Como encontrar a probabilidade de pelo menos um? sucesso

A probabilidade nos diz a probabilidade de um evento ocorrer.

Por exemplo, suponha que 4% de todos os alunos de uma determinada escola prefiram matemática como matéria favorita. Se selecionarmos um aluno aleatoriamente, a probabilidade de ele preferir matemática seria de 4%.

Mas muitas vezes estamos interessados em probabilidades que envolvem múltiplas tentativas. Por exemplo, se selecionarmos três alunos aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos um deles preferir matemática?

Podemos usar as seguintes etapas para responder a esta pergunta:

1. Encontre a probabilidade de um aluno não preferir matemática.

Sabemos que a probabilidade de um aluno preferir matemática é P (prefere matemática) = 0,04.

Assim, a probabilidade de um aluno não preferir matemática é P(não prefere matemática) = 0,96.

2. Encontre a probabilidade de todos os alunos selecionados não preferirem matemática.

Como a probabilidade de cada aluno preferir matemática é independente uma da outra, podemos simplesmente multiplicar as probabilidades individuais:

P (nem todos os alunos preferem matemática) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Isto representa a probabilidade de os três alunos não preferirem a matemática como disciplina preferida.

3. Encontre a probabilidade de pelo menos um aluno preferir matemática.

Finalmente, a probabilidade de pelo menos um aluno preferir matemática é calculada da seguinte forma:

P(pelo menos um prefere matemática) = 1 – P(nem todos preferem matemática) = 1 – 0,8847 = 0,1153 .

Acontece que podemos usar a seguinte fórmula geral para encontrar a probabilidade de pelo menos um sucesso em uma série de tentativas:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

Na fórmula acima, n representa o número total de tentativas.

Por exemplo, poderíamos ter usado esta fórmula para determinar a probabilidade de pelo menos um aluno em uma amostra aleatória de três preferir matemática como matéria favorita:

P (pelo menos um aluno prefere matemática) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Isso corresponde à resposta que obtivemos usando o processo de três etapas acima.

Use os exemplos a seguir como prática adicional para determinar a probabilidade de “pelo menos um” sucesso.

Relacionado: Como encontrar a probabilidade de “pelo menos dois” sucessos

Exemplo 1: Tentativas de lance livre

Mike acerta 20% de suas tentativas de lance livre. Se ele tentar 5 lances livres, encontre a probabilidade de ele acertar pelo menos um.

Solução:

• P(faz pelo menos uma) = 1 – P(erra uma determinada tentativa) ⁿ
• P (faz pelo menos um) = 1 – (0,80) ⁵
• P (faz pelo menos um) = 0,672

A probabilidade de Mike acertar pelo menos um lance livre em cada cinco tentativas é de 0,672 .

Exemplo 2: Widgets

Em uma determinada fábrica, 2% de todos os widgets apresentam defeito. Em uma amostra aleatória de 10 widgets, determine a probabilidade de pelo menos um estar com defeito.

Solução:

• P (pelo menos um com defeito) = 1 – P (o widget fornecido não está com defeito) ⁿ
• P(pelo menos um com defeito) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(pelo menos um com defeito) = 0,183

A probabilidade de pelo menos um widget estar com defeito em uma amostra aleatória de 10 é 0,183 .

Exemplo 3: perguntas triviais

Bob responde corretamente 75% das perguntas triviais. Se lhe fizermos três perguntas triviais, determine a probabilidade de ele responder pelo menos uma incorretamente.

Solução:

• P(pelo menos um erro) = 1 – P(a resposta dada está correta) ⁿ
• P (pelo menos um incorreto) = 1 – (0,75) ³
• P (pelo menos um incorreto) = 0,578

A probabilidade de ele responder incorretamente pelo menos uma questão é de 0,578 .

Bônus: Calculadora de probabilidade de “pelo menos um”

Use esta calculadora para encontrar automaticamente a probabilidade de “pelo menos um” sucesso, com base na probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa e no número total de tentativas.