{"id":714,"date":"2023-07-29T00:10:17","date_gmt":"2023-07-29T00:10:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/"},"modified":"2023-07-29T00:10:17","modified_gmt":"2023-07-29T00:10:17","slug":"rozklad-dwumianowy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/","title":{"rendered":"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><script src=\"https:\/\/cdnjs.cloudflare.com\/ajax\/libs\/mathjs\/5.1.1\/math.js\"><\/script><script src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/jstat@latest\/dist\/jstat.min.js\"><\/script><\/p>\n<style>\n@import url('https:\/\/fonts.googleapis.com\/css?family=Droid+Serif|Raleway');<\/p>\n<p>#words {\ncolor: black;\nfont-family: Raleway;\nmax-width: 550px;\nmargin: 25px auto;\nline-height: 1.75;\npadding-left: 100px;\n}<\/p>\n<p>#words label, input {\n    display: inline-block;\n    vertical-align: baseline;\n    width: 350px;\n}<\/p>\n<p>    #button {\n      border: 1px solid;\n      border-radius: 10px;\n      margin-top: 20px;\n      padding: 10px 10px;\n      cursor: pointer;\n      outline: none;\n      background-color: white;\n      color: black;\n      font-family: 'Work Sans', sans-serif;\n      border: 1px solid grey;\n      \/* Green *\/\n    }<\/p>\n<p>    #button:hover {\n      background-color: #f6f6f6;\n      border: 1px solid black;\n    }<\/p>\n<p>p, li {\n  color:#000000;\n  font-size: 19px;\n  font-family: 'Helvetica';\n}<\/p>\n<p>p a {\n  color: #9b59b6 !important;\n}\n<\/style>\n<p class=\"has-text-color\" style=\"color:#000000\"><strong>Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> jest jednym z najpopularniejszych rozk\u0142ad\u00f3w w statystyce. Aby zrozumie\u0107 rozk\u0142ad dwumianowy, warto najpierw zrozumie\u0107 <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/eksperyment-dwumianowy\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"binomial experiments (opens in a new tab)\">eksperymenty dwumianowe<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Eksperymenty dwumianowe<\/strong><\/h3>\n<p> <strong>Eksperyment dwumianowy<\/strong> to eksperyment, kt\u00f3ry ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<ul>\n<li> Do\u015bwiadczenie sk\u0142ada si\u0119 z <em>n<\/em> powtarzanych pr\u00f3b.<\/li>\n<li> Ka\u017cda pr\u00f3ba ma tylko dwa mo\u017cliwe wyniki.<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu, oznaczone <em>p<\/em> , jest takie samo dla ka\u017cdej pr\u00f3by.<\/li>\n<li> Ka\u017cdy test jest niezale\u017cny.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Najbardziej oczywistym przyk\u0142adem eksperymentu dwumianowego jest rzut monet\u0105. Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 10 razy. Jest to eksperyment dwumianowy, poniewa\u017c ma nast\u0119puj\u0105ce cztery w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<ul>\n<li> Eksperyment sk\u0142ada si\u0119 z <em>n<\/em> powtarzanych pr\u00f3b \u2013 Jest 10 pr\u00f3b.<\/li>\n<li> Ka\u017cda pr\u00f3ba ma tylko dwa mo\u017cliwe wyniki: orze\u0142 lub reszka.<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu, oznaczone <em>p<\/em> , jest takie samo dla ka\u017cdej pr\u00f3by. Je\u015bli zdefiniujemy \u201esukces\u201d jako g\u0142\u00f3wk\u0119 do l\u0105dowania, w\u00f3wczas prawdopodobie\u0144stwo sukcesu wynosi dok\u0142adnie 0,5 dla ka\u017cdej pr\u00f3by.<\/li>\n<li> Ka\u017cda pr\u00f3ba jest niezale\u017cna \u2013 wynik jednego rzutu monet\u0105 nie ma wp\u0142ywu na wynik \u017cadnego innego rzutu monet\u0105.<\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong><\/h3>\n<p> <strong>Rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> opisuje prawdopodobie\u0144stwo uzyskania <em>k<\/em> sukces\u00f3w w <em>n<\/em> eksperymentach dwumianowych.<\/p>\n<p> Je\u015bli <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/zmienne-losowe\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"random variable (opens in a new tab)\">zmienna losowa<\/a> <em>X<\/em> ma rozk\u0142ad dwumianowy, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce <em>X<\/em> = <em>k<\/em> powodzenia mo\u017cna obliczy\u0107 za pomoc\u0105 nast\u0119puj\u0105cego wzoru:<\/p>\n<p> <strong>P(X=k) = <sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> * p <sup>k<\/sup> * (1-p) <sup>nk<\/sup><\/strong><\/p>\n<p> Z\u0142oto:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>n:<\/strong> liczba pr\u00f3b<\/li>\n<li> <strong>k:<\/strong> liczba sukces\u00f3w<\/li>\n<li> <strong>p:<\/strong> prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w danej pr\u00f3bie<\/li>\n<li> <strong><sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> :<\/strong> liczba sposob\u00f3w uzyskania <em>k<\/em> sukces\u00f3w w <em>n<\/em> pr\u00f3bach<\/li>\n<\/ul>\n<p> Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 3 razy. Mo\u017cemy u\u017cy\u0107 powy\u017cszego wzoru, aby okre\u015bli\u0107 prawdopodobie\u0144stwo uzyskania 0, 1, 2 i 3 or\u0142\u00f3w w tych 3 rzutach:<\/p>\n<p> <strong>P(X=0)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>0<\/sub> * 0,5 <sup>0<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-0<\/sup> = 1 * 1 * (0,5) <sup>3<\/sup> = <strong>0,125<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=1)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>1<\/sub> * 0,5 <sup>1<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-1<\/sup> = 3 * 0,5 * (0,5) <sup>2<\/sup> = <strong>0,375<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=2)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>2<\/sub> * 0,5 <sup>2<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-2<\/sup> = 3 * 0,25 * (0,5) <sup>1<\/sup> = <strong>0,375<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=3)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>3<\/sub> * 0,5 <sup>3<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-3<\/sup> = 1 * 0,125 * (0,5) <sup>0<\/sup> = <strong>0,125<\/strong><\/p>\n<p> <em>Uwaga<\/em> <strong><em>:<\/em><\/strong> <em>U\u017cyli\u015bmy tego <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"Combination Calculator (opens in a new tab)\">po\u0142\u0105czonego kalkulatora<\/a> do obliczenia<\/em> <sub><em>nCk<\/em><\/sub> <sub><em>dla<\/em><\/sub> <em>ka\u017cdego przyk\u0142adu.<\/em><\/p>\n<p> Mo\u017cemy utworzy\u0107 prosty histogram, aby zwizualizowa\u0107 ten rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist1.png\" alt=\"Histogram rozk\u0142adu dwumianowego\" class=\"wp-image-7153\" width=\"339\" height=\"335\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Obliczanie skumulowanych prawdopodobie\u0144stw dwumianowych<\/strong><\/h3>\n<p> Za pomoc\u0105 powy\u017cszego wzoru mo\u017cna \u0142atwo obliczy\u0107 pojedyncze prawdopodobie\u0144stwo dwumianowe (np. prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce moneta wypadnie reszk\u0105 1 raz w 3 rzutach), ale aby obliczy\u0107 skumulowane prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe, musimy doda\u0107 prawdopodobie\u0144stwa indywidualne.<\/p>\n<p> Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce chcemy pozna\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce moneta wypadnie orze\u0142 1 lub mniej razy w 3 rzutach. Do obliczenia tego prawdopodobie\u0144stwa u\u017cyjemy nast\u0119puj\u0105cego wzoru:<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> Nazywa si\u0119 to <strong>prawdopodobie\u0144stwem skumulowanym<\/strong> , poniewa\u017c polega na dodaniu wielu prawdopodobie\u0144stw. Mo\u017cemy obliczy\u0107 skumulowane prawdopodobie\u0144stwo uzyskania <em>k<\/em> lub mniej or\u0142\u00f3w dla ka\u017cdego wyniku, korzystaj\u0105c z podobnego wzoru:<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22640)<\/strong> = P(X=0) = <strong>0,125<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22642)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = <strong>0,875<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22643)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = <strong>1<\/strong> .<\/p>\n<p> Mo\u017cemy utworzy\u0107 histogram, aby zwizualizowa\u0107 ten skumulowany rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist2.png\" alt=\"Skumulowany dwumianowy rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa\" class=\"wp-image-7161\" width=\"346\" height=\"341\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Kalkulator prawdopodobie\u0144stwa dwumianowego<\/strong><\/h3>\n<p> Kiedy pracujemy z ma\u0142ymi liczbami (np. 3 rzuty monet\u0105), rozs\u0105dne jest r\u0119czne obliczenie prawdopodobie\u0144stw dwumianowych. Je\u015bli jednak pracujemy z wi\u0119kszymi liczbami (np. 100 losowa\u0144), r\u0119czne obliczenie prawdopodobie\u0144stwa mo\u017ce by\u0107 trudne. W takich przypadkach pomocne mo\u017ce by\u0107 skorzystanie z <strong>kalkulatora prawdopodobie\u0144stwa dwumianowego,<\/strong> takiego jak ten poni\u017cej.<\/p>\n<p> Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 n = 100 razy, prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wypadnie reszka w danej pr\u00f3bie wynosi p = 0,5, a chcemy pozna\u0107 prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia reszki k = 43 razy lub mniej:<\/p>\n<div id=\"words\"> <label for=\"p\"><b>p<\/b> (prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w danej pr\u00f3bie)<\/label><input id=\"p\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"0.5\"><\/div>\n<div id=\"words\"> <label for=\"n\"><b>n<\/b> (liczba pr\u00f3b)<\/label><input id=\"n\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"100\"><\/div>\n<div id=\"words\"> <label for=\"k\"><b>k<\/b> (liczba sukces\u00f3w)<\/label> <input id=\"k\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"43\"><\/div>\n<div id=\"words\"><input id=\"button\" type=\"button\" value=\"Calculate\" onclick=\"pvalue()\"><\/div>\n<div id=\"words\">\n<p> P(X= <span id=\"k1\">43<\/span> ) = <span id=\"exactProb\">0,03007<\/span><\/p>\n<p> P(X&lt; <span id=\"k2\">43<\/span> ) = <span id=\"lessProb\">0,06661<\/span><\/p>\n<p> P( <span id=\"k3\">X\u226443<\/span> ) = <span id=\"lessEProb\">0,09667<\/span><\/p>\n<p> P(X&gt; <span id=\"k4\">43<\/span> ) = <span id=\"greaterProb\">0,90333<\/span><\/p>\n<p> P( <span id=\"k5\">X\u226543<\/span> ) = <span id=\"greaterEProb\">0,93339<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p><script><\/p>\n<p>function pvalue() {<\/p>\n<p>\/\/get input values\nvar p = document.getElementById('p').value*1;\nvar n = document.getElementById('n').value*1;\nvar k = document.getElementById('k').value*1;<\/p>\n<p>\/\/assign probabilities to variable names\nvar exactProb = jStat.binomial.pdf(k,n,p);\nvar lessProb = jStat.binomial.cdf(k-1,n,p);\nvar lessEProb = jStat.binomial.cdf(k,n,p);\nvar greaterProb = 1-jStat.binomial.cdf(k,n,p);\nvar greaterEProb = 1-jStat.binomial.cdf(k-1,n,p);<\/p>\n<p>\/\/output probabilities\ndocument.getElementById('k1').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k2').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k3').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k4').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k5').innerHTML = k;<\/p>\n<p>document.getElementById('exactProb').innerHTML = exactProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('lessProb').innerHTML = lessProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('lessEProb').innerHTML = lessEProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('greaterProb').innerHTML = greaterProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('greaterEProb').innerHTML = greaterEProb.toFixed(5);\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Oto jak zinterpretowa\u0107 wynik:<\/p>\n<ul>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie orze\u0142 dok\u0142adnie 43 razy, wynosi <strong>0,03007<\/strong> .<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie orze\u0142 mniej ni\u017c 43 razy, wynosi <strong>0,06661<\/strong> .<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie orze\u0142 43 lub mniej, wynosi <strong>0,09667<\/strong> .<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie orze\u0142 wi\u0119cej ni\u017c 43 razy, wynosi <strong>0,90333<\/strong> .<\/li>\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie orze\u0142 43 lub wi\u0119cej razy, wynosi <strong>0,93339<\/strong> .<\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>W\u0142asno\u015bci rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong><\/h3>\n<p> Rozk\u0142ad dwumianowy ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<p> \u015arednia rozk\u0142adu wynosi <strong>\u03bc = np<\/strong><\/p>\n<p> Wariancja rozk\u0142adu wynosi <strong>\u03c3<\/strong> <sup><strong>2<\/strong><\/sup> <strong>= np(1-p)<\/strong><\/p>\n<p> Odchylenie standardowe rozk\u0142adu wynosi <strong>\u03c3 = \u221a<\/strong> <span style=\"text-decoration: overline;\"><strong>np(1-p)<\/strong><\/span><\/p>\n<p> Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 3 razy. Niech p = prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce moneta wyl\u0105duje na orle.<\/p>\n<p> \u015arednia liczba g\u0142\u00f3w, kt\u00f3rej si\u0119 spodziewamy, wynosi \u03bc = np = 3*.5 = <strong>1,5<\/strong> .<\/p>\n<p> Oczekiwana wariancja liczby g\u0142\u00f3w wynosi \u03c3 <sup>2<\/sup> = np(1-p) = 3*.5*(1-.5) = <strong>0.75<\/strong> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Problemy z praktyk\u0105 rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong><\/h3>\n<p> Skorzystaj z poni\u017cszych problem\u00f3w praktycznych, aby sprawdzi\u0107 swoj\u0105 wiedz\u0119 na temat rozk\u0142adu dwumianowego.<\/p>\n<p> <strong>Problem 1<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Pytanie:<\/strong> Bob wykonuje 60% swoich pr\u00f3b rzut\u00f3w wolnych. Je\u015bli wykona 12 rzut\u00f3w wolnych, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce trafi dok\u0142adnie 10?<\/p>\n<p> <strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c powy\u017cszego kalkulatora rozk\u0142adu dwumianowego dla p = 0,6, n = 12 i k = 10, stwierdzamy, \u017ce P(X=10) = <strong>0,06385<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problem 2<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Pytanie:<\/strong> Jessica rzuca monet\u0105 5 razy. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce na monecie wypadnie reszka 2 lub mniej?<\/p>\n<p> <strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c powy\u017cszego kalkulatora rozk\u0142adu dwumianowego dla p = 0,5, n = 5 i k = 2, stwierdzamy, \u017ce P(X\u22642) = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problem 3<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Pytanie:<\/strong> Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce dany student zostanie przyj\u0119ty na okre\u015blon\u0105 uczelni\u0119 wynosi 0,2. Je\u017celi aplikuje 10 student\u00f3w, jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce zostanie przyj\u0119tych wi\u0119cej ni\u017c 4?<\/p>\n<p> <strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c powy\u017cszego kalkulatora rozk\u0142adu dwumianowego dla p = 0,2, n = 10 i k = 4, stwierdzamy, \u017ce P(X&gt;4) = <strong>0,03279<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problem 4<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Pytanie:<\/strong> Rzucasz monet\u0105 12 razy. Jaka jest oczekiwana \u015brednia liczba g\u0142\u00f3w, kt\u00f3re si\u0119 pojawi\u0105?<\/p>\n<p> <strong>Odpowied\u017a:<\/strong> Przypomnijmy, \u017ce \u015bredni\u0105 rozk\u0142adu dwumianowego oblicza si\u0119 jako \u03bc = np. Zatem \u03bc = 12*0,5 = <strong>6 g\u0142\u00f3w<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problem 5<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Pytanie:<\/strong> Marek trafia home run w 10% swoich pr\u00f3b. Je\u015bli w danej grze uda mu si\u0119 uzyska\u0107 5 pr\u00f3b, jaka jest r\u00f3\u017cnica w liczbie home run\u00f3w, kt\u00f3re uda mu si\u0119 wykona\u0107?<\/p>\n<p> <strong>Odpowied\u017a:<\/strong> Przypomnijmy, \u017ce wariancj\u0119 rozk\u0142adu dwumianowego oblicza si\u0119 jako \u03c3 <sup>2<\/sup> = np(1-p). Zatem <sup>\u03c32<\/sup> = 6*,1*(1-,1) = <strong>0,54<\/strong> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Dodatkowe zasoby<\/strong><\/h3>\n<p> Poni\u017csze artyku\u0142y mog\u0105 pom\u00f3c Ci nauczy\u0107 si\u0119 korzysta\u0107 z rozk\u0142adu dwumianowego w r\u00f3\u017cnych programach statystycznych:<\/p>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/excel-z-rozk\u0142adem-dwumianowym\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to calculate binomial probabilities in Excel (opens in a new tab)\">Jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe w programie Excel<\/a><\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kalkulator-prawdopodobienstw-dwumianowych-ti-84\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to calculate binomial probabilities on a TI-84 calculator (opens in a new tab)\">Jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe na kalkulatorze TI-84<\/a><\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Jak obliczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwa dwumianowe w R<\/a><\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wykresl-rozk\u0142ad-dwumianowy-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to plot a binomial distribution in R (opens in a new tab)\">Jak wykre\u015bli\u0107 rozk\u0142ad dwumianowy w R<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Rozk\u0142ad dwumianowy jest jednym z najpopularniejszych rozk\u0142ad\u00f3w w statystyce. Aby zrozumie\u0107 rozk\u0142ad dwumianowy, warto najpierw zrozumie\u0107 eksperymenty dwumianowe . Eksperymenty dwumianowe Eksperyment dwumianowy to eksperyment, kt\u00f3ry ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci: Do\u015bwiadczenie sk\u0142ada si\u0119 z n powtarzanych pr\u00f3b. Ka\u017cda pr\u00f3ba ma tylko dwa mo\u017cliwe wyniki. Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu, oznaczone p , jest takie samo dla ka\u017cdej pr\u00f3by. Ka\u017cdy [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-714","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-29T00:10:17+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist1.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"5 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/\",\"name\":\"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-29T00:10:17+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-29T00:10:17+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","description":"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","og_description":"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-29T00:10:17+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist1.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"5 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/","name":"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-29T00:10:17+00:00","dateModified":"2023-07-29T00:10:17+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Proste wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego, zawieraj\u0105ce formaln\u0105 definicj\u0119 i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wprowadzenie do rozk\u0142adu dwumianowego"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/714","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=714"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/714\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=714"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=714"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=714"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}