{"id":94,"date":"2023-08-05T12:39:47","date_gmt":"2023-08-05T12:39:47","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oznacza-mediane-i-mode\/"},"modified":"2023-08-05T12:39:47","modified_gmt":"2023-08-05T12:39:47","slug":"oznacza-mediane-i-mode","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pl\/oznacza-mediane-i-mode\/","title":{"rendered":"\u015arednia, mediana i moda"},"content":{"rendered":"

W tym artykule wyja\u015bniono, czym s\u0105 \u015brednia, mediana i moda. Dowiesz si\u0119, jak uzyska\u0107 \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119, do czego si\u0119 je wykorzystuje i jaka jest r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy tymi trzema miarami statystycznymi. Dodatkowo b\u0119dziesz m\u00f3g\u0142 obliczy\u0107 \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 dowolnej pr\u00f3bki statystycznej za pomoc\u0105 kalkulatora online na ko\u0144cu. <\/p>\n

<\/span> Jaka jest \u015brednia, mediana i moda?<\/span><\/h2>\n

\u015arednia, mediana i tryb s\u0105 statystycznymi miarami po\u0142o\u017cenia centralnego.<\/strong> Innymi s\u0142owy, \u015brednia, mediana i moda to warto\u015bci, kt\u00f3re pomagaj\u0105 zdefiniowa\u0107 pr\u00f3bk\u0119 statystyczn\u0105, w szczeg\u00f3lno\u015bci wskazuj\u0105, jakie s\u0105 jej warto\u015bci centralne.<\/p>\n

\u015aredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 definiuje si\u0119 w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b:<\/p>\n

    \n
  • \u015arednia<\/strong> : jest \u015bredni\u0105 wszystkich danych w pr\u00f3bie.<\/span><\/li>\n
  • Mediana<\/strong> : Jest to \u015brodkowa warto\u015b\u0107 wszystkich danych uporz\u0105dkowanych od najmniejszej do najwi\u0119kszej.<\/span><\/li>\n
  • Tryb<\/strong> : jest to najcz\u0119\u015bciej powtarzana warto\u015b\u0107 w zbiorze danych.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

    Te trzy miary statystyczne wyja\u015bniono bardziej szczeg\u00f3\u0142owo poni\u017cej.<\/p>\n

    <\/span> Po\u0142owa<\/span><\/h3>\n

    Aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105,<\/strong> dodaj wszystkie warto\u015bci, a nast\u0119pnie podziel przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych. Wz\u00f3r na \u015bredni\u0105 jest zatem nast\u0119puj\u0105cy:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

    \ud83d\udc49 Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

    Symbol \u015bredniej to poziomy pasek nad liter\u0105 x<\/p>\n<\/p>\n

    \"(\\overline{x}).\"<\/p>\n

    Mo\u017cesz tak\u017ce odr\u00f3\u017cni\u0107 \u015bredni\u0105 pr\u00f3bki od \u015bredniej populacji za pomoc\u0105 symbolu \u015bredniej: \u015brednia pr\u00f3bki jest wyra\u017cana za pomoc\u0105 symbolu<\/p>\n

    \"\\overline{x}\"<\/p>\n

    , podczas gdy \u015brednia populacji u\u017cywa greckiej litery<\/p>\n

    \"\\mu.\"<\/p>\n<\/p>\n

    \u015arednia jest r\u00f3wnie\u017c nazywana \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105<\/strong> lub \u015bredni\u0105<\/strong> . Co wi\u0119cej, \u015brednia rozk\u0142adu statystycznego jest r\u00f3wnowa\u017cna jego matematycznym oczekiwaniom.<\/p>\n

    <\/span> Przeci\u0119tny przyk\u0142ad<\/span><\/h4>\n
      \n
    • Ucze\u0144 uzyska\u0142 w ci\u0105gu roku szkolnego nast\u0119puj\u0105ce oceny: z matematyki 9, z j\u0119zyka 7, z historii 6, z ekonomii 8 i nauk przyrodniczych 7,5. Jaka jest \u015brednia wszystkich twoich ocen?<\/li>\n<\/ul>\n

      Aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105, nale\u017cy doda\u0107 wszystkie oceny, a nast\u0119pnie podzieli\u0107 przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 przedmiot\u00f3w na kursie, czyli 5. Dlatego stosujemy wz\u00f3r na \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

      Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105:<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\overline{x}=\\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3\"<\/p>\n<\/p>\n

      Jak wida\u0107, w \u015bredniej arytmetycznej ka\u017cdej warto\u015bci przypisuje si\u0119 t\u0119 sam\u0105 wag\u0119, czyli ka\u017cda porcja danych ma t\u0119 sam\u0105 wag\u0119 w ca\u0142o\u015bci.<\/p>\n

      <\/span> Mediana<\/span><\/h3>\n

      Mediana<\/strong> to \u015brodkowa warto\u015b\u0107 wszystkich danych uporz\u0105dkowanych od najmniejszej do najwi\u0119kszej. Innymi s\u0142owy, mediana dzieli uporz\u0105dkowany zbi\u00f3r danych na dwie r\u00f3wne cz\u0119\u015bci.<\/p>\n

      Obliczenie mediany zale\u017cy od tego, czy \u0142\u0105czna liczba danych jest parzysta czy nieparzysta:<\/p>\n

        \n
      • Je\u015bli ca\u0142kowita liczba danych jest nieparzysta<\/strong> , median\u0105 b\u0119dzie warto\u015b\u0107 mieszcz\u0105ca si\u0119 w samym \u015brodku danych. To znaczy warto\u015b\u0107 znajduj\u0105ca si\u0119 na pozycji (n+1)\/2 posortowanych danych.<\/span><\/li>\n

        \"Me=x_{\\frac{n+1}{2}\"<\/p>\n<\/p>\n

      • Je\u015bli ca\u0142kowita liczba punkt\u00f3w danych jest parzysta<\/strong> , mediana b\u0119dzie \u015bredni\u0105 z dw\u00f3ch punkt\u00f3w danych znajduj\u0105cych si\u0119 w \u015brodku. Oznacza to \u015bredni\u0105 arytmetyczn\u0105 warto\u015bci znajduj\u0105cych si\u0119 na pozycjach n\/2 i n\/2+1 uporz\u0105dkowanych danych.<\/span><\/li>\n

        \"Me=\\cfrac{x_{\\frac{n}{2}}+x_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\"<\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n

        Z\u0142oto<\/p>\n<\/p>\n

        \"n\"<\/p>\n

        to ca\u0142kowita liczba element\u00f3w danych w pr\u00f3bie.<\/p>\n

        Termin Me<\/em> jest cz\u0119sto u\u017cywany jako symbol wskazuj\u0105cy, \u017ce warto\u015b\u0107 jest median\u0105 wszystkich obserwacji.<\/p>\n

        \ud83d\udc49 Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

        <\/span>Przyk\u0142ad mediany<\/span><\/h4>\n
          \n
        • Znajd\u017a median\u0119 nast\u0119puj\u0105cych danych: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5<\/li>\n<\/ul>\n

          Pierwsz\u0105 rzecz\u0105, kt\u00f3r\u0105 nale\u017cy zrobi\u0107 przed wykonaniem oblicze\u0144, jest klasyfikacja danych, czyli u\u0142o\u017cenie liczb od najmniejszej do najwi\u0119kszej.<\/p>\n<\/p>\n

          \"1<\/p>\n<\/p>\n

          W tym przypadku mamy 11 obserwacji, wi\u0119c \u0142\u0105czna liczba danych jest nieparzysta. Dlatego do obliczenia po\u0142o\u017cenia mediany stosujemy nast\u0119puj\u0105cy wz\u00f3r:<\/p>\n<\/p>\n

          \"\\cfrac{n+1}{2}=\\cfrac{11+1}{2}=6\"<\/p>\n<\/p>\n

          Median\u0105 b\u0119d\u0105 zatem dane znajduj\u0105ce si\u0119 na sz\u00f3stej pozycji, co w tym przypadku odpowiada warto\u015bci 4. <\/p>\n<\/p>\n

          \"Me=x_6=4\"<\/p>\n<\/p>\n

          <\/span> Moda<\/span><\/h3>\n

          W statystyce tryb<\/strong> to warto\u015b\u0107 w zbiorze danych, kt\u00f3ra ma najwy\u017csz\u0105 cz\u0119stotliwo\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dn\u0105, to znaczy tryb jest najcz\u0119\u015bciej powtarzan\u0105 warto\u015bci\u0105 w zbiorze danych.<\/p>\n

          Dlatego, aby obliczy\u0107 mod\u0119 zbioru danych statystycznych, wystarczy policzy\u0107, ile razy ka\u017cdy element danych pojawia si\u0119 w pr\u00f3bce, a mod\u0105 b\u0119d\u0105 najcz\u0119\u015bciej powtarzaj\u0105ce si\u0119 dane.<\/p>\n

          Tryb mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c nazwa\u0107 trybem statystycznym<\/strong> lub warto\u015bci\u0105 modaln\u0105<\/strong> . Podobnie, gdy dane s\u0105 pogrupowane w interwa\u0142y, najcz\u0119\u015bciej powtarzaj\u0105cym si\u0119 interwa\u0142em jest interwa\u0142 modalny<\/strong> lub klasa modalna<\/strong> .<\/p>\n

          Og\u00f3lnie termin Mo<\/em> jest u\u017cywany jako symbol trybu statystycznego, na przyk\u0142ad tryb rozk\u0142adu X to Mo(X).<\/p>\n

          Ze wzgl\u0119du na liczb\u0119 najcz\u0119\u015bciej powtarzanych warto\u015bci mo\u017cna wyr\u00f3\u017cni\u0107 trzy typy tryb\u00f3w:<\/p>\n

            \n
          • Tryb unimodalny<\/strong> : istnieje tylko jedna warto\u015b\u0107 z maksymaln\u0105 liczb\u0105 powt\u00f3rze\u0144. Na przyk\u0142ad [1, 4, 2, 4, 5, 3].<\/span><\/li>\n
          • Tryb bimodalny<\/strong> : Maksymalna liczba powt\u00f3rze\u0144 wyst\u0119puje przy dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych warto\u015bciach, a obie warto\u015bci powtarzane s\u0105 tak\u0105 sam\u0105 liczb\u0119 razy. Na przyk\u0142ad [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].<\/span><\/li>\n
          • Tryb multimodalny<\/strong> : Trzy lub wi\u0119cej warto\u015bci maj\u0105 t\u0119 sam\u0105 maksymaln\u0105 liczb\u0119 powt\u00f3rze\u0144. Na przyk\u0142ad [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].<\/span><\/li>\n<\/ul>\n

            \ud83d\udc49 Mo\u017cesz skorzysta\u0107 z poni\u017cszego kalkulatora, aby obliczy\u0107 \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 dowolnego zbioru danych.<\/u><\/p>\n

            <\/span> przyk\u0142ad mody<\/span><\/h4>\n
              \n
            • Jaki jest tryb nast\u0119puj\u0105cego zbioru danych?<\/li>\n<\/ul>\n

              \"5<\/p>\n<\/p>\n

              Liczby s\u0105 niew\u0142a\u015bciwie uporz\u0105dkowane, wi\u0119c pierwsz\u0105 rzecz\u0105, kt\u00f3r\u0105 zrobimy, b\u0119dzie je posortowa\u0107. Ten krok nie jest obowi\u0105zkowy, ale pomo\u017ce Ci \u0142atwiej znale\u017a\u0107 mod\u0119.<\/p>\n<\/p>\n

