{"id":511,"date":"2023-07-29T16:03:36","date_gmt":"2023-07-29T16:03:36","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/"},"modified":"2023-07-29T16:03:36","modified_gmt":"2023-07-29T16:03:36","slug":"sparowane-probki-test-t-r","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/","title":{"rendered":"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w r"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/test-t-dla-par-probek\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Test t dla par pr\u00f3bek<\/a> to test statystyczny, kt\u00f3ry por\u00f3wnuje \u015brednie z dw\u00f3ch pr\u00f3bek, gdy ka\u017cd\u0105 obserwacj\u0119 z jednej pr\u00f3bki mo\u017cna dopasowa\u0107 do <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/obserwacja-w-statystyce\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">obserwacji<\/a> z drugiej pr\u00f3bki.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce chcemy wiedzie\u0107, czy okre\u015blony program nauczania ma znacz\u0105cy wp\u0142yw na wyniki uczni\u00f3w na konkretnym egzaminie. Aby to sprawdzi\u0107, prosimy 20 uczni\u00f3w w klasie o przyst\u0105pienie do testu wst\u0119pnego. Nast\u0119pnie ka\u017cdy ze student\u00f3w uczestniczy w programie studi\u00f3w codziennie przez dwa tygodnie. Nast\u0119pnie uczniowie ponownie przyst\u0119puj\u0105 do testu o podobnym stopniu trudno\u015bci.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby por\u00f3wna\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy \u015brednimi wynikami z pierwszego i drugiego testu, u\u017cywamy testu t dla par, poniewa\u017c w przypadku ka\u017cdego ucznia wynik z pierwszego testu mo\u017cna powi\u0105za\u0107 z wynikiem z drugiego testu.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Jak wykona\u0107 test t dla par<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby wykona\u0107 test t dla par, mo\u017cemy zastosowa\u0107 nast\u0119puj\u0105ce podej\u015bcie:<\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Krok 1: Podaj hipotez\u0119 zerow\u0105 i alternatywn\u0105.<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>0<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> = 0<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> \u2260 0<\/strong> (dwustronne)<\/span><br \/> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> &gt; 0<\/strong> (jednostronne)<\/span><br \/> <span style=\"color: #000000;\"><strong>H <sub>a<\/sub> : \u03bc <sub>d<\/sub> &lt; 0<\/strong> (jednostronne)<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em>gdzie <strong><sub>\u03bcd<\/sub><\/strong> jest \u015bredni\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <strong><span style=\"color: #000000;\">Krok 2: Znajd\u017a statystyk\u0119 testow\u0105 i odpowiadaj\u0105c\u0105 jej warto\u015b\u0107 p.<\/span><\/strong><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Niech <em>a<\/em> = wynik ucznia z pierwszego testu i <em>b<\/em> = wynik ucznia z drugiego testu. Aby przetestowa\u0107 hipotez\u0119 zerow\u0105, \u017ce prawdziwa \u015brednia r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy wynikami testu wynosi zero:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Oblicz r\u00f3\u017cnic\u0119 pomi\u0119dzy ka\u017cd\u0105 par\u0105 wynik\u00f3w (d <sub>i<\/sub> = b <sub>i<\/sub> \u2013 a <sub>i<\/sub> )<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Oblicz \u015bredni\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0119 (d)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Oblicz odchylenie standardowe r\u00f3\u017cnic s <sub>d<\/sub><\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Oblicz statystyk\u0119 t, kt\u00f3ra wynosi T = d \/ (s <sub>d<\/sub> \/ \u221an)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Znajd\u017a odpowiedni\u0105 warto\u015b\u0107 p dla statystyki t z <em>n-1<\/em> stopniami swobody.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Krok 3: Odrzu\u0107 lub nie odrzucaj hipotezy zerowej, w zale\u017cno\u015bci od poziomu istotno\u015bci.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Je\u017celi warto\u015b\u0107 p jest mniejsza ni\u017c wybrany poziom istotno\u015bci, odrzucamy hipotez\u0119 zerow\u0105 i stwierdzamy, \u017ce istnieje statystycznie istotna r\u00f3\u017cnica pomi\u0119dzy \u015brednimi obu grup. W przeciwnym razie nie uda nam si\u0119 odrzuci\u0107 hipotezy zerowej.<\/span><\/p>\n<h2> <strong><span style=\"color: #000000;\">Jak wykona\u0107 sparowany test t w R<\/span><\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby wykona\u0107 sparowany test t w R, mo\u017cemy u\u017cy\u0107 wbudowanej funkcji <strong>t.test()<\/strong> o nast\u0119puj\u0105cej sk\u0142adni:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>t.test<\/strong> (x, y, para = PRAWDA, alternatywa = \u201edwie strony\u201d)<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>x, y:<\/strong> dwa wektory cyfrowe, kt\u00f3re chcemy por\u00f3wna\u0107<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>sparowany:<\/strong> warto\u015b\u0107 logiczna okre\u015blaj\u0105ca, \u017ce chcemy obliczy\u0107 test t dla par<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>alternatywa:<\/strong> hipoteza alternatywna. Mo\u017cna to ustawi\u0107 na \u201edwustronne\u201d (domy\u015blnie), \u201ena g\u00f3rze\u201d lub \u201ena dole\u201d.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017cszy przyk\u0142ad ilustruje, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par, aby okre\u015bli\u0107, czy istnieje znacz\u0105ca r\u00f3\u017cnica w \u015brednich wynikach mi\u0119dzy testem wst\u0119pnym i testem ko\u0144cowym dla 20 uczni\u00f3w.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Utw\u00f3rz dane<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Najpierw utworzymy zbi\u00f3r danych:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#create the dataset<\/span>\ndata &lt;- data.frame(score = c(85,85, 78, 78, 92, 94, 91, 85, 72, 97,\n                             84, 95, 99, 80, 90, 88, 95, 90, 96, 89,\n                             84, 88, 88, 90, 92, 93, 91, 85, 80, 93,\n                             97, 100, 93, 91, 90, 87, 94, 83, 92, 95),\n                   group = c(rep('pre', 20), rep('post', 20)))\n\n<span style=\"color: #008080;\">#view the dataset\n<\/span>data\n\n#scoregroup\n#1 85 pre\n#2 85 pre\n#3 78 pre\n#4 78 pre\n#5 92 pre\n#6 94 pre\n#7 91 pre\n#8 85 pre\n#9 72 pre\n#10 97 pre\n#11 84 pre\n#12 95 pre\n#13 99 pre\n#14 80 pre\n#15 90 pre\n#16 88 pre\n#17 95 pre\n#18 90 pre\n#19 96 pre\n#20 89 pre\n#21 84 post\n#22 88 post\n#23 88 post\n#24 90 post\n#25 92 post\n#26 93 post\n#27 91 post\n#28 85 post\n#29 80 post\n#30 93 post\n#31 97 post\n#32 100 posts\n#33 93 post\n#34 91 post\n#35 90 post\n#36 87 post\n#37 94 post\n#38 83 post\n#39 92 post\n#40 95 post\n<\/strong><\/pre>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Wizualizuj r\u00f3\u017cnice<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nast\u0119pnie przyjrzymy si\u0119 statystykom sumarycznym obu grup przy u\u017cyciu funkcji <strong>group_by()<\/strong> i <strong>podsumowanie<\/strong> <strong>()<\/strong> z biblioteki <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>dplyr<\/strong><\/a> :<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#load <em>dplyr<\/em> library\n<span style=\"color: #000000;\">library(dplyr)<\/span>\n\n#find sample size, mean, and standard deviation for each group\n<span style=\"color: #000000;\">data %&gt;%\n<span style=\"color: #800080;\">group_by<\/span> (group) %&gt;%\n  <span style=\"color: #800080;\">summarize<\/span> (\n    count = n(),\n    mean = mean(score),\n    sd = sd(score)\n  )\n<\/span><\/span>\n# A tibble: 2 x 4\n# group count mean sd\n#     \n#1 post 20 90.3 4.88\n#2 pre 20 88.2 7.24<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mo\u017cemy tak\u017ce tworzy\u0107 <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">wykresy skrzynkowe<\/a> za pomoc\u0105 funkcji <strong>boxplot()<\/strong> w R, aby wy\u015bwietli\u0107 rozk\u0142ad wynik\u00f3w dla grup przed i po:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #800080;\">boxplot<\/span> (score~group,\n  data=data,\n  main=\"Test Scores by Group\",\n  xlab=\"Group\",\n  ylab=\"Score\",\n  col=\"steelblue\",\n  border=\"black\"\n)<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ze statystyk podsumowuj\u0105cych i wykres\u00f3w pude\u0142kowych mo\u017cemy zobaczy\u0107, \u017ce \u015bredni wynik w grupie <em>post<\/em> jest nieco wy\u017cszy ni\u017c \u015bredni wynik w grupie <em>wst\u0119pnej<\/em> . Widzimy r\u00f3wnie\u017c, \u017ce wyniki <em>po<\/em> grupie charakteryzuj\u0105 si\u0119 mniejsz\u0105 zmienno\u015bci\u0105 ni\u017c wyniki <em>przed<\/em> grup\u0105.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby sprawdzi\u0107, czy r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy \u015brednimi tych dw\u00f3ch grup jest istotna statystycznie, mo\u017cemy wykona\u0107 test t dla par.<\/span><\/p>\n<h3> <strong><span style=\"color: #000000;\">Wykonaj test t dla par<\/span><\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przed wykonaniem testu t dla par nale\u017cy sprawdzi\u0107, czy rozk\u0142ad r\u00f3\u017cnic ma rozk\u0142ad normalny (lub w przybli\u017ceniu normalny). Aby to zrobi\u0107, mo\u017cemy utworzy\u0107 nowy wektor zdefiniowany jako r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy wynikami przed i po i wykona\u0107 test Shapiro-Wilka na normalno\u015b\u0107 tego wektora warto\u015bci:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#define new vector for difference between post and pre scores\n<\/span>differences &lt;- with(data, score[group == \"post\"] - score[group == \"pre\"])\n\n<span style=\"color: #008080;\">#perform shapiro-wilk test for normality on this vector of values\n<\/span>shapiro.test(differences)\n\n# Shapiro-Wilk normality test\n#\n#data: differences\n#W = 0.92307, p-value = 0.1135\n#<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Warto\u015b\u0107 p testu wynosi 0,1135, czyli jest wi\u0119ksza ni\u017c alfa = 0,05. Tym samym nie uda\u0142o nam si\u0119 odrzuci\u0107 hipotezy zerowej m\u00f3wi\u0105cej, \u017ce nasze dane maj\u0105 rozk\u0142ad normalny. Oznacza to, \u017ce mo\u017cemy teraz przyst\u0105pi\u0107 do testu t dla par.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Mo\u017cemy u\u017cy\u0107 nast\u0119puj\u0105cego kodu, aby wykona\u0107 test t dla par:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong><span style=\"color: #800080;\">t.test<\/span> (score~group, data = data, paired = TRUE)\n\n# Paired t-test\n#\n#data: score by group\n#t = 1.588, df = 19, p-value = 0.1288\n#alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0\n#95 percent confidence interval:\n# -0.6837307 4.9837307\n#sample estimates:\n#mean of the differences \n#2.15 \n<\/strong><\/span><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Z wyniku mo\u017cemy zobaczy\u0107, \u017ce:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Statystyka testu <strong>t<\/strong> wynosi <strong>1,588<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Warto\u015b\u0107 p dla tej statystyki testowej z 19 stopniami swobody (df) wynosi <strong>0,1288<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">95% przedzia\u0142 ufno\u015bci dla \u015bredniej r\u00f3\u017cnicy wynosi <strong>(-0,6837; 4,9837)<\/strong> .<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia r\u00f3\u017cnica pomi\u0119dzy wynikami grupy przed i po wynosi <strong>2,15<\/strong> .<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zatem, poniewa\u017c nasza warto\u015b\u0107 p jest poni\u017cej naszego poziomu istotno\u015bci wynosz\u0105cego 0,05, nie odrzucimy hipotezy zerowej, \u017ce obie grupy maj\u0105 statystycznie istotne \u015brednie.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Innymi s\u0142owy, nie mamy wystarczaj\u0105cych dowod\u00f3w, aby stwierdzi\u0107, \u017ce \u015brednie wyniki pomi\u0119dzy grupami przed i po s\u0105 statystycznie r\u00f3\u017cne. Oznacza to, \u017ce program nauczania nie mia\u0142 istotnego wp\u0142ywu na wyniki test\u00f3w.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ponadto nasz 95% przedzia\u0142 ufno\u015bci wskazuje, \u017ce mamy \u201e95% pewno\u015bci\u201d, \u017ce prawdziwa \u015brednia r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy obiema grupami wynosi od <strong>-0,6837<\/strong> do <strong>4,9837<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c warto\u015b\u0107 <em>zero<\/em> mie\u015bci si\u0119 w tym przedziale ufno\u015bci, oznacza to, \u017ce <em>zero<\/em> mo\u017ce w rzeczywisto\u015bci by\u0107 prawdziw\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105 pomi\u0119dzy \u015brednimi wynikami, dlatego w tym przypadku nie uda\u0142o nam si\u0119 odrzuci\u0107 hipotezy zerowej.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Test t dla par pr\u00f3bek to test statystyczny, kt\u00f3ry por\u00f3wnuje \u015brednie z dw\u00f3ch pr\u00f3bek, gdy ka\u017cd\u0105 obserwacj\u0119 z jednej pr\u00f3bki mo\u017cna dopasowa\u0107 do obserwacji z drugiej pr\u00f3bki. Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce chcemy wiedzie\u0107, czy okre\u015blony program nauczania ma znacz\u0105cy wp\u0142yw na wyniki uczni\u00f3w na konkretnym egzaminie. Aby to sprawdzi\u0107, prosimy 20 uczni\u00f3w w klasie o [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-511","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-29T16:03:36+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/\",\"name\":\"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-29T16:03:36+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-29T16:03:36+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w r\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials","description":"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials","og_description":"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-29T16:03:36+00:00","author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/","name":"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w R - Statorials","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-29T16:03:36+00:00","dateModified":"2023-07-29T16:03:36+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Proste wyja\u015bnienie, jak przeprowadzi\u0107 test t dla par pr\u00f3bek w R, \u0142\u0105cznie z przyk\u0142adem krok po kroku.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/sparowane-probki-test-t-r\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Jak wykona\u0107 test t dla sparowanych pr\u00f3bek w r"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/511","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=511"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/511\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=511"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=511"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=511"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}