{"id":590,"date":"2023-07-29T09:47:17","date_gmt":"2023-07-29T09:47:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/"},"modified":"2023-07-29T09:47:17","modified_gmt":"2023-07-29T09:47:17","slug":"kendalls-tau","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/","title":{"rendered":"Tau kendalla: definicja + przyk\u0142ad"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">W statystyce <strong>korelacja<\/strong> odnosi si\u0119 do si\u0142y i kierunku zwi\u0105zku mi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Warto\u015b\u0107 wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji mo\u017ce mie\u015bci\u0107 si\u0119 w zakresie od -1 do 1, gdzie -1 oznacza idealn\u0105 ujemn\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107, 0 oznacza brak zwi\u0105zku, a 1 oznacza doskona\u0142\u0105 dodatni\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Najcz\u0119\u015bciej stosowanym wsp\u00f3\u0142czynnikiem korelacji jest <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wspo\u0142czynnik-korelacji-pearsona-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">wsp\u00f3\u0142czynnik korelacji Pearsona<\/a> , kt\u00f3ry mierzy liniowe powi\u0105zanie mi\u0119dzy dwiema zmiennymi numerycznymi.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Rzadziej stosowanym wsp\u00f3\u0142czynnikiem korelacji jest <strong>Tau Kendalla<\/strong> , kt\u00f3ry mierzy zwi\u0105zek mi\u0119dzy dwiema kolumnami danych rankingowych.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wz\u00f3r na obliczenie Tau Kendalla, cz\u0119sto w skr\u00f3cie \u03c4, jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u03c4 = (CD) \/ (C+D)<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Z\u0142oto:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">C = liczba pasuj\u0105cych par<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">D = liczba niezgodnych par<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017cszy przyk\u0142ad ilustruje spos\u00f3b u\u017cycia tej formu\u0142y do obliczenia wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla dla dw\u00f3ch kolumn danych rankingowych.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Przyk\u0142ad obliczenia Tau Kendalla<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zak\u0142ada si\u0119, \u017ce dw\u00f3ch trener\u00f3w koszyk\u00f3wki uszereguje 12 swoich zawodnik\u00f3w od najgorszego do najlepszego. Poni\u017csza tabela przedstawia rankingi przypisane zawodnikom przez ka\u017cdego trenera:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5441 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall1.png\" alt=\"Przyk\u0142ad Tau Kendalla\" width=\"233\" height=\"281\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poniewa\u017c pracujemy z dwiema kolumnami danych rankingowych, w\u0142a\u015bciwe jest u\u017cycie Tau Kendalla do obliczenia korelacji pomi\u0119dzy rankingami dw\u00f3ch trener\u00f3w. Aby obliczy\u0107 Tau Kendalla, wykonaj nast\u0119puj\u0105ce kroki:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Krok 1: Policz liczb\u0119 pasuj\u0105cych par.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Sp\u00f3jrz tylko na rankingi trenera nr 2. Zaczynaj\u0105c od pierwszego gracza, policz, o ile rang pod nim jest <em>wy\u017cszy<\/em> . Na przyk\u0142ad poni\u017cej \u201e1\u201d znajduje si\u0119 11 liczb, kt\u00f3re s\u0105 wi\u0119ksze, wi\u0119c napiszemy 11:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5443 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall2.png\" alt=\"Zbi\u00f3r danych Kendall tau\" width=\"308\" height=\"271\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przejd\u017a do nast\u0119pnego gracza i powt\u00f3rz proces. Poni\u017cej \u201e2\u201d znajduje si\u0119 10 liczb, kt\u00f3re s\u0105 wi\u0119ksze, wi\u0119c napiszemy 10:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5444 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall3.png\" alt=\"Obliczanie zgodnych par tau Kendalla\" width=\"316\" height=\"280\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Gdy dotrzemy do gracza, kt\u00f3rego ranga jest <em>ni\u017csza<\/em> ni\u017c gracz przed nim, po prostu zostaje mu przypisana ta sama warto\u015b\u0107, co graczowi przed nim. Na przyk\u0142ad Elliot ma rang\u0119 \u201e4\u201d, kt\u00f3ra jest ni\u017csza ni\u017c ranga poprzedniego gracza wynosz\u0105ca \u201e5\u201d, wi\u0119c otrzymuje po prostu t\u0119 sam\u0105 warto\u015b\u0107, co gracz przed nim:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5445 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall4.png\" alt=\"Tau Kendalla\" width=\"321\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Powt\u00f3rz ten proces dla wszystkich graczy:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5446 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall5.png\" alt=\"Tau Kendalla\" width=\"321\" height=\"288\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Krok 2: Policz liczb\u0119 niezgodnych par.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ponownie sp\u00f3jrz tylko na rankingi trenera nr 2. Dla ka\u017cdego gracza policz, o ile rang pod nim jest <em>mniejszych<\/em> . Na przyk\u0142ad trener nr 2 przypisa\u0142 AJ-owi rang\u0119 \u201e1\u201d i \u017caden zawodnik pod nim nie ma ni\u017cszej rangi. Dlatego przypisujemy mu warto\u015b\u0107 0:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5447 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall6.png\" alt=\"Obliczanie tau Kendalla dla niezgodnych par\" width=\"396\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Powt\u00f3rz ten proces dla ka\u017cdego gracza:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5448 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall7.png\" alt=\"Przyk\u0142ad tau Kendalla\" width=\"397\" height=\"282\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Krok 3: Oblicz sum\u0119 w ka\u017cdej kolumnie i znajd\u017a Tau Kendalla.<\/strong><\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-5449 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall8.png\" alt=\"Obliczanie tau Kendalla\" width=\"401\" height=\"308\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Tau Kendalla = (CD) \/ (C+D) = (63-3) \/ (63+3) = (60\/66) = <strong>0,909<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Statystyczne znaczenie Tau Kendalla<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> Je\u015bli masz wi\u0119cej ni\u017c n=10 par, Tau Kendalla na og\u00f3\u0142 ma rozk\u0142ad normalny. Do obliczenia wsp\u00f3\u0142czynnika Z dla Tau Kendalla mo\u017cna u\u017cy\u0107 poni\u017cszego wzoru:<\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">z = 3\u03c4*\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n(n-1)<\/span> \/ \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">2(2n+5)<\/span><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Z\u0142oto:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u03c4 = warto\u015b\u0107 obliczona dla Tau Kendalla<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">n = liczba par<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oto jak obliczy\u0107 <em>z<\/em> w poprzednim przyk\u0142adzie:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">z = 3(0,909)*\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">12(12-1)<\/span> \/ \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">2(2*12+5)<\/span> = <strong>4,11<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Korzystaj\u0105c z kalkulatora warto\u015bci P Z-score, widzimy, \u017ce warto\u015b\u0107 p dla tego wyniku Z wynosi <strong>0,00004<\/strong> , co jest statystycznie istotne na poziomie alfa 0,05. Istnieje zatem istotna statystycznie korelacja pomi\u0119dzy rangami, jakie obaj trenerzy przydzielili zawodnikom.<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Bonus: Jak obliczy\u0107 Tau Kendalla w R<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">W oprogramowaniu statystycznym R mo\u017cna u\u017cy\u0107 funkcji <strong>kendall.tau()<\/strong> z biblioteki VGAM do obliczenia Tau Kendalla dla dw\u00f3ch wektor\u00f3w, stosuj\u0105c nast\u0119puj\u0105c\u0105 sk\u0142adni\u0119:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>kendall.tau(x, y)<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">gdzie <em>x<\/em> i <em>y<\/em> to dwa wektory cyfrowe o r\u00f3wnej d\u0142ugo\u015bci.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Poni\u017cszy kod ilustruje spos\u00f3b obliczenia Tau Kendalla dla dok\u0142adnych danych, kt\u00f3rych u\u017cyli\u015bmy w poprzednim przyk\u0142adzie:<\/span><\/p>\n<pre style=\"background-color: #e5e5e5; font-size: 15px;\"> <strong><span style=\"color: #008080;\">#load <em>VGAM\n<\/em><\/span>library(VGAM)\n\n<span style=\"color: #008080;\">#create vector for each coach's rankings<\/span>\ncoach_1 &lt;- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)\ncoach_2 &lt;- c(1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8, 10, 9, 11, 12)\n\n<span style=\"color: #008080;\">#calculate Kendall's Tau\n<\/span>kendall.tau(coach_1, coach_2)\n\n#[1] 0.9090909<\/strong><\/pre>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Zwr\u00f3\u0107 uwag\u0119, jak warto\u015b\u0107 Tau Kendalla odpowiada warto\u015bci obliczonej r\u0119cznie.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W statystyce korelacja odnosi si\u0119 do si\u0142y i kierunku zwi\u0105zku mi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Warto\u015b\u0107 wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji mo\u017ce mie\u015bci\u0107 si\u0119 w zakresie od -1 do 1, gdzie -1 oznacza idealn\u0105 ujemn\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107, 0 oznacza brak zwi\u0105zku, a 1 oznacza doskona\u0142\u0105 dodatni\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107. Najcz\u0119\u015bciej stosowanym wsp\u00f3\u0142czynnikiem korelacji jest wsp\u00f3\u0142czynnik korelacji Pearsona , kt\u00f3ry mierzy liniowe powi\u0105zanie mi\u0119dzy [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-590","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-29T09:47:17+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall1.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/\",\"name\":\"Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-29T09:47:17+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-29T09:47:17+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Tau kendalla: definicja + przyk\u0142ad\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia","description":"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia","og_description":"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-29T09:47:17+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/kendall1.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/","name":"Tau Kendalla: definicja + przyk\u0142ad - Statologia","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-29T09:47:17+00:00","dateModified":"2023-07-29T09:47:17+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Proste wyja\u015bnienie wsp\u00f3\u0142czynnika korelacji rang Tau Kendalla, w tym definicja i przyk\u0142ad sposobu jego obliczenia.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kendalls-tau\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Tau kendalla: definicja + przyk\u0142ad"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/590","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=590"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/590\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=590"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=590"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=590"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}