Como encontrar uma probabilidade dada uma média e um desvio padrão

Podemos usar o seguinte processo para encontrar a probabilidade de que uma variável aleatória normalmente distribuída

Etapa 1: Encontre a pontuação z.

Uma pontuação z informa quantos desvios padrão um valor de dados individual cai da média. É calculado da seguinte forma:

pontuação z = (x – μ) / σ

Ouro:

• x: valor de dados individuais
• μ: média populacional
• σ: desvio padrão populacional

Etapa 2: Encontre a probabilidade que corresponde ao escore z.

Depois de calcularmos a pontuação z, podemos encontrar sua probabilidade correspondente na tabela z.

Os exemplos a seguir mostram como usar esse processo em diferentes cenários.

Exemplo 1: Probabilidade menor que um determinado valor

As pontuações em um determinado teste são normalmente distribuídas com média μ = 82 e desvio padrão σ = 8. Qual é a probabilidade de um determinado aluno ter pontuação inferior a 84 no teste?

Etapa 1: Encontre a pontuação z.

Primeiro, encontraremos a pontuação z associada a uma pontuação de 84:

pontuação z = (x – μ) / σ = (84 – 82) / 8 = 2/8 = 0,25

Etapa 2: Use a tabela z para encontrar a probabilidade correspondente.

A seguir, procuraremos o valor 0,25 na tabela z:

A probabilidade de um determinado aluno obter pontuação inferior a 84 é de aproximadamente 59,87% .

Exemplo 2: Probabilidade maior que um determinado valor

A altura de uma certa espécie de pinguim é normalmente distribuída com média μ = 30 polegadas e desvio padrão de σ = 4 polegadas. Se selecionarmos um pinguim aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ter mais de 28 centímetros de altura?

Etapa 1: Encontre a pontuação z.

Primeiro, encontraremos o escore z associado a uma altura de 28 polegadas.

Pontuação z = (x – μ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2/4 = -0,5

Etapa 2: Use a tabela z para encontrar a probabilidade correspondente.

A seguir procuraremos o valor -0,5   na tabela z:

O valor que corresponde a um escore z de -0,5 é 0,3085. Isso representa a probabilidade de um pinguim ter menos de 28 polegadas.

No entanto, como queremos saber a probabilidade de um pinguim ter mais de 28 polegadas de altura, precisamos subtrair essa probabilidade de 1.

Portanto, a probabilidade de um pinguim ter mais de 28 polegadas é: 1 – 0,3085 = 0,6915 .

Exemplo 3: Probabilidade entre dois valores

O peso de uma certa espécie de tartaruga é normalmente distribuído com média μ = 400 libras e desvio padrão de σ = 25 libras. Se selecionarmos uma tartaruga aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela pesar entre 410 e 425 libras?

Etapa 1: Encontre as pontuações z.

Primeiro, encontraremos as pontuações z associadas a 410 livros e 425 livros

pontuação z de 410 = (x – μ) / σ = (410 – 400) / 25 = 10/25 = 0,4

pontuação z de 425 = (x – μ) / σ = (425 – 400) / 25 = 25/25 = 1

Etapa 2: Use a tabela z para encontrar a probabilidade correspondente.

Primeiro, procuraremos o valor 0,4   na tabela z:

A seguir procuraremos o valor 1   na tabela z:

A seguir, subtrairemos o valor menor do valor maior: 0,8413 – 0,6554 = 0,1859 .

Portanto, a probabilidade de uma tartaruga selecionada aleatoriamente pesar entre 410 libras e 425 libras é de 18,59% .

Recursos adicionais

Como calcular manualmente um valor P a partir de uma pontuação Z
Como converter pontuações Z em pontuações brutas
Como encontrar pontuações Z em uma determinada área