Wspólne prawdopodobieństwo

W tym artykule wyjaśniamy, czym jest prawdopodobieństwo łączne i jak jest obliczane. Znajdziesz także przykłady prawdopodobieństwa łącznego i jakie są różnice między prawdopodobieństwem łącznym, prawdopodobieństwem krańcowym i prawdopodobieństwem warunkowym.

Co to jest prawdopodobieństwo łączne?

Prawdopodobieństwo łączne jest miarą statystyczną, która wskazuje prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch zdarzeń w tym samym czasie.

Kombinacja prawdopodobieństw to liczba z zakresu od 0 do 1. Im większa kombinacja prawdopodobieństw, tym bardziej prawdopodobne jest, że zdarzenia wystąpią jednocześnie, i odwrotnie, jeśli prawdopodobieństwo jest większe niż kombinacja prawdopodobieństw, tym mniejsze będzie prawdopodobieństwo że zdarzenia te zachodzą w tym samym czasie. czasy.

Wzór na prawdopodobieństwo łączne

Łączne prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń A i B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa zdarzenia A razy prawdopodobieństwo zdarzenia B.

Dlatego wzór na obliczenie łącznego prawdopodobieństwa dwóch różnych zdarzeń jest następujący:

Zatem łączne prawdopodobieństwo dwóch różnych zdarzeń jest równoważne przecięciu tych zdarzeń. Należy jednak pamiętać, że tego wzoru można użyć tylko wtedy, gdy są to dwa niezależne zdarzenia , w przeciwnym razie należy zastosować wzór na prawdopodobieństwo warunkowe .

Co więcej, łączne prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń będzie zawsze mniejsze niż prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia z osobna.

Przykłady wspólnego prawdopodobieństwa

Biorąc pod uwagę definicję prawdopodobieństwa łącznego, wyjaśnimy teraz dwa przykłady tego typu prawdopodobieństwa, aby lepiej zrozumieć jego znaczenie.

Rzuć monetą i kostką

Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w rzucie monetą wynosi 1/2, a z drugiej strony prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 4 w rzucie kostką wynosi 1/6. Zatem łączne prawdopodobieństwo wyrzucenia orła i liczby 4 wynosi:

Dwa wydarzenia polegające na rzucie kostką

Możemy również znaleźć łączne prawdopodobieństwo dwóch różnych zdarzeń w tym samym losowym eksperymencie. Dla przykładu obliczymy prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia zdarzeń „wyrzucenie liczby nieparzystej” i „wyrzucenie liczby większej niż 4” podczas rzutu kostką.

Na kostce znajdują się trzy liczby nieparzyste (1, 3 i 5), więc prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej będzie wynosić:

Z drugiej strony na kostce znajdują się dwie liczby większe od czterech (5 i 6), więc prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia będzie wynosić:

Zatem, aby obliczyć łączne prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń, wystarczy pomnożyć dwa znalezione prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo łączne i prawdopodobieństwo krańcowe

Różnica między prawdopodobieństwem łącznym a prawdopodobieństwem krańcowym polega na tym, że prawdopodobieństwo łączne odnosi się do prawdopodobieństwa wystąpienia dwóch lub więcej zdarzeń w tym samym czasie, podczas gdy prawdopodobieństwo krańcowe to prawdopodobieństwo wystąpienia podzbioru całości.

Wyobraźmy sobie, że przeprowadzamy eksperyment i przez 21 kolejnych dni rejestrujemy, czy rano dzień był słoneczny, czy pochmurny, a po południu padał deszcz:

Na przykład krańcowe prawdopodobieństwo, że dzień jest pochmurny, wynosi:

A krańcowe prawdopodobieństwo, że pewnego dnia będzie padać wynosi:

Jednakże łączne prawdopodobieństwo, że dzień będzie pochmurny i deszczowy wynosi:

Prawdopodobieństwo łączne i prawdopodobieństwo warunkowe

Dwa inne pojęcia, które są często mylone, to prawdopodobieństwo łączne i prawdopodobieństwo warunkowe, ale oznaczają one różne rzeczy.

Różnica między prawdopodobieństwem łącznym a prawdopodobieństwem warunkowym polega na tym, że w prawdopodobieństwie łącznym oba zdarzenia muszą wystąpić w tym samym czasie, natomiast prawdopodobieństwo warunkowe odnosi się do prawdopodobieństwa wystąpienia jednego zdarzenia, jeśli miało miejsce inne zdarzenie. już wyprodukowany.

Powtarzając to samo ćwiczenie co poprzednio, łączne prawdopodobieństwo, że dzień będzie pochmurny i deszczowy, wynosi:

Ale warunkowe (lub warunkowe) prawdopodobieństwo, że danego dnia będzie padać, przy założeniu, że jest pochmurny, wynosi:

W przypadku prawdopodobieństwa warunkowego prawdopodobieństwo opadów oblicza się wiedząc, że dzień jest pochmurny.

Jak widać, prawdopodobieństwo warunkowe wyraża się jako pionową linię pomiędzy dwoma zdarzeniami.