Assimetria e achatamento

By Dr. benjamim anderson Agosto 4, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que são assimetria e curtose nas estatísticas. Assim, você encontrará a definição desses dois conceitos, como calcular assimetria e curtose, quais são suas fórmulas, bem como uma calculadora online para calcular assimetria e curtose de qualquer amostra de dados.

O que são assimetria e curtose?

Assimetria e curtose são duas medidas estatísticas usadas para descrever a forma de uma distribuição sem a necessidade de representá-la graficamente. Mais especificamente, a assimetria indica o grau de simetria (ou assimetria) de uma distribuição, enquanto a curtose indica o grau de concentração de uma distribuição em torno de sua média.

Nas estatísticas, a assimetria e a curtose também são chamadas de medidas de forma .

👉 Você pode usar a calculadora online abaixo para calcular a assimetria e a curtose de qualquer conjunto de dados.

Assimetria

Nas estatísticas, a assimetria é uma medida que indica o grau de simetria (ou assimetria) de uma distribuição em relação à sua média. Simplificando, a assimetria é um parâmetro estatístico usado para determinar o grau de simetria (ou assimetria) de uma distribuição sem a necessidade de representá-la graficamente.

Assim, uma distribuição assimétrica é aquela que possui um número diferente de valores à esquerda da média em comparação com um à sua direita. Por outro lado, numa distribuição simétrica existe o mesmo número de valores à esquerda e à direita da média.

Assim, distinguimos três tipos de assimetria :

Assimetria positiva : A distribuição tem mais valores diferentes à direita da média do que à sua esquerda.
Simetria : A distribuição tem o mesmo número de valores à esquerda da média e à direita da média.
Assimetria negativa : A distribuição tem mais valores diferentes à esquerda da média do que à sua direita.

coeficiente de assimetria

O coeficiente de assimetria , ou índice de assimetria , é um coeficiente estatístico que ajuda a determinar a assimetria de uma distribuição. Assim, calculando o coeficiente de assimetria, é possível saber que tipo de assimetria a distribuição apresenta sem precisar representá-la graficamente.

Embora existam diferentes fórmulas para calcular o coeficiente de assimetria, e veremos todas a seguir, independente da fórmula utilizada, a interpretação do coeficiente de assimetria é sempre feita da seguinte forma:

Se o coeficiente de assimetria for positivo, a distribuição será positivamente distorcida .
Se o coeficiente de assimetria for igual a zero, a distribuição é simétrica .
Se o coeficiente de assimetria for negativo, a distribuição será distorcida negativamente .

Coeficiente de assimetria de Fisher

O coeficiente de assimetria de Fisher é igual ao terceiro momento em relação à média dividido pelo desvio padrão da amostra. Portanto, a fórmula do coeficiente de assimetria de Fisher é:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Equivalentemente, qualquer uma das duas fórmulas a seguir pode ser usada para calcular o coeficiente de Fisher:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Ouro

$E$

é a expectativa matemática,

$\mu$

a média aritmética,

$\sigma$

o desvio padrão e

$N$

o número total de dados.

Por outro lado, se os dados estiverem agrupados você pode usar a seguinte fórmula:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Onde neste caso

$x_i$

É a marca da classe e

$f_i$

a frequência absoluta do curso.

Coeficiente de assimetria de Pearson

O coeficiente de assimetria de Pearson é igual à diferença entre a média amostral e a moda dividida pelo seu desvio padrão (ou desvio padrão). A fórmula para o coeficiente de assimetria de Pearson é, portanto, a seguinte:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Ouro

$A_p$

é o coeficiente de Pearson,

$\mu$

a média aritmética,

$Mo$

moda e

$\sigma$

o desvio padrão.

Tenha em mente que o coeficiente de assimetria de Pearson só pode ser calculado se for uma distribuição unimodal, ou seja, se houver apenas uma moda nos dados.

Coeficiente de assimetria de Bowley

O coeficiente de assimetria de Bowley é igual à soma do terceiro quartil mais o primeiro quartil menos duas vezes a mediana dividida pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. A fórmula para este coeficiente de assimetria é, portanto, a seguinte:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Ouro

$Q_1$

$Q_3$

Estes são respectivamente o primeiro e terceiro quartis e

$Me$

é a mediana da distribuição.

Achatamento

A curtose , também chamada de assimetria , indica o quão concentrada uma distribuição está em torno de sua média. Em outras palavras, a curtose indica se uma distribuição é íngreme ou plana. Especificamente, quanto maior a curtose de uma distribuição, mais acentuada (ou mais nítida) ela é.

Existem três tipos de bajulação :

Leptocúrtica : a distribuição é muito pontiaguda, ou seja, os dados estão fortemente concentrados em torno da média. Mais precisamente, as distribuições leptocúrticas são definidas como distribuições mais nítidas do que a distribuição normal.
Mesocúrtica : A curtose da distribuição é equivalente à curtose da distribuição normal. Portanto, não é considerado afiado nem lisonjeado.
Platicúrtica : a distribuição é muito plana, ou seja, a concentração em torno da média é baixa. Formalmente, as distribuições platicúrticas são definidas como aquelas distribuições mais planas do que a distribuição normal.

Observe que os diferentes tipos de curtose são definidos tomando como referência a curtose da distribuição normal.

coeficiente de curtose

A fórmula para o coeficiente de curtose é a seguinte:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

A fórmula do coeficiente de curtose para dados agrupados em tabelas de frequência :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Por fim, a fórmula do coeficiente de curtose para dados agrupados em intervalos :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Ouro:

$g_2$

é o coeficiente de curtose.
$N$

é o número total de dados.
$x_i$

é o i-ésimo ponto de dados da série.
$\mu$

é a média aritmética da distribuição.
$\sigma$

é o desvio padrão (ou desvio típico) da distribuição.
$f_i$

é a frequência absoluta do conjunto de dados it.
$c_i$

é a nota da turma do i-ésimo grupo.

Observe que em todas as fórmulas do coeficiente de curtose, 3 é subtraído porque é o valor de curtose da distribuição normal. Assim, o cálculo do coeficiente de curtose é feito tomando como referência a curtose da distribuição normal. É por isso que às vezes nas estatísticas se diz que se calcula uma curtose excessiva .

Uma vez calculado o coeficiente de curtose, ele deve ser interpretado da seguinte forma para identificar que tipo de curtose se trata:

Se o coeficiente de curtose for positivo, significa que a distribuição é leptocúrtica .
Se o coeficiente de curtose for zero, significa que a distribuição é mesocúrtica .
Se o coeficiente de curtose for negativo, significa que a distribuição é platicúrtica .

Calculadora de assimetria e curtose

Insira um conjunto de dados na calculadora a seguir para calcular seu coeficiente de assimetria e curtose e também determinar que tipo de distribuição é. Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

Para que servem a assimetria e a curtose?

Por fim, veremos para que servem a assimetria e a curtose nas estatísticas e como esses dois tipos de parâmetros estatísticos são interpretados.

A assimetria e a curtose são usadas para definir a forma de uma distribuição de probabilidade sem a necessidade de representá-la graficamente. Ou seja, a assimetria e a curtose são calculadas para determinar que tipo de distribuição é sem a necessidade de representá-la graficamente, o que geralmente exige muito tempo e esforço.

Além disso, os valores de assimetria e curtose são usados para comparar a curva de uma distribuição com uma distribuição normal. Porque se forem semelhantes, isso significa que a distribuição a ser estudada pode ser aproximada de uma distribuição normal e, portanto, diversos teoremas estatísticos podem ser aplicados.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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