Distribuição t de estudante
Este artigo explica o que é a distribuição t de Student e para que ela é usada. Além disso, é mostrado o gráfico da distribuição t de Student e quais são as características desse tipo de distribuição de probabilidade.
Qual é a distribuição do aluno?
A distribuição t de Student é uma distribuição de probabilidade amplamente utilizada em estatística. Especificamente, a distribuição t de Student é utilizada no teste t de Student para determinar a diferença entre as médias de duas amostras e para estabelecer intervalos de confiança.
A distribuição t de Student foi desenvolvida pelo estatístico William Sealy Gosset em 1908 sob o pseudônimo de “Student”.
A distribuição t de Student é definida pelo seu número de graus de liberdade, obtido subtraindo uma unidade do número total de observações. Portanto, a fórmula para determinar os graus de liberdade de uma distribuição t de Student é ν=n-1 .
![\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c805dc2d6ca050feb70dad99de53402_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gráfico de distribuição t de Student
Agora que conhecemos a definição da distribuição t de Student, vamos ver qual é o seu gráfico. Assim, a seguir você pode ver graficamente vários exemplos de distribuições t de Student com diferentes graus de liberdade.
A partir do gráfico da distribuição t de Student, as seguintes propriedades podem ser deduzidas:
- A distribuição t de Student é simétrica centrada em 0 e tem formato de sino.
- A distribuição t de Student é mais dispersa que a distribuição normal, ou seja, a curva da distribuição t de Student é mais larga.
- Quanto mais graus de liberdade a distribuição t de Student tiver, menor será sua dispersão.
No gráfico acima, a função densidade da distribuição t de Student foi plotada em relação aos seus graus de liberdade. No entanto, você pode ver abaixo como a função de probabilidade cumulativa da distribuição t de Student varia:
Características da distribuição t de Student
As características mais importantes da distribuição t de Student são mostradas abaixo.
- O domínio da distribuição t de Student consiste em números reais.
- Para distribuições t de Student com mais de um grau de liberdade, a média da distribuição é igual a 0.
![\begin{array}{c}X\sim t_\nu\\[2ex] E[X]=0 \qquad \text{para }\nu>1\end{array} ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”55″ width=”190″ style=”vertical-align: 0px;”></p>
</p>
<ul>
<li> A variância de uma distribuição t de Student pode ser calculada usando a seguinte expressão:</li>
</ul>
<p class=](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4fed5eadcaa1162752aeedb7f8a0906_l3.png)
![\begin{array}{c}X\sim t_\nu\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\nu}{\nu-2} \qquad \text{para }\nu>2\end{array} ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”75″ width=”245″ style=”vertical-align: 0px;”></p>
</p>
<ul>
<li> A mediana e a moda da distribuição t de Student, independentemente do número de graus de liberdade, são sempre 0.</li>
</ul>
<p class=](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfdcbc8a5f071a61e091b0ef6f686a16_l3.png)
![\begin{array}{c}Me=0\\[2ex]Mo=0\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d90790fce0c987648c0b30216c82214_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- A função densidade da distribuição t de Student é definida pela seguinte fórmula:
![\displaystyle P[X=x]=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c0f1e97a8e407e8b9e2b00ba93aee0e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- A função de distribuição de probabilidade cumulativa da distribuição t de Student é definida pela seguinte fórmula:
![\displaystyle P[X\leq x]=\frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu} \right)}{\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da1e3bdf2d87c3a7dcc89c236958dcec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Para distribuições t de Student com graus de liberdade superiores a 3, o coeficiente de assimetria é zero porque é uma distribuição simétrica.
Aplicações da distribuição t de Student
A distribuição t de Student é uma distribuição de probabilidade amplamente utilizada em estatística. Na verdade, existe até o teste t de Student, que é utilizado para testar hipóteses e intervalos de confiança.
Assim, a distribuição t de Student permite analisar a diferença entre as médias de duas amostras, mais precisamente, é utilizada para determinar se duas amostras possuem médias significativamente diferentes. Da mesma forma, o teste t de Student é utilizado para saber se a reta obtida a partir de uma análise de regressão linear tem inclinação ou não.
Em suma, as aplicações da distribuição t de Student baseiam-se na análise de conjuntos de dados que teoricamente seguem uma distribuição normal, mas o número total de observações é demasiado pequeno para utilizar este tipo de distribuição.
About Author
Dr. benjamim anderson
Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais