Distribuição de peixes

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a distribuição de Poisson nas estatísticas e para que ela é usada. Assim, você encontrará a definição da distribuição de Poisson, exemplos de distribuições de Poisson e quais são suas propriedades. Finalmente, você poderá calcular qualquer probabilidade da distribuição de Poisson com uma calculadora online.

Qual é a distribuição de Poisson?

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade que define a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer durante um período de tempo.

Em outras palavras, a distribuição de Poisson é usada para modelar variáveis aleatórias que descrevem o número de vezes que um fenômeno se repete em um intervalo de tempo.

A distribuição de Poisson possui um parâmetro característico, representado pela letra grega λ e indica o número de vezes que se espera que o evento estudado ocorra durante um determinado intervalo.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Em geral, a distribuição de Poisson é usada para modelar estatisticamente eventos com probabilidade de ocorrência muito baixa. Abaixo você pode ver vários exemplos desse tipo de distribuição de probabilidade.

Exemplos de distribuição de Poisson

Depois de ver a definição da distribuição de Poisson, aqui estão vários exemplos da distribuição de Poisson.

Exemplos de distribuição de Poisson:

O número de pessoas que entram em uma loja em uma hora.
O número de veículos que cruzam a fronteira entre dois países em um mês.
O número de usuários que acessam uma página da web por dia.
O número de peças defeituosas produzidas por uma fábrica em um dia.
O número de chamadas que uma central telefônica recebe por minuto.

Fórmula de distribuição de peixe

Em uma distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrência de x eventos é igual ao número e elevado à potência de -λ multiplicado por λ elevado à potência de x e dividido pelo fatorial de x .

Portanto, a fórmula para calcular a probabilidade de uma distribuição de Poisson é:

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de uma variável que segue a distribuição de Poisson.

Como a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta, para determinar uma probabilidade cumulativa, você deve encontrar as probabilidades de todos os valores até o valor em questão e depois somar todas as probabilidades calculadas.

Exercício resolvido sobre a distribuição de Poisson

O número de produtos vendidos por uma marca segue uma distribuição de Poisson de λ=5 unidades/dia. Qual é a probabilidade de que em um dia você tenha vendido apenas 7 unidades? E a probabilidade de em um dia você ter vendido 3 unidades ou menos?

Para obter as diferentes probabilidades que o problema exige, devemos aplicar a fórmula de distribuição de Poisson (ver acima). Então, usando esta fórmula calculamos a probabilidade de vender 7 unidades em um dia:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Em segundo lugar, somos solicitados a determinar a probabilidade cumulativa de vender 3 ou menos unidades. Portanto, para encontrar essa probabilidade, precisamos calcular a probabilidade de vender 1 unidade, 2 unidades e 3 unidades separadamente e depois somá-las.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Portanto, primeiro calculamos cada probabilidade separadamente:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

A seguir, somamos as três probabilidades calculadas para determinar a probabilidade de vender três ou menos unidades em um dia.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Características da distribuição de Poisson

Nesta seção veremos quais são as características da distribuição de Poisson.

A distribuição de Poisson é definida por um único parâmetro característico, λ, que indica o número de vezes que se espera que o evento estudado ocorra durante um determinado período de tempo.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

A média de uma distribuição de Poisson é igual ao seu parâmetro característico λ.

$E[X]=\lambda$

Da mesma forma, a variância de uma distribuição de Poisson é equivalente ao seu parâmetro característico λ.

$Var(X)=\lambda$

Se λ for um número inteiro, a moda da distribuição de Poisson é bimodal e seus valores são λ e λ-1. Em vez disso, se λ não for um número inteiro, a moda da distribuição de Poisson é o maior número inteiro menor ou igual a λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Não existe uma fórmula específica para determinar a mediana de uma distribuição de Poisson, mas você pode encontrar seu intervalo:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

A função de probabilidade da distribuição de Poisson é a seguinte:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

A adição de variáveis aleatórias de Poisson independentes resulta em outra variável aleatória de Poisson cujo parâmetro característico é a soma dos parâmetros das variáveis originais.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Uma distribuição binomial pode ser aproximada como uma distribuição de Poisson se o número total de observações for suficientemente grande (n≥100), sendo λ o produto dos dois parâmetros característicos da distribuição binomial.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Veja: Características da distribuição binomial

Calculadora de distribuição de peixes

Insira o valor do parâmetro λ e o valor de x na calculadora abaixo para calcular a probabilidade. Você precisa selecionar a probabilidade que deseja calcular e inserir os números usando o ponto como separador decimal, por exemplo 0,1667.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais