{"id":65,"date":"2023-08-05T20:30:12","date_gmt":"2023-08-05T20:30:12","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/zmiennosc\/"},"modified":"2023-08-05T20:30:12","modified_gmt":"2023-08-05T20:30:12","slug":"zmiennosc","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/zmiennosc\/","title":{"rendered":"Zmienno\u015b\u0107"},"content":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniamy, czym jest wariancja, zwana tak\u017ce wariancj\u0105, i jak jest obliczana. Znajdziesz tu wz\u00f3r na wariancj\u0119, konkretny przyk\u0142ad obliczania wariancji, a dodatkowo b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 obliczy\u0107 wariancj\u0119 dowolnego zbioru danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.<\/p>\n

Pokazujemy r\u00f3wnie\u017c, jak znale\u017a\u0107 wariancj\u0119 zgrupowanych danych, poniewa\u017c odbywa si\u0119 to w inny spos\u00f3b. Na koniec nauczymy Ci\u0119 r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy wariancj\u0105 populacji a wariancj\u0105 pr\u00f3bki, r\u00f3\u017cnicy mi\u0119dzy wariancj\u0105 a odchyleniem standardowym oraz w\u0142a\u015bciwo\u015bci tej miary statystycznej.<\/p>\n

<\/span> Co to jest wariancja?<\/span><\/h2>\n

W statystyce wariancja jest miar\u0105 rozproszenia, kt\u00f3ra wskazuje zmienno\u015b\u0107 zmiennej losowej.<\/strong> Wariancja jest r\u00f3wna sumie kwadrat\u00f3w reszt podzielonej przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 obserwacji.<\/p>\n

Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce reszt\u0119 rozumie si\u0119 jako r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy warto\u015bci\u0105 punktu danych statystycznych a \u015bredni\u0105 zbioru danych.<\/p>\n

W teorii prawdopodobie\u0144stwa symbolem wariancji jest grecka litera sigma do kwadratu (\u03c3 2<\/sup> ). Chocia\u017c jest on r\u00f3wnie\u017c zwykle przedstawiany jako Var(X)<\/em> , gdzie X<\/em> jest zmienn\u0105 losow\u0105, na podstawie kt\u00f3rej obliczana jest wariancja.<\/p>\n

Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, interpretacja warto\u015bci wariancji zmiennej losowej<\/strong> jest prosta. Im wi\u0119ksza warto\u015b\u0107 wariancji, tym bardziej rozproszone s\u0105 dane. I odwrotnie, im mniejsza warto\u015b\u0107 wariancji, tym mniejsze rozproszenie b\u0119dzie w seriach danych. Jednak interpretuj\u0105c wariancj\u0119, nale\u017cy uwa\u017ca\u0107 na warto\u015bci odstaj\u0105ce<\/em> , poniewa\u017c mog\u0105 one zafa\u0142szowa\u0107 warto\u015b\u0107 wariancji.<\/p>\n

wariancji, inne miary uwa\u017cane poza rozproszeniem to rozst\u0119p, odchylenie standardowe, odchylenie \u015brednie i wsp\u00f3\u0142czynnik zmienno\u015bci.<\/p>\n

<\/span>Jak obliczy\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119<\/span><\/h2>\n

Aby obliczy\u0107 wariancj\u0119, nale\u017cy wykona\u0107 nast\u0119puj\u0105ce kroki:<\/p>\n

    \n
  1. Znajd\u017a \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105<\/a> zbioru danych.<\/span><\/li>\n
  2. Oblicz reszty, zdefiniowane jako r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy warto\u015bciami a \u015bredni\u0105 zbioru danych.<\/span><\/li>\n
  3. Ka\u017cd\u0105 reszt\u0119 podnie\u015b do kwadratu.<\/span><\/li>\n
  4. Dodaj wszystkie wyniki obliczone w poprzednim kroku.<\/span><\/li>\n
  5. Podziel przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych. Otrzymany wynik jest wariancj\u0105 serii danych.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    Podsumowuj\u0105c, wz\u00f3r na obliczenie wariancji<\/strong> zbioru danych jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n

    \"zmienno\u015b\u0107\"<\/figure>\n

    Z\u0142oto:<\/p>\n

      \n
    • \n

      \"X\"<\/p>\n

      jest zmienn\u0105 losow\u0105, dla kt\u00f3rej chcesz obliczy\u0107 wariancj\u0119.<\/li>\n

    • \n

      \"x_i\"<\/p>\n

      jest warto\u015bci\u0105 danych<\/p>\n

      \"i\"<\/p>\n

      .<\/li>\n

    • \n

      \"n\"<\/p>\n

      to ca\u0142kowita liczba obserwacji.<\/li>\n

    • \n

      \"\\overline{X}\"<\/p>\n

      jest \u015bredni\u0105 zmiennej losowej<\/p>\n

      \"X\"<\/p>\n

      .<\/li>\n<\/ul>\n

      \ud83d\udc49 Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 wariancj\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

      Dlatego te\u017c, aby wyodr\u0119bni\u0107 wariancj\u0119 z serii danych, niezb\u0119dna jest wiedza, w jaki spos\u00f3b obliczana jest \u015brednia arytmetyczna. Je\u015bli nie pami\u0119tasz, jak to zrobi\u0107, mo\u017cesz to sprawdzi\u0107 w artykule, do kt\u00f3rego link znajduje si\u0119 powy\u017cej.<\/p>\n

      <\/span> Przyk\u0142ad odchylenia<\/span><\/h2>\n

      Teraz, gdy znamy definicj\u0119 wariancji, rozwi\u0105\u017cemy \u0107wiczenie krok po kroku, aby\u015b m\u00f3g\u0142 zobaczy\u0107, jak uzyskuje si\u0119 wariancj\u0119 serii danych.<\/p>\n

        \n
      • Z mi\u0119dzynarodowej firmy znany jest wynik ekonomiczny, jaki osi\u0105gn\u0119\u0142a w ci\u0105gu ostatnich pi\u0119ciu lat, w wi\u0119kszo\u015bci osi\u0105gn\u0119\u0142a zyski, ale w jednym roku wykaza\u0142a znaczne straty: 11,5, 2, -9, 7 mln euro. Oblicz wariancj\u0119 tego zbioru danych.<\/li>\n<\/ul>\n

        Jak widzieli\u015bmy w powy\u017cszym wyja\u015bnieniu, pierwsz\u0105 rzecz\u0105, kt\u00f3r\u0105 musimy zrobi\u0107, aby znale\u017a\u0107 wariancj\u0119 serii danych, jest obliczenie jej \u015bredniej arytmetycznej:<\/p>\n

        <\/p>\n<\/p>\n

        \"\\overline{X}=\\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2\"<\/p>\n<\/p>\n

        Kiedy ju\u017c znamy \u015bredni\u0105 warto\u015b\u0107 danych, mo\u017cemy skorzysta\u0107 ze wzoru na wariancj\u0119:<\/p>\n<\/p>\n

        \"Var(X)=\\cfrac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n\\left(x_i-\\overline{X}\\right)^2}{n}\"<\/p>\n<\/p>\n

        Dane podane w zestawieniu \u0107wicze\u0144 podstawiamy do wzoru:<\/p>\n<\/p>\n

        \"Var(X)=\\cfrac{\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

        Na koniec pozostaje tylko rozwi\u0105za\u0107 operacje obliczaj\u0105ce wariancj\u0119:<\/p>\n<\/p>\n

        \"\\begin{aligned}Var(X)&=\\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\\\[2ex]&=\\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\\\[2ex]&=<\/p>\n<\/p>\n

        Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce jednostki wariancji to te same jednostki danych statystycznych, ale podniesione do kwadratu, dlatego wariancja tej grupy danych wynosi 45,76 mln euro 2<\/sup> . <\/p>\n

        <\/span> Kalkulator luki<\/span><\/h2>\n

        Wprowad\u017a zestaw danych statystycznych do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 jego wariancj\u0119. Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego. <\/p>\n