Função de distribuição

Neste artigo você encontrará a explicação da função de distribuição, como seus valores são calculados e um exemplo real da função de distribuição. Além disso, você poderá ver as diferenças entre uma função de distribuição e uma função de densidade.

Qual é a função de distribuição?

A função de distribuição , também chamada de função de distribuição cumulativa , é uma função matemática que indica a probabilidade cumulativa de uma distribuição. Ou seja, a imagem da função de distribuição para qualquer valor é igual à probabilidade de a variável assumir esse valor ou um valor inferior.

A função de distribuição cumulativa também pode ser referida pela sigla FDA, embora seu símbolo usual seja o F maiúsculo.

A função de distribuição é, portanto, definida pela seguinte fórmula:

Como calcular a função de distribuição

Explicamos então como calcular o valor da função de distribuição dependendo se a distribuição de probabilidade é discreta ou contínua.

Caixa discreta

Se a variável aleatória for discreta, a função de distribuição cumulativa é igual à soma das probabilidades de todos os valores iguais ou menores que x .

Ouro

é a função de probabilidade associada à variável discreta.

Caso continuado

Se a variável aleatória for contínua, a função de distribuição cumulativa é equivalente à integral da função densidade de menos infinito até o valor em questão.

Ouro

é a função de densidade associada à variável contínua.

Exemplo de função de distribuição

Agora que sabemos a definição de função de distribuição, vamos dar uma olhada em um exemplo prático passo a passo para aprender como calcular o valor de uma função de distribuição.

• Calcule a função de distribuição para o experimento aleatório de lançar uma moeda quatro vezes.

Para resolver o exercício, você deve primeiro calcular todas as probabilidades associadas ao número de caras obtidas durante os quatro lançamentos de moeda:

Assim, por se tratar de uma variável discreta, para determinar as imagens da função de distribuição basta somar as probabilidades até o valor da variável em questão:

Assim, os valores da função de distribuição do lançamento de cara no lançamento de quatro moedas independentes são os seguintes:

Propriedades da função de distribuição

Independentemente do tipo de variável, a função de distribuição sempre possui as seguintes propriedades:

• O valor da função de distribuição cumulativa está entre 0 e 1 inclusive.

• O limite de uma função de distribuição quando x tende ao infinito é igual a 1.

• Por outro lado, o limite de uma função de distribuição quando x se aproxima de menos infinito é zero.

• Pelas suas características, a função de distribuição é monotônica e não decrescente.

• Além disso, se

  

  as seguintes equações são satisfeitas.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{l}P(X < a) = F(a^-)\\[2ex] P(X>a)=1-F(a)\\[2ex]P(X \ge a )=1-F(a^-)\\[2ex]P(a<ul><li> Finally, if the statistical variable is continuous, the following equality is satisfied: </li></ul>[latex ]\begin{array}{l}P(a \le X < b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)- F(a)\end{array}

*** Error message:
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Função de distribuição e função de densidade

Por fim, veremos qual é a diferença entre a função de distribuição e a função de densidade, uma vez que estas duas noções estatísticas são frequentemente confundidas.

A diferença entre a função de distribuição e a função de densidade é o tipo de probabilidade que elas definem. A função de densidade descreve a probabilidade de a variável assumir um determinado valor, enquanto a função de distribuição descreve a probabilidade cumulativa da variável.

Ou seja, a função de distribuição é utilizada para calcular a probabilidade de a variável ser igual ou menor que um determinado valor.

Observe que a função densidade se refere apenas a variáveis contínuas, portanto esta distinção só faz sentido se a variável em estudo for contínua.

Observe como a representação gráfica da função de distribuição muda em comparação com a função de densidade de uma variável que segue uma distribuição normal com média 1 e desvio padrão de 0,5:

Para saber mais sobre a função densidade, consulte o seguinte artigo: