{"id":765,"date":"2023-07-28T20:06:46","date_gmt":"2023-07-28T20:06:46","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/"},"modified":"2023-07-28T20:06:46","modified_gmt":"2023-07-28T20:06:46","slug":"ujemny-rozklad-dwumianowy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/","title":{"rendered":"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><strong>Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy<\/strong> opisuje prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia okre\u015blonej liczby niepowodze\u0144 przed osi\u0105gni\u0119ciem okre\u015blonej liczby sukces\u00f3w w serii pr\u00f3b Bernoulliego.<\/span><\/p>\n<blockquote>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pr\u00f3ba Bernoulliego<\/strong> to eksperyment, w kt\u00f3rym mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki \u2013 \u201esukces\u201d lub \u201epora\u017cka\u201d, a prawdopodobie\u0144stwo sukcesu jest takie samo za ka\u017cdym razem, gdy eksperyment jest przeprowadzany.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Przyk\u0142adem eseju Bernoulliego jest rzut monet\u0105. Moneta mo\u017ce wyl\u0105dowa\u0107 tylko na dw\u00f3ch or\u0142ach (mo\u017cemy nazwa\u0107 orze\u0142 \u201etrafieniem\u201d, a reszk\u0119 \u201epora\u017ck\u0105\u201d), a prawdopodobie\u0144stwo powodzenia w ka\u017cdym rzucie wynosi 0,5, zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce moneta jest uczciwa.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><i>Je\u015bli<\/i> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/zmienne-losowe\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">zmienna<\/a> <em>losowa<\/em> <em>_<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=k) =<\/strong> <strong><sub>k+r-1<\/sub> C <sub>k<\/sub> * (1-p) <sup>r<\/sup> *p <sup>k<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Z\u0142oto:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> liczba awarii<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>r:<\/strong> liczba sukces\u00f3w<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w danej pr\u00f3bie<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong><sub>k+r-1<\/sub> C <sub>k<\/sub> :<\/strong> liczba kombinacji (k+r-1) rzeczy pobieranych k na raz<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 i definiujemy \u201eudane\u201d wydarzenie jako l\u0105dowanie na orle. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce do\u015bwiadczysz 6 pora\u017cek, zanim odniesiesz w sumie 4 sukcesy?<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Aby odpowiedzie\u0107 na to pytanie, mo\u017cemy u\u017cy\u0107 ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego z nast\u0119puj\u0105cymi parametrami:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> liczba awarii = 6<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>r:<\/strong> liczba sukces\u00f3w = 4<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> prawdopodobie\u0144stwo sukcesu w danej pr\u00f3bie = 0,5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Podstawiaj\u0105c te liczby do wzoru, stwierdzamy, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo wynosi:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=6 awarii)<\/strong> = <sub>6+4-1<\/sub> C <sub>6<\/sub> * (1-.5) <sup>4<\/sup> *(.5) <sup>6<\/sup> = (84)*(.0625)*(.015625) = <strong>0.08203<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>W\u0142asno\u015bci ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy ma nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia liczba niepowodze\u0144, kt\u00f3rych si\u0119 spodziewamy, zanim osi\u0105gniemy <em>r<\/em> sukces\u00f3w, wynosi <strong>pr\/(1-p)<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja liczby niepowodze\u0144 oczekiwanych przed uzyskaniem <em>r<\/em> sukces\u00f3w wynosi <strong>pr<\/strong> <strong>\/ (1-p) <sup>2<\/sup><\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Za\u0142\u00f3\u017cmy na przyk\u0142ad, \u017ce rzucamy monet\u0105 i definiujemy \u201eudane\u201d wydarzenie jako l\u0105dowanie na orle.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u015arednia liczba niepowodze\u0144 (np. l\u0105dowanie ogonem), jakiej mogliby\u015bmy si\u0119 spodziewa\u0107 przed osi\u0105gni\u0119ciem 4 sukces\u00f3w, wynios\u0142aby <strong>pr\/(1-p)<\/strong> = (0,5*4) \/ (1-0,5) = <strong>4<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Wariancja liczby niepowodze\u0144, kt\u00f3rych oczekujemy przed uzyskaniem 4 sukces\u00f3w, b\u0119dzie <strong>wynosi\u0107 pr\/(1-p) <sup>2<\/sup><\/strong> = (.5*4)\/(1-.5) <sup>2<\/sup> = <strong>8<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <strong>Problemy z praktyk\u0105 ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Skorzystaj z poni\u017cszych problem\u00f3w praktycznych, aby sprawdzi\u0107 swoj\u0105 wiedz\u0119 na temat ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Uwaga:<\/strong> Do obliczenia odpowiedzi na te pytania u\u017cyjemy <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/kalkulator-ujemnego-rozk\u0142adu-dwumianowego\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">kalkulatora ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego<\/a> .<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pytanie:<\/strong> Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce rzucimy monet\u0105 i zdefiniujemy \u201eudane\u201d wydarzenie jako l\u0105dowanie na reszce. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce do\u015bwiadczysz 3 pora\u017cek, zanim odniesiesz w sumie 4 sukcesy?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c kalkulatora ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego dla k = 3 niepowodze\u0144, r = 4 sukces\u00f3w i p = 0,5, stwierdzamy, \u017ce P(X=3) = <strong>0,15625<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 2<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pytanie:<\/strong> Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce chodzimy od drzwi do drzwi i sprzedajemy s\u0142odycze. Za \u201esukces\u201d uwa\u017camy, je\u015bli kto\u015b kupi batonik. Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce dana osoba kupi batonik wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce do\u015bwiadczysz 8 pora\u017cek, zanim odniesiesz w sumie 5 sukces\u00f3w?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c kalkulatora ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego dla k = 8 niepowodze\u0144, r = 5 sukces\u00f3w i p = 0,4, stwierdzamy, \u017ce P(X=8) = <strong>0,08514<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problem 3<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pytanie:<\/strong> Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce rzucamy kostk\u0105 i definiujemy \u201eudany\u201d rzut jako wyl\u0105dowanie na liczbie 5. Prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce ko\u015b\u0107 wyl\u0105duje na 5 w danym rzucie wynosi 1\/6 = 0,167. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce do\u015bwiadczysz 4 pora\u017cek, zanim odniesiesz w sumie 3 sukcesy?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Odpowied\u017a:<\/strong> U\u017cywaj\u0105c kalkulatora ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego dla k = 4 niepowodze\u0144, r = 3 sukces\u00f3w i p = 0,167, stwierdzamy, \u017ce P(X=4) = <strong>0,03364<\/strong> .<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ujemny rozk\u0142ad dwumianowy opisuje prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia okre\u015blonej liczby niepowodze\u0144 przed osi\u0105gni\u0119ciem okre\u015blonej liczby sukces\u00f3w w serii pr\u00f3b Bernoulliego. Pr\u00f3ba Bernoulliego to eksperyment, w kt\u00f3rym mo\u017cliwe s\u0105 tylko dwa wyniki \u2013 \u201esukces\u201d lub \u201epora\u017cka\u201d, a prawdopodobie\u0144stwo sukcesu jest takie samo za ka\u017cdym razem, gdy eksperyment jest przeprowadzany. Przyk\u0142adem eseju Bernoulliego jest rzut monet\u0105. Moneta mo\u017ce wyl\u0105dowa\u0107 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-765","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-przewodnik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-28T20:06:46+00:00\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"3 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/\",\"name\":\"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-28T20:06:46+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-28T20:06:46+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","description":"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","og_description":"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-07-28T20:06:46+00:00","author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"3 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/","name":"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego - Statologia","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-07-28T20:06:46+00:00","dateModified":"2023-07-28T20:06:46+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"Proste wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego, w tym formalna definicja i kilka przyk\u0142ad\u00f3w.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/ujemny-rozklad-dwumianowy\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wprowadzenie do ujemnego rozk\u0142adu dwumianowego"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/765","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=765"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/765\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=765"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=765"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=765"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}