              \"2<\/p>\n<\/p>\n

              Cyfry 2 i 9 pojawiaj\u0105 si\u0119 dwukrotnie, natomiast cyfra 5 powtarza si\u0119 trzykrotnie. Dlatego mod serii danych ma numer 5. <\/p>\n<\/p>\n

              \"Mo=5\"<\/p>\n<\/p>\n

              <\/span> Rozwi\u0105zane \u0107wiczenie \u015bredniej, mediany i trybu<\/span><\/h2>\n

              Teraz, gdy ju\u017c wiesz, czym jest \u015brednia, mediana i moda, poni\u017cej znajduje si\u0119 szczeg\u00f3\u0142owe \u0107wiczenie dotycz\u0105ce tych miar statystycznych, dzi\u0119ki czemu mo\u017cesz dok\u0142adnie zobaczy\u0107, jak s\u0105 one obliczane.<\/p>\n

                \n
              • Znajd\u017a \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119 nast\u0119puj\u0105cego zbioru danych statystycznych:<\/li>\n<\/ul>\n

                \"<\/p>\n<\/p>\n

                \"0<\/p>\n<\/p>\n

                Aby znale\u017a\u0107 \u015bredni\u0105 danych, musimy to wszystko doda\u0107, a nast\u0119pnie podzieli\u0107 przez ca\u0142kowit\u0105 liczb\u0119 danych, kt\u00f3ra wynosi 30:<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\displaystyle\\overline{x}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^N<\/p>\n<\/p>\n

                Po drugie, znajd\u017amy median\u0119 pr\u00f3bki. Ustawiamy wi\u0119c wszystkie liczby w kolejno\u015bci rosn\u0105cej:<\/p>\n<\/p>\n

                \"0<\/p>\n<\/p>\n

                \"7<\/p>\n<\/p>\n

                W tym przypadku ca\u0142kowita liczba danych jest parzysta, dlatego konieczne jest obliczenie dw\u00f3ch \u015brodkowych pozycji, pomi\u0119dzy kt\u00f3rymi znajdzie si\u0119 mediana. W tym celu u\u017cywamy dw\u00f3ch nast\u0119puj\u0105cych wzor\u00f3w:<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\cfrac{n}{2}=\\cfrac{30}{2}=15\"<\/p>\n<\/p>\n

                \"\\cfrac{n}{2}+1=\\cfrac{30}{2}+1=16\"<\/p>\n<\/p>\n

                Mediana b\u0119dzie zatem znajdowa\u0107 si\u0119 pomi\u0119dzy pi\u0119tnast\u0105 a szesnast\u0105 pozycj\u0105, co odpowiada odpowiednio warto\u015bciom 6 i 7. Dok\u0142adniej mediana jest r\u00f3wna \u015bredniej z tych warto\u015bci:<\/p>\n<\/p>\n

                \"Me=\\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\\cfrac{6+7}{2}=6,5\"<\/p>\n<\/p>\n

                Na koniec, aby znale\u017a\u0107 tryb, wystarczy policzy\u0107, ile razy pojawia si\u0119 ka\u017cda liczba. Jak wida\u0107, cyfry 6 i 8 pojawiaj\u0105 si\u0119 w sumie cztery razy, czyli jest to maksymalna liczba powt\u00f3rze\u0144. Dlatego w tym przypadku jest to tryb bimodalny, a dwie liczby oznaczaj\u0105 tryb zbioru danych: <\/p>\n<\/p>\n

                \"Mo=\\{<\/p>\n<\/p>\n

                <\/span> Kalkulator \u015bredniej, mediany i trybu<\/span><\/h2>\n

                Wprowad\u017a dane z dowolnej pr\u00f3bki statystycznej do poni\u017cszego kalkulatora online, aby obliczy\u0107 ich \u015bredni\u0105, median\u0119 i mod\u0119. Dane nale\u017cy oddzieli\u0107 spacj\u0105 i wprowadzi\u0107 z u\u017cyciem kropki jako separatora dziesi\u0119tnego. <\/p>\n