O que é propagação de erros? (definição e #038; exemplo)
A propagação do erro ocorre quando você mede algumas quantidades a , b , c ,… com incertezas δa , δb , δc … e então deseja calcular outra quantidade Q usando as medições de a , b , c , etc.
Acontece que as incertezas δ a , δ b , δc se propagarão (ou seja, “se espalharão”) até a incerteza de Q.
Para calcular a incerteza de Q , denotada por δ Q , podemos usar as seguintes fórmulas.
Nota: Para cada uma das fórmulas abaixo, assume-se que as quantidades a , b , c , etc. contêm erros aleatórios e não correlacionados .
Adição ou subtração
Se Q = a + b +… + c – (x + y +… + z)
Então δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 +… + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 +… + (δz) 2
Exemplo: suponha que você meça o comprimento de uma pessoa do chão até a cintura em 40 polegadas ± 0,18 polegadas. Em seguida, você mede o comprimento de uma pessoa, da cintura ao topo da cabeça, em 30 polegadas ± 0,06 polegadas.
Suponha que você use essas duas medidas para calcular a altura total da pessoa. A altura seria calculada da seguinte forma: 40 polegadas + 30 polegadas = 70 polegadas. A incerteza desta estimativa seria calculada da seguinte forma:
- δQ = √ (δa) 2 + (δb) 2 +… + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 +… + (δz) 2
- δQ = √ (0,18) 2 + (0,06) 2
- δQ = 0,1897
Isso nos dá uma medida final de 70 ± 0,1897 polegadas.
Multiplicação ou Divisão
Se Q = (ab…c) / (xy…z)
Então δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Exemplo: suponha que você queira medir a razão entre o comprimento do elemento a e o do elemento b . Você mede o comprimento de a como 20 polegadas ± 0,34 polegadas e o comprimento de b como 15 polegadas ± 0,21 polegadas.
A proporção definida como Q = a/b seria calculada como: 20/15 = 1,333 . A incerteza desta estimativa seria calculada da seguinte forma:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (0,34/20) 2 + (0,21/15) 2
- δQ = 0,0294
Isso nos dá uma proporção final de 1,333 ± 0,0294 polegadas.
Quantidade medida multiplicada pelo número exato
Se A é conhecido exatamente e Q = A x
Então δQ = |A|δx
Exemplo: suponha que você meça o diâmetro de um círculo como 5 metros ± 0,3 metros. Você então usa esse valor para calcular a circunferência do círculo c = πd .
A circunferência seria calculada como c = πd = π*5 = 15,708 . A incerteza desta estimativa seria calculada da seguinte forma:
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Portanto, a circunferência do círculo é 15,708 ± 0,942 metros.
Incerteza em um poder
Se n for um número exato e Q = x n
Então δ Q = | P | * | n | * (δx /x )
Exemplo: suponha que você meça o lado de um cubo como s = 2 polegadas ± 0,02 polegadas. Você então usa esse valor para calcular o volume do cubo v = s 3 .
O volume seria calculado da seguinte forma: v = s 3 = 2 3 = 8 polegadas 3 . A incerteza desta estimativa seria calculada da seguinte forma:
- δ Q = | P | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (0,02/2)
- δQ = 0,24
Portanto, o volume do cubo é 8 ± 0,24 pol. 3 .
Fórmula geral de propagação de erros
Se Q = Q(x) é uma função de x , então a fórmula geral de propagação de erro pode ser definida da seguinte forma:
δQ = |dQ / dX |δx
Observe que raramente você precisará derivar essas fórmulas do zero, mas pode ser útil conhecer a fórmula geral usada para derivá-las.
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Dr. benjamim anderson
Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais