107 <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kalkulator-testowy-manna-whitneya\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">kalkulatora testu U Manna-Whitneya,<\/a> aby ustali\u0107, \u017ce U = 12.<\/span><\/em><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>4. Odrzu\u0107 lub nie odrzucaj hipotezy zerowej.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Stosuj\u0105c n <sub>1<\/sub> = 8 i n <sub>2<\/sub> = 7 z poziomem istotno\u015bci 0,01, tabela U Manna-Whitneya m\u00f3wi nam, \u017ce warto\u015b\u0107 krytyczna wynosi 6:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1383 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/mw_ex2.png\" alt=\"Tabela warto\u015bci krytycznych testu Manna Whitneya U\" width=\"544\" height=\"401\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c nasza statystyka testowa (12) jest wi\u0119ksza ni\u017c warto\u015b\u0107 krytyczna (6), nie mo\u017cemy odrzuci\u0107 hipotezy zerowej.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>5. Interpretacja wynik\u00f3w.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c nie odrzucili\u015bmy hipotezy zerowej, nie mamy wystarczaj\u0105cych dowod\u00f3w, aby stwierdzi\u0107, \u017ce wyniki uczni\u00f3w, kt\u00f3rzy studiowali, na testach r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 od wynik\u00f3w uczni\u00f3w, kt\u00f3rzy si\u0119 nie uczyli.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Dodatkowe zasoby<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kalkulator-testowy-manna-whitneya\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Kalkulator testu U Manna-Whitneya<\/a><br \/> St\u00f3\u0142 Manna-Whitneya U<br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/jak-wykonac-test-manna-whitneya-w-programie-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya w programie Excel<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/manna-whitneya-testujesz-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya w R<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/mann-whitney-testujesz-pythona\/\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya w Pythonie<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/man-whitney-testuje-spss\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya w SPSS<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/man-whitney-testuje-statystyki\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Jak wykona\u0107 test U Manna-Whitneya w Stata<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Test U Manna-Whitneya (czasami nazywany testem sumy rang Wilcoxona) s\u0142u\u017cy do por\u00f3wnywania r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy dwiema niezale\u017cnymi pr\u00f3bkami, gdy rozk\u0142ady pr\u00f3bek nie maj\u0105 rozk\u0142adu normalnego, a liczebno\u015b\u0107 pr\u00f3bek jest ma\u0142a (n &lt; 30). Uwa\u017ca si\u0119, \u017ce jest to nieparametryczny odpowiednik niezale\u017cnego testu t dla dw\u00f3ch pr\u00f3bek . Oto kilka przyk\u0142ad\u00f3w, kiedy mo\u017cna zastosowa\u0107 test U Manna-Whitneya: [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-419","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Test U Manna-Whitneya - Statoriale<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Test U Manna-Whitneya - Statoriale\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-30T01:30:00+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/mw_ex1.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"7 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/\",\"name\":\"Test U Manna-Whitneya - Statoriale\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-30T01:30:00+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-30T01:30:00+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Test u manna \u2013 whitneya\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Test U Manna-Whitneya - Statoriale","description":"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Test U Manna-Whitneya - Statoriale","og_description":"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-30T01:30:00+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/mw_ex1.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"7 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/","name":"Test U Manna-Whitneya - Statoriale","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-30T01:30:00+00:00","dateModified":"2023-07-30T01:30:00+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Proste wyja\u015bnienie sposobu wykonania testu U Manna-Whitneya, w tym kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/testujesz-manna-whitneya\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Test u manna \u2013 whitneya"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/419","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=419"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/419\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=419"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=419"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=419"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}