Regressão linear

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é regressão linear e para que ela é usada nas estatísticas. Além disso, você poderá ver como são calculados os dois tipos de regressão linear: regressão linear simples e regressão linear múltipla.

O que é regressão linear?

A regressão linear é um modelo estatístico que relaciona uma ou mais variáveis independentes a uma variável dependente. Simplificando, a regressão linear é uma técnica usada para encontrar uma equação que aproxima a relação entre uma ou mais variáveis explicativas e uma variável de resposta.

Por exemplo, a equação y=2+5x ₁ -3x ₂ +8x ₃ é um modelo de regressão linear porque relaciona matematicamente três variáveis independentes (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) com uma variável dependente (y) e, além disso, a relação entre as variáveis é linear.

Tipos de regressão linear

Existem dois tipos de regressão linear :

Regressão linear simples : Uma única variável independente está ligada a uma variável dependente. A equação para este tipo de modelo de regressão linear tem, portanto, a forma y=β ₀ +β ₁ x ₁ .
Regressão linear múltipla : O modelo de regressão possui diversas variáveis explicativas e uma variável resposta. Portanto, a equação para este tipo de modelo de regressão linear tem a forma y=β ₀ +β ₁ x ₁ +β ₂ x ₂ …+β _m x _m .

regressão linear simples

A regressão linear simples é usada para relacionar uma variável independente a ambas as variáveis.

A equação de um modelo de regressão linear simples é uma reta, portanto é composta por dois coeficientes: a constante da equação (β ₀ ) e o coeficiente de correlação entre as duas variáveis (β ₁ ). Portanto, a equação para um modelo de regressão linear simples é y=β ₀ +β ₁ x.

$y=\beta_0+\beta_1x$

As fórmulas para calcular os coeficientes de regressão linear simples são as seguintes:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

Ouro:

$\beta_0$

é a constante da linha de regressão.
$\beta_1$

é a inclinação da linha de regressão.
$x_i$

é o valor da variável independente X dos dados i.
$y_i$

é o valor da variável dependente Y dos dados i.
$\overline{x}$

é a média dos valores da variável independente
$\overline{y}$

é a média dos valores da variável dependente Y.

➤ Veja: Exemplo concreto de regressão linear simples

Regressão linear múltipla

Num modelo de regressão linear múltipla , pelo menos duas variáveis independentes são incluídas. Em outras palavras, a regressão linear múltipla permite que diversas variáveis explicativas sejam ligadas linearmente a uma variável resposta.

A equação para um modelo de regressão linear múltipla é y=β ₀ +β ₁ x ₁ +β ₂ x ₂ +…+β _m x _m +ε.

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

Ouro:

$y$

é a variável dependente.
$x_i$

é a variável independente eu.
$\beta_0$

é a constante da equação de regressão linear múltipla.
$\beta_i$

é o coeficiente de regressão associado à variável

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

é o erro ou resíduo, ou seja, a diferença entre o valor observado e o valor estimado pelo modelo.
$m$

é o número total de variáveis no modelo.

Então, se tivermos uma amostra com um total de

$n$

observações, podemos colocar o modelo de regressão linear múltipla em forma de matriz:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

A expressão matricial acima pode ser reescrita atribuindo uma letra a cada matriz:

$Y=X\beta+\varepsilon$

Assim, aplicando o critério dos mínimos quadrados, podemos chegar à fórmula para estimar os coeficientes de um modelo de regressão linear múltipla :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

No entanto, a aplicação desta fórmula é muito trabalhosa e demorada, razão pela qual na prática se recomenda a utilização de software informático (como Minitab ou Excel) que permite criar um modelo de regressão múltipla com muito mais rapidez.

➤ Veja: Interpretando um modelo de regressão linear múltipla

Suposições de regressão linear

Num modelo de regressão linear, as seguintes condições devem ser atendidas para que o modelo seja válido:

Independência : Os resíduos devem ser independentes entre si. Uma maneira comum de garantir a independência do modelo é adicionar aleatoriedade ao processo de amostragem.
Homocedasticidade : Deve haver homogeneidade nas variâncias dos resíduos, ou seja, a variabilidade dos resíduos deve ser constante.
Não multicolinearidade : as variáveis explicativas incluídas no modelo não podem ser vinculadas entre si ou, pelo menos, sua relação deve ser muito fraca.
Normalidade : Os resíduos devem ter distribuição normal, ou seja, devem seguir uma distribuição normal com média 0.
Linearidade : assume-se que a relação entre a variável resposta e as variáveis explicativas é linear.

Para que é usada a regressão linear?

A regressão linear tem basicamente dois usos: a regressão linear é usada para explicar a relação entre as variáveis explicativas e a variável de resposta e da mesma forma, a regressão linear é usada para prever o valor da variável dependente para uma nova observação.

Ao obter a equação do modelo de regressão linear, podemos saber que tipo de relação existe entre as variáveis do modelo. Se o coeficiente de regressão de uma variável independente for positivo, a variável dependente aumentará à medida que aumenta. ao passo que se o coeficiente de regressão de uma variável independente for negativo, a variável dependente diminuirá à medida que aumenta.

Por outro lado, a equação calculada em regressão linear também permite fazer previsões de valores. Assim, ao introduzir os valores das variáveis explicativas na equação do modelo, podemos calcular o valor da variável dependente para um novo dado.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais