Intervalo de confiança para a média

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é o intervalo de confiança para a média nas estatísticas e para que ele é usado. Da mesma forma, você descobrirá como calcular o intervalo de confiança da média, bem como um exercício passo a passo.

Qual é o intervalo de confiança da média?

O intervalo de confiança para a média é um intervalo que fornece uma faixa de valores permitidos para a média de uma população. Por outras palavras, o intervalo de confiança para a média dá-nos um valor máximo e um valor mínimo entre os quais liga o valor da média da população a uma margem de erro.

Por exemplo, se o intervalo de confiança de 95% para uma média populacional for (6,10), isso significa que 95% das vezes a média populacional estará entre 6 e 10.

Portanto, o intervalo de confiança da média é usado para estimar dois valores entre os quais se encontra uma média populacional. Assim, o intervalo de confiança da média é muito útil para aproximar a média de uma população quando todos os seus valores são desconhecidos.

Fórmula do intervalo de confiança para a média

Supondo que o processo de inserção de uma variável seja assim:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

O intervalo de confiança da média é calculado somando e subtraindo da média amostral o valor de Z _α/2 multiplicado pelo desvio padrão (σ) e dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Para amostras grandes e nível de confiança de 95%, o valor crítico é Z _α/2 = 1,96 e para nível de confiança de 99%, o valor crítico é Z _α/2 = 2,576.

A fórmula acima é usada quando a variância populacional é conhecida. Contudo, se a variância populacional for desconhecida, o que é o caso mais frequente, o intervalo de confiança da média é calculado utilizando a seguinte fórmula:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Ouro:

$\overline{x}$

é a média amostral.
$t_{\alpha/2}$

é o valor da distribuição t de Student de n-1 graus de liberdade com probabilidade de α/2.
$s$

é o desvio padrão da amostra.
$n$

é o tamanho da amostra.

Exemplo de cálculo de um intervalo de confiança para a média

Para que você possa ver como é calculado o intervalo de confiança para a média de uma população, deixamos abaixo um exemplo resolvido passo a passo.

Temos uma amostra de 8 observações com os valores mostrados abaixo. Qual é o intervalo de confiança da média da população no nível de confiança de 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Como vimos na seção anterior, a fórmula para obter o intervalo de confiança de uma média populacional quando não conhecemos o desvio padrão populacional é a seguinte:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Portanto, para determinar o intervalo de confiança da média, devemos primeiro calcular a média amostral e o desvio padrão.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Veja: Calculadora de média aritmética
➤ Veja: Calculadora de desvio padrão

Como queremos encontrar o intervalo de confiança com nível de confiança de 1-α=95% e o tamanho da amostra é 8, precisamos acessar a tabela de distribuição t de Student e ver qual valor corresponde a t _0,025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Veja: Valores da tabela de distribuição t de Student

Então aplicamos a fórmula do intervalo de confiança para a média e realizamos os cálculos para encontrar os limites do intervalo:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Concluindo, o intervalo de confiança calculado diz-nos que com um nível de confiança de 95%, a média da população estará entre 190,82 e 209,43.

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Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

Qual é o intervalo de confiança da média?

Fórmula do intervalo de confiança para a média

Exemplo de cálculo de um intervalo de confiança para a média

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