{"id":79,"date":"2023-08-05T16:44:39","date_gmt":"2023-08-05T16:44:39","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/"},"modified":"2023-08-05T16:44:39","modified_gmt":"2023-08-05T16:44:39","slug":"oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/","title":{"rendered":"Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)"},"content":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"que-es-la-esperanza-matematica-o-valor-esperado\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-esperanza-matematica-o-valor-esperado\"><\/span> Co to jest oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W statystyce <strong>oczekiwanie<\/strong> , zwane tak\u017ce <strong>warto\u015bci\u0105 oczekiwan\u0105<\/strong> , to liczba reprezentuj\u0105ca \u015bredni\u0105 warto\u015b\u0107 zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest r\u00f3wne sumie wszystkich iloczyn\u00f3w utworzonych przez warto\u015bci zdarze\u0144 losowych i odpowiednie prawdopodobie\u0144stwa ich wyst\u0105pienia.<\/p>\n<p> Symbolem oczekiwania jest du\u017ca litera E, na przyk\u0142ad oczekiwanie zmiennej statystycznej X jest reprezentowane przez E(X).<\/p>\n<p> Podobnie warto\u015b\u0107 oczekiwa\u0144 matematycznych zbioru danych pokrywa si\u0119 z jego \u015bredni\u0105 (\u015bredni\u0105 populacji). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-calcular-la-esperanza-matematica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-esperanza-matematica\"><\/span> Jak obliczy\u0107 oczekiwanie matematyczne<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aby obliczy\u0107 oczekiwanie matematyczne zmiennej dyskretnej, nale\u017cy wykona\u0107 nast\u0119puj\u0105ce kroki:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Pomn\u00f3\u017c ka\u017cde mo\u017cliwe zdarzenie przez prawdopodobie\u0144stwo jego wyst\u0105pienia.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Dodaj wszystkie wyniki uzyskane w poprzednim kroku.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Uzyskana warto\u015b\u0107 jest matematycznym oczekiwaniem (lub warto\u015bci\u0105 oczekiwan\u0105) zmiennej.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Zatem <strong>wz\u00f3r na obliczenie matematycznego oczekiwania (lub warto\u015bci oczekiwanej) zmiennej dyskretnej<\/strong> jest nast\u0119puj\u0105cy: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/espoir-mathematiques-valeur-attendue.png\" alt=\"oczekiwanie matematyczne lub warto\u015b\u0107 oczekiwana\" class=\"wp-image-1752\" width=\"279\" height=\"279\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Za pomoc\u0105 poni\u017cszego kalkulatora mo\u017cesz obliczy\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n<p> Nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce powy\u017cszy wz\u00f3r mo\u017cna zastosowa\u0107 tylko wtedy, gdy zmienna losowa jest dyskretna (w wi\u0119kszo\u015bci przypadk\u00f3w). Ale je\u015bli zmienna jest ci\u0105g\u0142a, musimy u\u017cy\u0107 nast\u0119puj\u0105cego wzoru, aby uzyska\u0107 oczekiwanie matematyczne:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0ecbcb5a0ab0deb8d097268ac2911f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E(X)=\\int_\\mathbb{R} x\\cdot f_x(x) dx \" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f27dd617611a2ded87c3e79c1ee76fa3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f_x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"17\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> jest funkcj\u0105 g\u0119sto\u015bci zmiennej ci\u0105g\u0142ej <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejemplo-de-la-esperanza-matematica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-la-esperanza-matematica\"><\/span> przyk\u0142ad oczekiwa\u0144 matematycznych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bior\u0105c pod uwag\u0119 definicj\u0119 warto\u015bci oczekiwanej (lub warto\u015bci oczekiwanej), poni\u017cej znajduje si\u0119 konkretny przyk\u0142ad, dzi\u0119ki kt\u00f3remu mo\u017cna zobaczy\u0107, w jaki spos\u00f3b przeprowadzane s\u0105 obliczenia.<\/p>\n<ul>\n<li> Osoba uczestniczy w grze, w kt\u00f3rej mo\u017ce wygra\u0107 lub przegra\u0107 pieni\u0105dze w oparciu o liczb\u0119 pojawiaj\u0105c\u0105 si\u0119 podczas rzutu kostk\u0105. Je\u015bli wyrzucisz 1, wygrasz 800 $, je\u015bli wyrzucisz 2 lub 3, stracisz 500 $, a je\u015bli wyrzucisz 4, 5 lub 6, wygrasz 100 $. Cena uczestnictwa wynosi 50 dolar\u00f3w. Czy poleci\u0142by\u015b udzia\u0142 w tej grze prawdopodobie\u0144stwa?