{"id":75,"date":"2023-08-05T17:37:55","date_gmt":"2023-08-05T17:37:55","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/"},"modified":"2023-08-05T17:37:55","modified_gmt":"2023-08-05T17:37:55","slug":"kowariancja","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/","title":{"rendered":"Kowariancja"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest kowariancja i jak jest obliczana. Znajdziesz tu wz\u00f3r na kowariancj\u0119 oraz przyk\u0142ad obliczania kowariancji zbioru danych. Dodatkowo mo\u017cesz obliczy\u0107 kowariancj\u0119 dowolnej serii danych za pomoc\u0105 kalkulatora online na ko\u0144cu. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-covarianza\"><\/span> Co to jest kowariancja?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W statystyce <strong>kowariancja<\/strong> jest warto\u015bci\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 stopie\u0144 \u0142\u0105cznej zmienno\u015bci dw\u00f3ch zmiennych losowych. Innymi s\u0142owy, kowariancj\u0119 wykorzystuje si\u0119 do analizy zale\u017cno\u015bci mi\u0119dzy dwiema zmiennymi.<\/p>\n<p> Kowariancja jest r\u00f3wna sumie iloczyn\u00f3w r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy danymi dw\u00f3ch zmiennych i ich odpowiednich \u015brednich podzielonej przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/covariance.png\" alt=\"kowariancja\" class=\"wp-image-1610\" width=\"301\" height=\"191\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 kowariancj\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n<p> Interpretacja warto\u015bci kowariancji jest bardzo prosta:<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u015bli <strong>kowariancja jest dodatnia<\/strong> , oznacza to, \u017ce istnieje zale\u017cno\u015b\u0107 pomi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Dlatego te\u017c, gdy warto\u015b\u0107 jednej zmiennej wzrasta, druga zmienna r\u00f3wnie\u017c wzrasta i odwrotnie.<\/li>\n<li> Je\u015bli <strong>kowariancja jest ujemna<\/strong> , oznacza to, \u017ce zwi\u0105zek mi\u0119dzy dwiema zmiennymi jest ujemny. Tak wi\u0119c, gdy warto\u015b\u0107 jednej zmiennej wzrasta, druga maleje i odwrotnie.<\/li>\n<li> Je\u017celi <strong>kowariancja wynosi zero<\/strong> (lub jej warto\u015b\u0107 jest bliska zeru), oznacza to, \u017ce nie ma zwi\u0105zku pomi\u0119dzy obiema zmiennymi. Innymi s\u0142owy, dwie zmienne losowe s\u0105 niezale\u017cne. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-covarianza\"><\/span> Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aby obliczy\u0107 kowariancj\u0119 serii danych, nale\u017cy wykona\u0107 nast\u0119puj\u0105ce kroki:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Oblicz \u015bredni\u0105 dla ka\u017cdej zmiennej osobno.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Dla ka\u017cdej zmiennej znajd\u017a r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy ka\u017cd\u0105 jej warto\u015bci\u0105 a \u015bredni\u0105 zmiennej.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Pomn\u00f3\u017c r\u00f3\u017cnice obliczone w poprzednim kroku dla ka\u017cdego punktu danych.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Dodaj wszystkie wyniki uzyskane w poprzednim kroku.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Podziel przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych. Uzyskana warto\u015b\u0107 jest kowariancj\u0105 serii danych.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Podsumowuj\u0105c, wz\u00f3r na obliczenie kowariancji mi\u0119dzy dwiema zmiennymi jest nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e8484a2dfa35044eae76362ca631df2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"70\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zdecydowanie zalecan\u0105 metod\u0105 wyodr\u0119bnienia kowariancji mi\u0119dzy dwiema zmiennymi jest utworzenie tabeli zawieraj\u0105cej wszystkie pary danych i dodanie kolumny dla ka\u017cdego z opisanych powy\u017cej krok\u00f3w. W ten spos\u00f3b Twoje obliczenia b\u0119d\u0105 znacznie lepiej zorganizowane i lepiej zrozumiesz, co robisz. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-la-covarianza\"><\/span> Przyk\u0142ad obliczenia kowariancji<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bior\u0105c pod uwag\u0119 definicj\u0119 kowariancji, poni\u017cej znajduje si\u0119 przyk\u0142ad krok po kroku obliczania tego typu miary statystycznej. Celem jest lepsze zrozumienie poj\u0119cia kowariancji i sposobu analizowania korelacji mi\u0119dzy dwiema zmiennymi.<\/p>\n<ul>\n<li> Oblicz kowariancj\u0119 nast\u0119puj\u0105cego zbioru danych statystycznych: <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-donnees-variables-aleatoires.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1612\" width=\"116\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Najpierw musimy obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105 ka\u017cdej zmiennej. Aby to zrobi\u0107, dzielimy sum\u0119 warto\u015bci ka\u017cdej zmiennej przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cbd143f38881aba1c648a4d6f306adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}=\\cfrac{58}{10}=5,8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a19af98b2edc689420b116d93fffbe6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}=\\cfrac{51}{10}=5,1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/srednia-arytmetyczna\/\">\u015brednia ze wzoru arytmetycznego<\/a><\/div>\n<p> Po okre\u015bleniu \u015bredniej ka\u017cdej zmiennej losowej mo\u017cemy doda\u0107 nast\u0119puj\u0105ce kolumny do tabeli danych, aby uzyska\u0107 kowariancj\u0119: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-de-covariance-resolu.png\" alt=\"Rozwi\u0105zanie \u0107wiczenia kowariancji\" class=\"wp-image-1614\" width=\"376\" height=\"287\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Aby wi\u0119c okre\u015bli\u0107 kowariancj\u0119 obu zmiennych, nale\u017cy podzieli\u0107 sum\u0119 ostatniej kolumny przez liczb\u0119 par danych:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49b4992f8443e4d94e38dfa56da38a9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}Cov(X,Y)&amp;=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\\\\[2ex] Cov(X,Y)&amp;= \\cfrac{41,2}{10} \\\\[2ex]Cov(X,Y)&amp;= 4,12\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"175\" width=\"257\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W tym przypadku warto\u015b\u0107 kowariancji jest dodatnia, co oznacza, \u017ce pomi\u0119dzy dwiema badanymi zmiennymi losowymi istnieje bezpo\u015brednia zale\u017cno\u015b\u0107. Je\u017celi jednak warto\u015b\u0107 kowariancji by\u0142aby ujemna, oznacza\u0142oby to, \u017ce zale\u017cno\u015b\u0107 pomi\u0119dzy obiema zmiennymi jest odwrotna. I wreszcie, je\u015bli warto\u015b\u0107 kowariancji wynosi zero lub jest bardzo bliska zeru, oznacza to, \u017ce mi\u0119dzy dwiema zmiennymi nie ma liniowej zale\u017cno\u015bci.<\/p>\n<p> Jak wida\u0107 po rozwi\u0105zaniu tego przyk\u0142adu, bardzo przydatne jest skorzystanie z programu komputerowego takiego jak Excel, aby doda\u0107 kolumny do tabeli i szybko wykona\u0107 obliczenia. W przeciwnym razie, obliczaj\u0105c operacje r\u0119cznie, znalezienie kowariancji zajmie znacznie wi\u0119cej czasu. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-covarianza\"><\/span> Kalkulator kowariancji<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wprowad\u017a zestaw danych statystycznych do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 kowariancj\u0119 mi\u0119dzy dwiema zmiennymi. Nale\u017cy rozdzieli\u0107 pary danych tak, aby w pierwszym polu znajdowa\u0142y si\u0119 tylko warto\u015bci jednej zmiennej, a w drugim tylko warto\u015bci drugiej zmiennej.<\/p>\n<p> Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Zmienna losowa <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la primera variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Zmienna losowa Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la segunda variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Oblicz kowariancj\u0119\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-covarianza\"><\/span> W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Kowariancja ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/p>\n<ul>\n<li> Kowariancja mi\u0119dzy zmienn\u0105 losow\u0105 a sta\u0142\u0105 wynosi zero.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3521edd5d0781593491d07e147d9274e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,a)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Kowariancja zmiennej i sama w sobie jest r\u00f3wnowa\u017cna wariancji tej zmiennej. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b96c9e198a0904a56206dedad0e7608c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,X)=Var(X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Zobacz:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/zmiennosc\/\">czym jest wariancja?<\/a><\/div>\n<ul>\n<li> Kowariancja spe\u0142nia w\u0142asno\u015b\u0107 symetrii, zatem kowariancja zmiennych X i Y jest r\u00f3wna kowariancji zmiennych Y i X. Kolejno\u015b\u0107 zmiennych nie ma wp\u0142ywu na wynik kowariancji.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d384166725954287d0065f3a145c61a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u015bli zmienne s\u0105 mno\u017cone przez sta\u0142e, mo\u017cna najpierw obliczy\u0107 kowariancj\u0119, a nast\u0119pnie pomno\u017cy\u0107 wynik przez sta\u0142e.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ea811783444fab37858b563c94c0ce7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a\\cdot X,b\\cdot Y)=a\\cdot b\\cdot Cov(X,Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Dodanie termin\u00f3w do zmiennych nie ma wp\u0142ywu na wynik kowariancji.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fa1b5d5152dd55933384887aea08396_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Kowariancja mi\u0119dzy dwiema zmiennymi losowymi jest powi\u0105zana z ich oczekiwaniami matematycznymi. Kowariancja mi\u0119dzy zmiennymi X i Y jest r\u00f3wna oczekiwaniu matematycznemu iloczynu X i Y minus iloczyn oczekiwa\u0144 matematycznych ka\u017cdej zmiennej.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cdc964b9ce9f0c87cf3fd8fc5eb84fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=E[X\\cdot Y]-E[X]\\cdot E[Y]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Podczas pracy ze zmiennymi nast\u0119puj\u0105ce wyra\u017cenie algebraiczne jest wype\u0142niane w odniesieniu do kowariancji:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d429b5bb4e4796cc5b8c73ed0845fa2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \\ &amp; \\displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\\\[2ex]&amp; +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"457\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest kowariancja i jak jest obliczana. Znajdziesz tu wz\u00f3r na kowariancj\u0119 oraz przyk\u0142ad obliczania kowariancji zbioru danych. Dodatkowo mo\u017cesz obliczy\u0107 kowariancj\u0119 dowolnej serii danych za pomoc\u0105 kalkulatora online na ko\u0144cu. Co to jest kowariancja? W statystyce kowariancja jest warto\u015bci\u0105 wskazuj\u0105c\u0105 stopie\u0144 \u0142\u0105cznej zmienno\u015bci dw\u00f3ch zmiennych losowych. Innymi s\u0142owy, kowariancj\u0119 wykorzystuje [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-75","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statystyka"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-05T17:37:55+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/covariance.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/\",\"name\":\"\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-05T17:37:55+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-05T17:37:55+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Kowariancja\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...","description":"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...","og_description":"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-05T17:37:55+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/covariance.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/","name":"\u25b7 Kowariancja: wz\u00f3r, przyk\u0142ad, w\u0142a\u015bciwo\u015bci, kalkulator,...","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-05T17:37:55+00:00","dateModified":"2023-08-05T17:37:55+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Definicja kowariancji - Jak obliczy\u0107 kowariancj\u0119 (wz\u00f3r) - Przyk\u0142ad praktyczny - Kalkulator kowariancji - W\u0142a\u015bciwo\u015bci kowariancji","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/kowariancja\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Kowariancja"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/75","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=75"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/75\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=75"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=75"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=75"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}