Test z dwóch proporcji: definicja, wzór i przykład

Test Z dwóch proporcji służy do sprawdzania różnicy między dwiema proporcjami populacji.

W tym samouczku wyjaśniono następujące kwestie:

• Motywacja do wykonania testu z dwóch proporcji.
• Wzór na wykonanie testu z dwóch proporcji.
• Przykład wykonania testu z dwóch proporcji.

Dwuproporcjonalny test Z: motywacja

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy istnieje różnica między odsetkiem mieszkańców popierających określone prawo w hrabstwie A a odsetkiem mieszkańców popierających prawo w hrabstwie B.

Ponieważ w każdym okręgu mieszkają tysiące mieszkańców, badanie każdego mieszkańca w każdym okręgu byłoby zbyt czasochłonne i kosztowne.

Zamiast tego moglibyśmy pobrać prostą losową próbę mieszkańców z każdego hrabstwa i użyć proporcji na korzyść prawa w każdej próbie, aby oszacować rzeczywistą różnicę w proporcjach między dwoma hrabstwami:

Jednak praktycznie gwarantuje się, że odsetek mieszkańców opowiadających się za ustawą będzie co najmniej nieco różny w obu próbach. Pytaniem jest, czy różnica ta jest istotna statystycznie . Na szczęście test Z dwóch proporcji pozwala nam odpowiedzieć na to pytanie.

Test Z dwóch proporcji: wzór

Test Z dwóch proporcji zawsze wykorzystuje następującą hipotezę zerową:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (oba proporcje populacji są równe)

Hipoteza alternatywna może być dwustronna, lewa lub prawa:

• H ₁ (dwustronny): π ₁ ≠ π ₂ (oba proporcje populacji nie są równe)
• H ₁ (po lewej): π ₁ < π ₂ (odsetek populacji 1 jest mniejszy niż odsetek populacji 2)
• H ₁ (po prawej): π ₁ > π ₂ (odsetek populacji 1 jest większy niż odsetek populacji 2)

Do obliczenia statystyki testu z używamy następującego wzoru:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

gdzie p ₁ i p ₂ to proporcje próbek, n ₁ i n ₂ to liczebność próbek, a p to całkowity udział zbiorczy obliczony w następujący sposób:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ )

Jeśli wartość p odpowiadająca statystyce testu z jest mniejsza niż wybrany poziom istotności (najczęściej wybierane wartości to 0,10, 0,05 i 0,01), wówczas można odrzucić hipotezę zerową.

Test Z z dwoma proporcjami : przykład

Załóżmy, że chcemy wiedzieć, czy istnieje różnica między odsetkiem mieszkańców popierających określone prawo w hrabstwie A a odsetkiem mieszkańców popierających prawo w hrabstwie B.

Aby to sprawdzić, przeprowadzimy test z dwóch proporcji na poziomie istotności α = 0,05, wykonując następujące kroki:

Krok 1: Zbierz przykładowe dane.

Załóżmy, że zbieramy losową próbę mieszkańców z każdego powiatu i uzyskujemy następujące informacje:

Próbka 1:

• Wielkość próby n ₁ = 50
• Proporcja na korzyść prawa p ₁ = 0,67

Próbka 2:

• Wielkość próby n ₂ = 50
• Proporcja na korzyść prawa p ₂ = 0,57

Krok 2: Zdefiniuj założenia.

Przeprowadzimy test z dwóch proporcji przy następujących hipotezach:

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (oba proporcje populacji są równe)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (oba proporcje populacji nie są równe)

Krok 3: Oblicz statystykę testu z .

Najpierw obliczymy całkowitą łączną proporcję:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Następnie obliczymy statystykę testu z :

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (0,67-0,57) / √ 0,62(1-0,62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Krok 4: Oblicz wartość p statystyki testowej z .

Według kalkulatora wartości P Z-score, dwustronna wartość p związana z z = 1,03 wynosi 0,30301 .

Krok 5: Wyciągnij wnioski.

Ponieważ ta wartość p nie jest niższa niż nasz poziom istotności α = 0,05, nie możemy odrzucić hipotezy zerowej. Nie mamy wystarczających dowodów, aby stwierdzić, że odsetek mieszkańców opowiadających się za tą ustawą jest różny w obu hrabstwach.

Uwaga: Możesz także wykonać cały test Z dwóch proporcji, po prostu używając kalkulatora testu Z dwóch proporcji .

Dodatkowe zasoby

Poniższe samouczki wyjaśniają, jak przeprowadzić test Z dwóch proporcji przy użyciu różnych programów statystycznych:

Jak wykonać test Z dwóch proporcji w programie Excel
Jak wykonać test Z w dwóch proporcjach w SAS-ie
Kalkulator testu dwóch proporcji Z