<\/li>\n<\/ul>\n<p> Pierwsz\u0105 rzecz\u0105 do zrobienia jest okre\u015blenie prawdopodobie\u0144stwa ka\u017cdego zdarzenia. Poniewa\u017c ko\u015b\u0107 ma sze\u015b\u0107 \u015bcian, prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia dowolnej liczby wynosi:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6f7689a151fef994183ad359ae578b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p(\\text{obtener un n\\'umero})=\\cfrac{1}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia wynosi zatem: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ad9bd3479cfff0fd8a669549b972ecb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p(\\text{ganar }\\$800)=\\cfrac{1}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc814922859e0fd0be7476101a6decc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p(\\text{perder }\\$500)=2\\cdot \\cfrac{1}{6}=\\cfrac{2}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2a717f65fcc37f0ec7e338271bef523_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p(\\text{ganar }\\$100)=3\\cdot \\cfrac{1}{6}=\\cfrac{3}{6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Teraz, gdy znamy prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia ka\u017cdego zdarzenia, stosujemy wz\u00f3r matematyczny na oczekiwanie:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2634d90a3d741a7681987d3e7f45ebd1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E(X)=\\sum_{i=1}^nx_i\\cdot p_i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"139\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> I obliczamy oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwan\u0105):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a7532f7bc4f9a6fc9c367fe2e28d0bf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(X)=800\\cdot\\cfrac{1}{6}-500\\cdot \\cfrac{2}{6}+100\\cdot\\cfrac{3}{6}=\\$16,67\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oczekiwana warto\u015b\u0107 jest mniejsza ni\u017c cena uczestnictwa w tej grze, wi\u0119c lepiej nie gra\u0107, bo na d\u0142u\u017csz\u0105 met\u0119 sko\u0144czy si\u0119 to strat\u0105 pieni\u0119dzy. Mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce je\u015bli we\u017amiesz udzia\u0142 dopiero, gdy liczba ta osi\u0105gnie 1, osi\u0105gniesz du\u017cy zysk, ale prawdopodobie\u0144stwo poniesienia strat w d\u0142u\u017cszej perspektywie jest wysokie.<\/p>\n<p> Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce wynik oczekiwa\u0144 matematycznych jest czasem warto\u015bci\u0105 niemo\u017cliw\u0105 do osi\u0105gni\u0119cia, np. w tym przypadku nie mo\u017cna uzyska\u0107 16,67 USD. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"calculadora-de-la-esperanza-matematica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-esperanza-matematica\"><\/span> Kalkulator oczekiwa\u0144<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wprowad\u017a zestaw danych statystycznych do poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 oczekiwan\u0105. W pierwszym polu nale\u017cy wpisa\u0107 warto\u015b\u0107 ka\u017cdego zdarzenia, a w drugim \u2013 jego prawdopodobie\u0144stwo wyst\u0105pienia, w tej samej kolejno\u015bci.<\/p>\n<p> Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Warto\u015b\u0107 ka\u017cdego zdarzenia: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"3 4 1 7 5 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los valores de los sucesos aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Prawdopodobie\u0144stwo ka\u017cdego zdarzenia: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosP\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"0.1 0.25 0.4 0.05 0.15 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce las probabilidades aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Oblicz oczekiwanie matematyczne\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"propiedades-de-la-esperanza-matematica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-esperanza-matematica\"><\/span> W\u0142a\u015bciwo\u015bci oczekiwa\u0144 matematycznych<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W\u0142a\u015bciwo\u015bci oczekiwa\u0144 matematycznych s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce:<\/p>\n<ul>\n<li> Matematyczne oczekiwanie na sta\u0142\u0105 jest samo w sobie.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-564923a9300f678924c2bf5d02fb5821_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(k)=k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Oczekiwanie zmiennej losowej pomno\u017conej przez skalar jest r\u00f3wne oczekiwaniu tej zmiennej pomno\u017conemu przez ten skalar.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-506787cf97f31936eef0579d1471a5bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(k\\cdot X)=k\\cdot E(X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Matematyczne oczekiwanie sumy dw\u00f3ch zmiennych jest r\u00f3wnowa\u017cne sumie matematycznych oczekiwa\u0144 ka\u017cdej zmiennej.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cfd9f255e02675ec64ec472d0c997c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(X+Y)=E(X)+E(Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Og\u00f3lnie rzecz bior\u0105c, pomno\u017cenie dw\u00f3ch zmiennych daje inne oczekiwania matematyczne. Wynik jest taki sam tylko wtedy, gdy zmienne s\u0105 niezale\u017cne.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-116cfab17848d8aa4a3833600bd3215a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"E(X\\cdot Y)\\neq E(X)\\cdot E(Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u015bli wszystkie warto\u015bci zmiennej s\u0105 wi\u0119ksze lub r\u00f3wne zero, w\u00f3wczas matematyczne oczekiwanie tej zmiennej jest r\u00f3wnie\u017c dodatnie lub r\u00f3wne zero.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4830aa6f68f621f7bac3ffa0b2d8d2db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\geq 0 \\ \\longrightarrow \\ E(X)\\geq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"175\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u015bli wszystkie warto\u015bci jednej zmiennej s\u0105 mniejsze ni\u017c wszystkie warto\u015bci innej zmiennej, oczekiwania wobec obu zmiennych maj\u0105 t\u0119 sam\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f236222136aa7e5cab6ff999cfbecb9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"X\\leq Y \\ \\longrightarrow \\ E(X)\\leq E(Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Je\u015bli wiemy, \u017ce zmienna jest ograniczona przez dwie warto\u015bci, jej matematyczne oczekiwanie r\u00f3wnie\u017c jest logicznie ograniczone. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1241572e77188af4dbd932f7415c0dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\n\n<ul>\n<li> Si une variable est la combinaison lin\u00e9aire d&#8217;une autre variable, ses attentes math\u00e9matiques satisfont \u00e0 la m\u00eame relation alg\u00e9brique : <\/li>\n<\/ul>\n<p>[latex]Y=a+bX \\ \\longrightarrow \\ E(Y)=a+b\\cdot E(X)&#8221; title=&#8221;Rendered by QuickLaTeX.com&#8221; height=&#8221;41&#8243; width=&#8221;1116&#8243; style=&#8221;vertical-align: -5px;&#8221;><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"para-que-sirve-la-esperanza-matematica\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfpara-que-sirve-la-esperanza-matematica\"><\/span> Do czego s\u0142u\u017cy oczekiwanie matematyczne?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> W tej ostatniej cz\u0119\u015bci zag\u0142\u0119bimy si\u0119 w znaczenie nadziei matematycznej. Konkretnie zobaczymy, do czego s\u0142u\u017cy ta miara statystyczna, a tym samym lepiej zrozumiemy t\u0119 koncepcj\u0119.<\/p>\n<p> Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) s\u0142u\u017cy do okre\u015blenia warto\u015bci kwoty, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna zyska\u0107 lub straci\u0107 w d\u0142ugim okresie, w przestrzeni probabilistycznej. Innymi s\u0142owy, oczekiwanie matematyczne wskazuje zwrot, kt\u00f3ry zostanie uzyskany w d\u0142u\u017cszej perspektywie.<\/p>\n<p> Kiedy dana osoba rozwa\u017ca dokonanie inwestycji, na przyk\u0142ad zakup akcji sp\u00f3\u0142ki, jednym z parametr\u00f3w, kt\u00f3re nale\u017cy wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119, s\u0105 oczekiwania matematyczne. Poniewa\u017c je\u015bli dokonasz tej inwestycji kilka razy, uzyskany zwrot ekonomiczny b\u0119dzie warto\u015bci\u0105 oczekiwa\u0144 matematycznych. Mo\u017cna go uzna\u0107 za \u015bredni\u0105 uzyskanych korzy\u015bci.<\/p>\n<p> Podobnie oczekiwania matematyczne s\u0105 r\u00f3wnie\u017c wykorzystywane w innych dziedzinach, takich jak ekonometria, fizyka kwantowa, handel, a nawet biologia.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online. Co to jest oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)? W statystyce oczekiwanie , zwane tak\u017ce warto\u015bci\u0105 oczekiwan\u0105 , to liczba reprezentuj\u0105ca \u015bredni\u0105 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[],"class_list":["post-79","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-prawdopodobienstwo"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Statorials\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-08-05T16:44:39+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/espoir-mathematiques-valeur-attendue.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Benjamin Anderson\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"4 minuty\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/\",\"name\":\"\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-08-05T16:44:39+00:00\",\"dateModified\":\"2023-08-05T16:44:39+00:00\",\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\"},\"description\":\"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Dom\",\"item\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/\",\"name\":\"Statorials\",\"description\":\"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965\",\"name\":\"Benjamin Anderson\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg\",\"caption\":\"Benjamin Anderson\"},\"description\":\"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej\",\"sameAs\":[\"https:\/\/statorials.org\/pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)","description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)","og_description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.","og_url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/","og_site_name":"Statorials","article_published_time":"2023-08-05T16:44:39+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/espoir-mathematiques-valeur-attendue.png"}],"author":"Benjamin Anderson","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"Benjamin Anderson","Szacowany czas czytania":"4 minuty"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/","name":"\u25b7 Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)","isPartOf":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website"},"datePublished":"2023-08-05T16:44:39+00:00","dateModified":"2023-08-05T16:44:39+00:00","author":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965"},"description":"W tym artykule wyja\u015bniono, czym jest matematyczne oczekiwanie (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana) zmiennej losowej i jak je obliczy\u0107. Znajdziesz rozwi\u0105zane \u0107wiczenie nadziei matematycznej. Dodatkowo mo\u017cesz znale\u017a\u0107 oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 dowolnego zestawu danych za pomoc\u0105 kalkulatora online.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oczekiwanie-matematyczne-lub-wartosc-oczekiwana\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Dom","item":"https:\/\/statorials.org\/pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Oczekiwanie matematyczne (lub warto\u015b\u0107 oczekiwana)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#website","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/","name":"Statorials","description":"Tw\u00f3j przewodnik po kompetencjach statystycznych!","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/statorials.org\/pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/6484727a4612df3e69f016c3129c6965","name":"Benjamin Anderson","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/statorials.org\/pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","contentUrl":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-content\/uploads\/2023\/11\/Benjamin-Anderson-96x96.jpg","caption":"Benjamin Anderson"},"description":"Cze\u015b\u0107, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, kt\u00f3ry zosta\u0142 oddanym nauczycielem Statorials. Dzi\u0119ki bogatemu do\u015bwiadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki ch\u0119tnie dziel\u0119 si\u0119 swoj\u0105 wiedz\u0105, aby wzmocni\u0107 pozycj\u0119 uczni\u00f3w za po\u015brednictwem Statorials. Wiedzie\u0107 wi\u0119cej","sameAs":["https:\/\/statorials.org\/pl"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/79","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=79"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/79\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=79"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=79"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/statorials.org\/pl\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=79"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}