4 exemplos reais de distribuição exponencial

A distribuição exponencial é uma distribuição de probabilidade usada para modelar o tempo que temos que esperar até que um determinado evento ocorra.

Se uma variável aleatória X segue uma distribuição exponencial, então a função de densidade cumulativa de X pode ser escrita:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Ouro:

• λ: o parâmetro de taxa (calculado como λ = 1/μ)
• e: Uma constante aproximadamente igual a 2,718

Neste artigo, compartilhamos 5 exemplos de distribuição exponencial na vida real.

Exemplo 1: Tempo entre as erupções dos gêiseres

O número de minutos entre as erupções de um determinado gêiser pode ser modelado pela distribuição exponencial.

Por exemplo, suponha que o número médio de minutos entre as erupções de um determinado gêiser seja de 40 minutos. Se um gêiser entrar em erupção, qual é a probabilidade de termos que esperar menos de 50 minutos pela próxima erupção?

Para resolver este problema, primeiro precisamos calcular o parâmetro de taxa:

• λ = 1/µ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Podemos inserir λ = 0,025 e x = 50 na fórmula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

A probabilidade de termos que esperar menos de 50 minutos pela próxima erupção é de 0,7135 .

Exemplo 2: Tempo entre clientes

O número de minutos entre os clientes que entram em uma determinada loja pode ser modelado pela distribuição exponencial.

Por exemplo, digamos que um novo cliente entre em uma loja a cada dois minutos, em média. Após a chegada de um cliente, determine a probabilidade de um novo cliente chegar em menos de um minuto.

Para resolver isso, podemos começar sabendo que o tempo médio entre clientes é de dois minutos. Assim, a taxa pode ser calculada da seguinte forma:

• λ = 1/µ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Podemos inserir λ = 0,5 e x = 1 na fórmula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

A probabilidade de termos que esperar menos de um minuto pela chegada do próximo cliente é de 0,3935 .

Exemplo 3: Tempo entre terremotos  

O tempo entre as ocorrências do terremoto pode ser modelado usando uma distribuição exponencial.

Por exemplo, suponhamos que um terremoto ocorra em média a cada 400 dias em uma determinada região. Depois de um terremoto, determine a probabilidade de que passem mais de 500 dias antes que o próximo terremoto ocorra.

Para resolver este problema, começamos por saber que o tempo médio entre sismos é de 400 dias. Assim, a taxa pode ser calculada da seguinte forma:

• λ = 1/µ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Podemos inserir λ = 0,0025 e x = 500 na fórmula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

A probabilidade de termos que esperar menos de 500 dias pelo próximo terremoto é de 0,7135.

Portanto, a probabilidade de termos de esperar mais de 500 dias pelo próximo terremoto é 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Exemplo 4: tempo entre chamadas

O tempo entre ligações de clientes em diferentes empresas pode ser modelado usando uma distribuição exponencial.

Por exemplo, suponha que um banco receba uma nova chamada a cada 10 minutos, em média. Depois que um cliente ligar, determine a probabilidade de um novo cliente ligar dentro de 10 a 15 minutos.

Para resolver isso, começamos sabendo que o tempo médio entre ligações é de 10 minutos. Assim, a taxa pode ser calculada da seguinte forma:

• λ = 1/µ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Podemos usar a seguinte fórmula para calcular a probabilidade de um novo cliente ligar dentro de 10 a 15 minutos:

• P(10 <X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 <X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 <X ≤ 15) = 0,1448

A probabilidade de um novo cliente ligar dentro de 10 a 15 minutos. é 0,1448 .

Recursos adicionais

Os artigos a seguir fornecem exemplos de como outras distribuições de probabilidade são usadas no mundo real:

6 exemplos concretos da distribuição normal
5 exemplos concretos da distribuição binomial
5 exemplos concretos da distribuição de Poisson
5 exemplos concretos de distribuição geométrica
5 exemplos concretos de distribuição uniforme