{"id":426,"date":"2023-07-29T23:33:30","date_gmt":"2023-07-29T23:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/"},"modified":"2023-07-29T23:33:30","modified_gmt":"2023-07-29T23:33:30","slug":"centralne-twierdzenie-graniczne","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/","title":{"rendered":"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><strong>Centralne twierdzenie graniczne<\/strong> stwierdza, \u017ce <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-probkowania-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania \u015bredniej pr\u00f3bki<\/a> jest w przybli\u017ceniu normalny, je\u015bli wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by jest wystarczaj\u0105co du\u017ca, <em>nawet je\u015bli rozk\u0142ad populacji nie jest normalny<\/em> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Centralne twierdzenie graniczne stwierdza r\u00f3wnie\u017c, \u017ce rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania b\u0119dzie mia\u0142 nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>1.<\/strong> \u015arednia rozk\u0142adu pr\u00f3by b\u0119dzie r\u00f3wna \u015bredniej rozk\u0142adu populacji:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>2.<\/strong> Wariancja rozk\u0142adu pr\u00f3by b\u0119dzie r\u00f3wna wariancji rozk\u0142adu populacji podzielonej przez liczebno\u015b\u0107 pr\u00f3by:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <strong><span style=\"color: #000000;\"><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup><\/span> <span style=\"color: #000000;\">\/n<\/span><\/strong><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Przyk\u0142ady centralnego twierdzenia granicznego<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oto kilka przyk\u0142ad\u00f3w ilustruj\u0105cych centralne twierdzenie graniczne w praktyce.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">R\u00f3wnomierna dystrybucja<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce szeroko\u015b\u0107 skorupy \u017c\u00f3\u0142wia ma r\u00f3wnomierny rozk\u0142ad o minimalnej szeroko\u015bci 2 cali i maksymalnej szeroko\u015bci 6 cali. Oznacza to, \u017ce je\u015bli wybierzemy losowo \u017c\u00f3\u0142wia i zmierzymy szeroko\u015b\u0107 jego skorupy, prawdopodobnie b\u0119dzie on mia\u0142 r\u00f3wnie\u017c od 2 do 6 cali <em>szeroko\u015bci<\/em> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy rozk\u0142ad szeroko\u015bci skorupy \u017c\u00f3\u0142wia, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1472 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme1.jpg\" alt=\"Przyk\u0142ad rozk\u0142adu r\u00f3wnomiernego centralnego twierdzenia granicznego\" width=\"430\" height=\"264\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia rozk\u0142adu r\u00f3wnomiernego wynosi <strong>\u03bc<\/strong> = (b+a) \/ 2, gdzie <em>b<\/em> jest najwi\u0119ksz\u0105 mo\u017cliw\u0105 warto\u015bci\u0105, a <em>a<\/em> jest najmniejsz\u0105 mo\u017cliw\u0105 warto\u015bci\u0105. W tym przypadku jest to (6+2) \/ 2 = 4.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja rozk\u0142adu jednostajnego wynosi <strong><sup>\u03c32<\/sup><\/strong> = (ba) <sup>2\/12<\/sup> . W tym przypadku jest to (6-2) <sup>2\/12<\/sup> = <strong>1,33<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek 2 z rozk\u0142adu jednostajnego<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Teraz wyobra\u017amy sobie, \u017ce pobieramy losow\u0105 pr\u00f3bk\u0119 2 \u017c\u00f3\u0142wi z tej populacji i mierzymy szeroko\u015b\u0107 skorupy ka\u017cdego \u017c\u00f3\u0142wia. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce skorupa pierwszego \u017c\u00f3\u0142wia ma 3 cale szeroko\u015bci, a druga 6 cali. \u015arednia szeroko\u015b\u0107 tej pr\u00f3bki 2 \u017c\u00f3\u0142wi wynosi 4,5 cala.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nast\u0119pnie wyobra\u017amy sobie, \u017ce pobieramy kolejn\u0105 losow\u0105 pr\u00f3bk\u0119 2 \u017c\u00f3\u0142wi z tej populacji i ponownie mierzymy szeroko\u015b\u0107 skorupy ka\u017cdego \u017c\u00f3\u0142wia. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce skorupa pierwszego \u017c\u00f3\u0142wia ma 2,5 cala szeroko\u015bci, a druga r\u00f3wnie\u017c 2,5 cala. \u015arednia szeroko\u015b\u0107 tej pr\u00f3bki 2 \u017c\u00f3\u0142wi wynosi 2,5 cala.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wyobra\u017a sobie, \u017ce ci\u0105gle pobieramy losowe pr\u00f3bki od 2 \u017c\u00f3\u0142wi i za ka\u017cdym razem ustalamy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 muszli.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 skorupy wszystkich pr\u00f3bek od 2 \u017c\u00f3\u0142wi, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1485 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme2-2.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne dla wielko\u015bci pr\u00f3by 2 dla rozk\u0142adu r\u00f3wnomiernego\" width=\"431\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Nazywa si\u0119 to <strong>rozk\u0142adem pr\u00f3bkowania \u015brednich z pr\u00f3bki,<\/strong> poniewa\u017c pokazuje rozk\u0142ad \u015brednich z pr\u00f3bki.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 2 = 0,665<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek po 5 z rozk\u0142adu jednostajnego<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Teraz wyobra\u017a sobie, \u017ce powtarzamy ten sam eksperyment, ale tym razem raz po raz pobieramy losowe pr\u00f3bki od 5 \u017c\u00f3\u0142wi i za ka\u017cdym razem znajdujemy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 skorupy.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 skorupy wszystkich pr\u00f3bek 5 \u017c\u00f3\u0142wi, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1484 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniform4-2.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne dla r\u00f3wnomiernego rozk\u0142adu liczebno\u015bci pr\u00f3by 5\" width=\"431\" height=\"275\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Zauwa\u017c, \u017ce rozk\u0142ad ten ma bardziej kszta\u0142t dzwonu, przypominaj\u0105cy <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozk\u0142ad-normalny\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">rozk\u0142ad normalny<\/a> . Dzieje si\u0119 tak dlatego, \u017ce gdy pobieramy pr\u00f3bki o warto\u015bci 5, rozbie\u017cno\u015b\u0107 mi\u0119dzy \u015brednimi z naszej pr\u00f3bki jest znacznie mniejsza, wi\u0119c jest mniej prawdopodobne, \u017ce otrzymamy pr\u00f3bki o \u015bredniej wielko\u015bci bliskiej 2 cali lub 6 cali, a bardziej prawdopodobne, \u017ce otrzymamy pr\u00f3bki o \u015bredniej wielko\u015bci bliskiej 2 cali lub 6 cali. \u015brednia jest bli\u017csza rzeczywistej \u015bredniej populacji o 4 cale.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 5 = 0,266<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek po 30 z rozk\u0142adu jednostajnego<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Teraz wyobra\u017a sobie, \u017ce powtarzamy ten sam eksperyment, ale tym razem raz po raz pobieramy losowe pr\u00f3bki od 30 \u017c\u00f3\u0142wi i za ka\u017cdym razem znajdujemy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 skorupy.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 szeroko\u015b\u0107 skorupy wszystkich pr\u00f3bek 30 \u017c\u00f3\u0142wi, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1483 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme5-2.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne dla pr\u00f3by o liczebno\u015bci 30\" width=\"430\" height=\"269\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><br \/> <span style=\"color: #000000;\">Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce ten rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania ma jeszcze bardziej kszta\u0142t dzwonu i jest znacznie w\u0119\u017cszy ni\u017c poprzednie dwa rozk\u0142ady.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 30 = 0,044<\/strong><\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">Rozk\u0142ad chi-kwadrat<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce liczba zwierz\u0105t domowych na rodzin\u0119 w pewnym mie\u015bcie jest zgodna z rozk\u0142adem chi-kwadrat z trzema stopniami swobody. Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy rozmieszczenie zwierz\u0105t wed\u0142ug rodziny, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1488 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi1.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne dla rozk\u0142adu chi-kwadrat\" width=\"494\" height=\"272\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia rozk\u0142adu chi-kwadrat to po prostu liczba stopni swobody (df). W tym przypadku <strong>\u03bc<\/strong> = <strong>3<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja rozk\u0142adu chi-kwadrat wynosi 2 * df. W tym przypadku <strong><sup>\u03c32<\/sup><\/strong> = 2 * 3 = <strong>6<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek 2<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wyobra\u017a sobie, \u017ce bierzemy losow\u0105 pr\u00f3bk\u0119 2 rodzin z tej populacji i liczymy liczb\u0119 zwierz\u0105t domowych w ka\u017cdej rodzinie. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce pierwsza rodzina ma 4 zwierz\u0119ta, a druga rodzina ma 1 zwierz\u0119. \u015arednia liczba zwierz\u0105t domowych w tej pr\u00f3bie 2 rodzin wynosi 2,5.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nast\u0119pnie wyobra\u017a sobie, \u017ce bierzemy kolejn\u0105 losow\u0105 pr\u00f3bk\u0119 2 rodzin z tej populacji i ponownie liczymy liczb\u0119 zwierz\u0105t domowych w ka\u017cdej rodzinie. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce pierwsza rodzina ma 6 zwierz\u0105t, a druga rodzina ma 4 zwierz\u0119ta. \u015arednia liczba zwierz\u0105t domowych w tej pr\u00f3bie 2 rodzin wynosi 5.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wyobra\u017a sobie, \u017ce ci\u0105gle pobieramy losowe pr\u00f3bki od 2 rodzin i za ka\u017cdym razem znajdujemy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t domowych.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t domowych we wszystkich pr\u00f3bkach z 2 rodzin, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1489 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi2.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne z pr\u00f3bk\u0105 o rozk\u0142adzie chi-kwadrat wynosz\u0105c\u0105 2\" width=\"442\" height=\"296\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong>s <sup>2<\/sup> = \u03c3 <sup>2<\/sup> \/ n = 6 \/ 2 = 3<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek 10<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Teraz wyobra\u017a sobie, \u017ce powtarzamy ten sam eksperyment, ale tym razem raz po raz pobieramy losowe pr\u00f3bki 10 rodzin i za ka\u017cdym razem znajdujemy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t w rodzinie.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t w rodzinie we wszystkich pr\u00f3bkach 10 rodzin, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1490 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi3.jpg\" alt=\"Centralne twierdzenie graniczne z rozk\u0142adem chi-kwadrat\" width=\"442\" height=\"295\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 6\/10 = 0,6<\/strong><\/span><\/p>\n<h4> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pobieranie losowych pr\u00f3bek 30<\/strong><\/span><\/h4>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Teraz wyobra\u017a sobie, \u017ce powtarzamy ten sam eksperyment, ale tym razem raz po raz pobieramy losowe pr\u00f3bki 30 rodzin i za ka\u017cdym razem znajdujemy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t w rodzinie.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdyby\u015bmy stworzyli histogram przedstawiaj\u0105cy \u015bredni\u0105 liczb\u0119 zwierz\u0105t w rodzinie we wszystkich pr\u00f3bkach 30 rodzin, wygl\u0105da\u0142by tak:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-1491 size-full\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_chi4.jpg\" alt=\"Histogram centralnego twierdzenia granicznego z rozk\u0142adem chi-kwadrat\" width=\"441\" height=\"294\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi<\/span> <strong><span style=\"color: #000000;\"><span style=\"text-decoration: overline;\">x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja tego rozk\u0142adu pr\u00f3bkowania wynosi <strong><sup>s2<\/sup> = <sup>\u03c32<\/sup> \/ n = 6\/30 = 0,2<\/strong><\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Streszczenie<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oto g\u0142\u00f3wne wnioski z tych dw\u00f3ch przyk\u0142ad\u00f3w:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania \u015bredniej pr\u00f3bki jest w przybli\u017ceniu normalny, je\u015bli wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by jest wystarczaj\u0105co du\u017ca, <em>nawet je\u015bli rozk\u0142ad populacji nie jest normalny<\/em> . W dw\u00f3ch powy\u017cszych przyk\u0142adach ani rozk\u0142ad r\u00f3wnomierny, ani rozk\u0142ad chi-kwadrat nie by\u0142y normalne (w og\u00f3le nie mia\u0142y kszta\u0142tu \u201edzwonu\u201d), ale kiedy pobrali\u015bmy wystarczaj\u0105co du\u017c\u0105 pr\u00f3bk\u0119, rozk\u0142ad \u015bredniej pr\u00f3bki zmieni\u0142 si\u0119 w wydaje si\u0119 b\u0105d\u017a normalny.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Im wi\u0119ksza wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by, tym mniejsza wariancja \u015bredniej pr\u00f3bki.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Zdefiniuj \u201ewystarczaj\u0105co du\u017cy\u201d<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przypomnijmy, \u017ce centralne twierdzenie graniczne stwierdza, \u017ce rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania \u015brednich z pr\u00f3by jest w przybli\u017ceniu normalny, je\u015bli wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by jest <strong>\u201ewystarczaj\u0105co du\u017ca\u201d<\/strong> , nawet je\u015bli rozk\u0142ad populacji nie jest normalny.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nie ma dok\u0142adnej definicji tego, jak du\u017ca powinna by\u0107 pr\u00f3ba, aby mo\u017cna by\u0142o zastosowa\u0107 centralne twierdzenie graniczne, ale og\u00f3lnie zale\u017cy to od sko\u015bno\u015bci rozk\u0142adu populacji, z kt\u00f3rej pochodzi pr\u00f3bka:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Je\u015bli rozk\u0142ad populacji jest symetryczny, czasami wystarczaj\u0105ca jest wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by wynosz\u0105ca zaledwie 15 os\u00f3b.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Je\u015bli rozk\u0142ad populacji jest nier\u00f3wny, zwykle konieczna jest pr\u00f3ba licz\u0105ca co najmniej 30 os\u00f3b.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Je\u017celi rozk\u0142ad populacji jest wyj\u0105tkowo nier\u00f3wny, konieczna mo\u017ce by\u0107 pr\u00f3ba licz\u0105ca 40 lub wi\u0119cej os\u00f3b.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wi\u0119cej informacji na ten temat znajdziesz w tym samouczku dotycz\u0105cym <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/duzy-przyk\u0142adowy-stan\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">kondycjonowania du\u017cej pr\u00f3bki<\/a> .<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, \u017ce rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania \u015bredniej pr\u00f3bki jest w przybli\u017ceniu normalny, je\u015bli wielko\u015b\u0107 pr\u00f3by jest wystarczaj\u0105co du\u017ca, nawet je\u015bli rozk\u0142ad populacji nie jest normalny . Centralne twierdzenie graniczne stwierdza r\u00f3wnie\u017c, \u017ce rozk\u0142ad pr\u00f3bkowania b\u0119dzie mia\u0142 nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci: 1. \u015arednia rozk\u0142adu pr\u00f3by b\u0119dzie r\u00f3wna \u015bredniej rozk\u0142adu populacji: x = \u03bc 2. Wariancja rozk\u0142adu pr\u00f3by [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-426","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-29T23:33:30+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme1.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/\",\"name\":\"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-29T23:33:30+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-29T23:33:30+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale","description":"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale","og_description":"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-29T23:33:30+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/clt_uniforme1.jpg"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/","name":"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady - Statoriale","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-29T23:33:30+00:00","dateModified":"2023-07-29T23:33:30+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"W tym samouczku przedstawiono definicj\u0119 centralnego twierdzenia granicznego wraz z przyk\u0142adami ilustruj\u0105cymi jego dzia\u0142anie.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/centralne-twierdzenie-graniczne\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Centralne twierdzenie graniczne: definicja + przyk\u0142ady"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/426","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=426"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/426\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=426"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=426"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=426"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}