Como encontrar a probabilidade de a e b: com exemplos

Dados dois eventos, A e B, “encontrar a probabilidade de A e B” significa encontrar a probabilidade de que o evento A e o evento B ocorram .

Geralmente escrevemos essa probabilidade de duas maneiras:

• P(A e B) – Forma escrita
• P(A∩B) – Notação de forma

A forma como calculamos esta probabilidade depende se os eventos A e B são independentes ou dependentes.

Se A e B são independentes , então a fórmula que usamos para calcular P(A∩B) é simplesmente:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Se A e B são dependentes , então a fórmula que usamos para calcular P(A∩B) é:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Observe que P(B|A) é a probabilidade condicional de ocorrência do evento B, dado   ocorre o evento A.

Os exemplos a seguir mostram como usar essas fórmulas na prática.

Exemplos de P(A∩B) para eventos independentes

Os exemplos a seguir mostram como calcular P(A∩B) quando A e B são eventos independentes.

Exemplo 1: A probabilidade de seu time de beisebol favorito vencer a World Series é de 1/30 e a probabilidade de seu time de futebol favorito vencer o Super Bowl é de 1/32. Qual é a probabilidade de seus dois times favoritos vencerem seus respectivos campeonatos?

Solução: Neste exemplo, a probabilidade de cada evento ocorrer é independente do outro. Portanto, a probabilidade de ambos ocorrerem é calculada da seguinte forma:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Exemplo 2: Você lança um dado e joga uma moeda ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de o dado cair em 4 e a moeda dar coroa?

Solução: Neste exemplo, a probabilidade de cada evento ocorrer é independente do outro. Portanto, a probabilidade de ambos ocorrerem é calculada da seguinte forma:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Exemplos de P(A∩B) para eventos dependentes

Os exemplos a seguir mostram como calcular P(A∩B) quando A e B são eventos dependentes.

Exemplo 1: Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 4 bolas verdes. Você escolhe aleatoriamente uma bola da urna. Então, sem reposição, você seleciona outra bola. Qual é a probabilidade de você escolher uma bola vermelha todas as vezes?

Solução: Neste exemplo, a cor da bola que você escolhe na primeira vez afeta a probabilidade de escolher uma bola vermelha na segunda vez. Os dois eventos são, portanto, dependentes.

Vamos definir o evento A como a probabilidade de selecionar uma bola vermelha na primeira vez. Esta probabilidade é P(A) = 4/8. A seguir, precisamos de determinar a probabilidade de selecionar novamente uma bola vermelha, dado que a primeira bola era vermelha. Neste caso, restam apenas 3 bolas vermelhas para escolher e apenas 7 bolas no total na urna. Assim, P(B|A) é 3/7.

Portanto, a probabilidade de selecionarmos uma bola vermelha a cada vez seria calculada da seguinte forma:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Exemplo 2: Numa determinada turma há 15 meninos e 12 meninas. Suponha que coloquemos os nomes de cada aluno em uma sacola. Escolhemos aleatoriamente um nome da sacola. Então, sem reposição, escolhemos outro nome. Qual é a probabilidade de ambos os nomes serem meninos?

Solução: Neste exemplo, o primeiro nome que escolhemos na primeira vez afeta a probabilidade de escolher o primeiro nome de um menino no segundo sorteio. Os dois eventos são, portanto, dependentes.

Vamos definir o evento A como a probabilidade de selecionar um menino pela primeira vez. Esta probabilidade é P(A) = 15/27. A seguir, precisamos de determinar a probabilidade de selecionar um rapaz novamente, dado que o primeiro nome era rapaz. Nesse caso, restam apenas 14 meninos para escolher e apenas 26 nomes no total. Assim, P(B|A) é 14/26.

Portanto, a probabilidade de selecionarmos o nome de um menino a cada vez seria calculada da seguinte forma:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.