Intervalo de confiança para proporção

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é o intervalo de confiança para proporção e para que ele é usado nas estatísticas. Da mesma forma, você descobrirá como calcular o intervalo de confiança da proporção e também um exercício resolvido para melhor compreender o conceito.

Qual é o intervalo de confiança da proporção?

O intervalo de confiança para proporção é um intervalo que fornece uma faixa de valores admissíveis para a proporção de uma população. Ou seja, o intervalo de confiança da proporção indica um valor máximo e um valor mínimo entre os quais a proporção populacional se encontra com margem de erro.

Por exemplo, se o intervalo de confiança para a proporção de uma população com um nível de confiança de 95% for (0,73, 0,81), isso significa que a proporção de uma população está entre 73% e 81% com uma probabilidade de 95%.

Portanto, o intervalo de confiança da proporção é utilizado para estimar o valor da proporção de uma população que atende a determinadas características.

Como veremos na próxima seção, o intervalo de confiança para a proporção depende da proporção da amostra e do número de observações na amostra.

Fórmula de intervalo de confiança para proporção

O intervalo de confiança para a proporção é calculado somando e subtraindo da proporção amostral o valor de Z _α/2 multiplicado pela raiz quadrada da proporção amostral (p) multiplicado por 1-p e dividido pelo tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da proporção é:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

Ouro:

$p$

é a proporção da amostra.
$n$

é o tamanho da amostra.
$Z_{\alpha/2}$

é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a uma probabilidade de α/2. Para amostras grandes e nível de confiança de 95% é geralmente próximo de 1,96 e para nível de confiança de 99% é geralmente próximo de 2,576.

Exemplo de cálculo de um intervalo de confiança para proporção

Para que você possa ver como é calculado um intervalo de confiança para a proporção, deixamos abaixo um exemplo concreto passo a passo.

Uma seguradora deseja realizar uma pesquisa de mercado e determinar quantas pessoas em um país têm seguro de vida. Para isso, analisa-se uma amostra aleatória de 700 pessoas e chega-se à conclusão que 40% da amostra possui seguro de vida. Qual é o intervalo de confiança ao nível de confiança de 95% para a proporção da população do país?

Para determinar o intervalo de confiança da proporção populacional, precisamos usar a fórmula que vimos acima:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

Neste caso, queremos que o nível de confiança do intervalo de confiança seja de 95%, então o valor de Z _α/2 que precisamos tomar é 1,96.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

A declaração do problema já nos diz que o tamanho da amostra é n=700 e a proporção observada na amostra é p=0,40, então substituímos os dados na fórmula do intervalo de confiança para a proporção e calculamos os limites do intervalo:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

$\displaystyle \left(0,40-1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}}\ , \ 0,40+1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}\right)$

$\displaystyle \left(0,36 \ , \ 0,44\right)$

Concluindo, a proporção da população estudada está entre 36% e 44% com um nível de confiança de 95%.

➤ Veja: Intervalo de confiança para a média
➤ Veja: Intervalo de confiança para variância

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Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

Qual é o intervalo de confiança da proporção?

Fórmula de intervalo de confiança para proporção

Exemplo de cálculo de um intervalo de confiança para proporção

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