Distribuição qui-quadrado

By Dr. benjamim anderson Agosto 4, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a distribuição qui-quadrado e para que ela é usada. Além disso, você encontrará o gráfico de distribuição qui-quadrado e suas propriedades.

Qual é a distribuição qui-quadrado?

A distribuição Qui-quadrado é uma distribuição de probabilidade cujo símbolo é χ². Mais precisamente, a distribuição qui-quadrado é a soma do quadrado de k variáveis aleatórias independentes com distribuição normal.

Assim, a distribuição Qui-quadrado possui k graus de liberdade. Portanto, uma distribuição Qui-quadrado tem tantos graus de liberdade quanto a soma dos quadrados das variáveis normalmente distribuídas que ela representa.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

A distribuição qui-quadrado também é conhecida como distribuição de Pearson .

Deve-se notar que a distribuição Qui-quadrado é um caso especial da distribuição gama.

A distribuição qui-quadrado é amplamente utilizada em inferência estatística, por exemplo, em testes de hipóteses e intervalos de confiança. Veremos a seguir quais são as aplicações desse tipo de distribuição de probabilidade.

Gráfico de distribuição qui-quadrado

Assim que vermos a definição da distribuição Qui-quadrado, veremos vários exemplos deste tipo de distribuição representados graficamente. Abaixo você pode ver como o gráfico de probabilidade da distribuição qui-quadrado varia dependendo dos graus de liberdade.

A função de densidade da distribuição Qui-quadrado foi representada no gráfico acima. Por outro lado, o gráfico da função de distribuição de probabilidade cumulativa qui-quadrado é o seguinte:

gráfico de distribuição cumulativa qui-quadrado

➤ Veja: Tabela de distribuição qui-quadrado

Características da distribuição qui-quadrado

Nesta seção veremos as propriedades mais importantes da distribuição Qui-quadrado relacionadas à teoria das probabilidades e à estatística.

A média de uma distribuição qui-quadrado é igual aos seus graus de liberdade.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] E[X]=k\end{array}$

A variância de uma distribuição Qui-quadrado é igual a duas vezes os graus de liberdade da distribuição.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] Var(X)=2\cdot k\end{array}$

A moda de uma distribuição qui-quadrado é duas unidades a menos que seus graus de liberdade, desde que a distribuição tenha mais de um grau de liberdade.

$Mo=k-2 \qquad \text{si } k\geq 2$

A função densidade da distribuição Qui-quadrado é zero se x=0. Porém, para valores de x maiores que 0, a função densidade de uma distribuição Qui-quadrado é definida pela seguinte fórmula:

$\displaystyle P[X=x]= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

A função de distribuição cumulativa da distribuição Qui-quadrado é governada pela seguinte fórmula:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$

O coeficiente de assimetria da distribuição Qui-quadrado é a raiz quadrada do quociente de oito dividido pelo número de graus de liberdade da distribuição.

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{8}{k}}$

A curtose da distribuição Qui-quadrado é calculada usando a seguinte expressão:

$C=3+\cfrac{12}{k}$

Devido ao teorema do limite central, a distribuição qui-quadrado pode ser aproximada por uma distribuição normal se k for grande o suficiente.

$\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\left(1,\sqrt{2/k}\right)} (x)$

Aplicações da distribuição qui-quadrado

A distribuição qui-quadrado tem muitas aplicações diferentes em estatística. Na verdade, existe até o teste do qui-quadrado que é utilizado para verificar a independência entre as variáveis e a qualidade do ajuste a uma distribuição teórica. Por exemplo, o teste Qui-quadrado pode ser usado para determinar se os dados de uma amostra estão em conformidade com uma distribuição de Poisson.

Na análise de regressão linear, a distribuição qui-quadrado também é usada para estimar a média de uma população normalmente distribuída e para estimar a inclinação da linha de estudo de regressão linear.

Por fim, a distribuição Qui-quadrado também participa da análise de variância, através da sua relação com a distribuição F de Snedecor.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais