Współczynnik asymetrii

Przez Benjamin Anderson 5 sierpnia, 2023 Statystyka 0 komentarzy

W tym artykule wyjaśniono, czym jest współczynnik asymetrii, jak jest obliczany i jak go interpretować. Konkretnie, dowiesz się, jak obliczyć trzy typy współczynników asymetrii najczęściej używanych w statystyce.

Jaki jest współczynnik asymetrii?

W statystyce współczynnik asymetrii jest współczynnikiem, który pozwala obliczyć asymetrię rozkładu. Oznacza to, że współczynnik skośności służy do określenia, czy funkcja jest skośna dodatnio, ujemnie czy symetryczna.

Współczynnik asymetrii można również nazwać wskaźnikiem asymetrii .

Należy pamiętać, że skośność rozkładu zależy od kształtu krzywej. Zatem różne typy asymetrii to:

Dodatnia skośność : Rozkład ma więcej różnych wartości na prawo od średniej niż na lewo.
Ujemna skośność : Rozkład ma więcej różnych wartości po lewej stronie średniej niż po prawej stronie.
Symetria : Rozkład ma taką samą liczbę wartości po lewej stronie, jak po prawej stronie średniej.

W zależności od przypadku stosuje się głównie trzy rodzaje współczynników asymetrii: współczynnik Fishera, współczynnik Pearsona i współczynnik Bowleya. Sposób obliczania każdego rodzaju współczynnika skośności wyjaśniono szczegółowo poniżej.

Współczynnik asymetrii Fishera

Współczynnik skośności Fishera jest równy trzeciemu momentowi średniej podzielonej przez odchylenie standardowe próbki. Zatem wzór na współczynnik asymetrii Fishera wygląda następująco:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Równoważnie do obliczenia współczynnika Fishera można zastosować jeden z dwóch poniższych wzorów:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Złoto

$E$

jest oczekiwaniem matematycznym,

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$\sigma$

odchylenie standardowe i

$N$

całkowita liczba danych.

Z drugiej strony, jeśli dane są pogrupowane, możesz użyć następującej formuły:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Gdzie w tym przypadku

$x_i$

To oznaka klasy i

$f_i$

bezwzględna częstotliwość kursu.

Po obliczeniu jego wartości interpretacja współczynnika asymetrii Fishera wygląda następująco:

Jeśli współczynnik skośności Fishera jest dodatni, rozkład jest dodatnio skośny.
Jeżeli współczynnik skośności Fishera jest ujemny, rozkład jest ujemnie skośny.
Jeśli rozkład jest symetryczny, współczynnik asymetrii Fishera jest równy zero. Odwrotna sytuacja nie jest prawdą, co oznacza, że fakt, że współczynnik Fishera wynosi zero, nie zawsze oznacza, że rozkład jest symetryczny.

Współczynnik asymetrii Pearsona

Współczynnik skośności Pearsona jest równy różnicy między średnią próbki a modą podzieloną przez jej odchylenie standardowe (lub odchylenie standardowe). Wzór na współczynnik asymetrii Pearsona jest zatem następujący:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Złoto

$A_p$

jest współczynnikiem Pearsona,

$\mu$

średnia arytmetyczna,

$Mo$

moda i

$\sigma$

odchylenie standardowe.

Należy pamiętać, że współczynnik skośności Pearsona można obliczyć tylko wtedy, gdy jest to rozkład jednomodalny, to znaczy, jeśli w danych występuje tylko jeden tryb.

W niektórych książkach statystycznych współczynnik skośności Pearsona oblicza się przy użyciu mediany zamiast trybu, ale generalnie stosuje się powyższy wzór.

Po obliczeniu współczynnika asymetrii Pearsona jego wartość należy interpretować według następujących zasad:

Jeśli współczynnik skośności Pearsona jest dodatni, oznacza to, że rozkład jest dodatnio skośny.
Jeżeli współczynnik skośności Pearsona jest ujemny, oznacza to, że rozkład jest ujemnie skośny.
Jeśli współczynnik skośności Pearsona wynosi zero, oznacza to, że rozkład jest symetryczny.

Współczynnik asymetrii Bowleya

Współczynnik skośności Bowleya jest równy sumie trzeciego kwartyla plus pierwszy kwartyl minus dwukrotność mediany podzielonej przez różnicę między trzecim i pierwszym kwartylem. Wzór na ten współczynnik asymetrii jest zatem następujący:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Złoto

$Q_1$

$Q_3$

Są to odpowiednio pierwszy i trzeci kwartyl oraz

$Me$

jest medianą rozkładu.

Przypomnijmy, że mediana rozkładu pokrywa się z drugim kwartylem.

➤ Zobacz: jak znaleźć kwartyle

Interpretacja współczynnika Bowleya odbywa się w taki sam sposób, jak w przypadku dwóch poprzednich typów współczynników asymetrii:

Jeśli współczynnik skośności Bowleya jest dodatni, rozkład jest dodatnio skośny.
Jeśli współczynnik skośności Bowleya jest ujemny, rozkład jest ujemnie skośny.
Jeśli współczynnik skośności Bowleya wynosi zero, rozkład jest symetryczny.

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Cześć, jestem Benjamin i jestem emerytowanym profesorem statystyki, który został oddanym nauczycielem Statorials. Dzięki bogatemu doświadczeniu i wiedzy specjalistycznej w dziedzinie statystyki chętnie dzielę się swoją wiedzą, aby wzmocnić pozycję uczniów za pośrednictwem Statorials. Wiedzieć więcej

Jaki jest współczynnik asymetrii?

Współczynnik asymetrii Fishera

Współczynnik asymetrii Pearsona

Współczynnik asymetrii Bowleya

o autorze

Dr Benjamin Anderson

Dodaj komentarz