Wydarzenia zbiorowo wyczerpujące: definicja i przykład

Zbiór zdarzeń jest łącznie wyczerpujący, jeżeli oczekuje się , że nastąpi co najmniej jedno ze zdarzeń.

Na przykład, jeśli rzucimy kostką, musi ona wypaść na jednej z następujących wartości:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Zatem powiedzielibyśmy, że zbiór zdarzeń {1, 2, 3, 4, 5, 6} jest łącznie wyczerpujący , ponieważ kość musi wylądować na jednej z tych wartości.

Innymi słowy, ten zestaw zdarzeń, jako zbiór , wyczerpuje wszystkie możliwe wyniki.

Poniższe przykłady pokazują inne sytuacje, które ilustrują łącznie wyczerpujące zdarzenia:

Przykład 1: Rzuć monetą

Załóżmy, że raz rzucamy monetą. Wiemy, że moneta musi wylądować na jednej z następujących wartości:

• Głowy
• Ogony

Zatem zbiór zdarzeń {Head, Tail} byłby łącznie wyczerpujący.

Przykład 2: Obracanie góry

Załóżmy, że mamy ruletkę, która ma trzy różne kolory: czerwony, niebieski i zielony.

Jeśli obrócimy go raz, powinien wylądować na jednej z następujących wartości:

• Czerwony
• Niebieski
• Zielony

Zatem zbiór zdarzeń {czerwony, niebieski, zielony} byłby łącznie wyczerpujący.

Jednakże zbiór zdarzeń {czerwony, zielony} nie byłby wyczerpujący, ponieważ nie zawiera wszystkich możliwych wyników.

Przykład 3: Typy koszykarzy

Załóżmy, że mamy ankietę, w której pytamy osoby o wybranie preferowanej pozycji w koszykówce. Jedyne możliwe odpowiedzi to:

• Lider gry
• strzelający strażnik
• Mały napastnik
• Moc do przodu
• Centrum

Zatem zestaw wydarzeń {rozgrywający, strzelec, mały napastnik, mocny napastnik, środkowy} byłby wyczerpujący.

Jednakże zestaw wydarzeń {rozgrywający, rzucający obrońca, mały napastnik} nie byłby wyczerpujący, ponieważ nie zawierał wszystkich możliwych wyników.

Znaczenie wydarzeń zbiorczo wyczerpujących w ankietach

Projektując ankiety szczególnie ważne jest, aby odpowiedzi na pytania były wyczerpujące.

Załóżmy na przykład, że w ankiecie zadano następujące pytanie:

Jaka jest Twoja ulubiona pozycja w koszykówce?

Załóżmy, że potencjalne odpowiedzi to:

• Lider gry
• strzelający strażnik
• Mały napastnik
• Moc do przodu

Pominąwszy stanowisko Centrum , odpowiedzi te nie są łącznie wyczerpujące.

Oznacza to, że ktoś, kto woli Centrum jako swoje preferowane stanowisko, będzie musiał wybrać jedną z pozostałych opcji, co oznacza, że odpowiedzi w ankiecie nie będą odzwierciedlały prawdziwych opinii ankietowanych.

Zbiorowo wyczerpujące lub wzajemnie się wykluczające

Zdarzenia wykluczają się wzajemnie, jeżeli nie mogą wystąpić jednocześnie.

Na przykład, niech zdarzenie A będzie zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie parzystej, a zdarzenie B będzie zdarzeniem, w którym kość wyląduje na liczbie nieparzystej.

Zdefiniowalibyśmy przykładową przestrzeń dla zdarzeń w następujący sposób:

• ZA = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}

Należy zauważyć, że dwie próbkowane przestrzenie nie nakładają się na siebie, co oznacza, że wzajemnie się wykluczają. Tak się składa, że są one również łącznie wyczerpujące, ponieważ łącznie są w stanie uwzględnić wszystkie potencjalne wyniki rzutu kostką.

Załóżmy jednak, że definiujemy zdarzenie A i zdarzenie B w następujący sposób:

• ZA = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}

W tym przypadku A i B w pewnym stopniu pokrywają się, więc nie wykluczają się one wzajemnie. Jednak łącznie nadal są w stanie uwzględnić wszystkie potencjalne wyniki rzutu kostką.

To ilustruje ważną kwestię: zbiór zdarzeń może być łącznie wyczerpujący, ale nie wykluczać się wzajemnie .