Teste de adequação

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é um teste de adequação e para que ele é usado nas estatísticas. Também mostra como realizar um teste de ajuste e, além disso, você poderá ver um exercício resolvido passo a passo.

O que é um teste de ajuste?

O teste de adequação é um teste estatístico que nos permite determinar se uma amostra de dados se ajusta ou não a uma determinada distribuição de probabilidade . Em outras palavras, o teste de adequação é utilizado para verificar se os dados observados correspondem aos dados esperados.

Freqüentemente, tentamos fazer previsões sobre um fenômeno e, como resultado, temos valores esperados sobre esse fenômeno que acreditamos que ocorrerão. No entanto, devemos então recolher os dados e verificar se os dados recolhidos correspondem às nossas expectativas. Assim, os testes de adequação permitem decidir através de um critério estatístico se os dados esperados e os dados observados são semelhantes ou não.

Assim o teste de adequação é um teste de hipótese cuja hipótese nula é que os valores observados são iguais aos valores esperados, por outro lado, a hipótese alternativa do teste indica que os valores observados são estatisticamente diferentes dos valores esperados.

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

Em estatística, o teste de adequação também é conhecido como teste do qui-quadrado , uma vez que a distribuição de referência do teste é a distribuição do qui-quadrado.

Fórmula de teste de ajuste

A estatística do teste de adequação é igual à soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores esperados dividida pelos valores esperados.

Assim, a fórmula do teste de adequação é a seguinte:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Ouro:

$\chi^2$

é a estatística do teste de adequação, que segue uma distribuição qui-quadrado com

$k-1$

graus de liberdade.
$k$

é o tamanho da amostra de dados.
$O_i$

é o valor observado para os dados i.
$E_i$

é o valor esperado para os dados i.

Assim, dado um nível de significância

$\alpha$

, a estatística de teste calculada deve ser comparada com o valor crítico do teste para determinar se deve-se rejeitar a hipótese nula ou a hipótese alternativa do teste de hipótese:

Se a estatística de teste for menor que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, a hipótese alternativa é rejeitada (e a hipótese nula é aceita).
Se a estatística de teste for maior que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, a hipótese nula é rejeitada (e a hipótese alternativa é aceita).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ Como fazer um teste de ajuste

Para realizar um teste de adequação, devem ser seguidos os seguintes passos:

Primeiro estabelecemos a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste de adequação.
Em segundo lugar, escolhemos o nível de confiança e, portanto, o nível de significância do teste de adequação.
A seguir, calculamos a estatística do teste de adequação, cuja fórmula pode ser encontrada na seção acima.
Encontramos o valor crítico do teste de adequação usando a tabela de distribuição qui-quadrado.
Comparamos a estatística de teste com o valor crítico:
- Se a estatística de teste for menor que o valor crítico, a hipótese alternativa é rejeitada (e a hipótese nula é aceita).
- Se a estatística de teste for maior que o valor crítico, a hipótese nula é rejeitada (e a hipótese alternativa é aceita).

Exemplo de teste de adequação

O dono de uma loja diz que 50% de suas vendas são do produto A, 35% de suas vendas são do produto B e 15% de suas vendas são do produto C. Porém, as unidades vendidas de cada produto são aquelas mostradas em a tabela a seguir. Analise se os dados teóricos do proprietário são estatisticamente diferentes dos dados reais coletados.

produtos	Vendas observadas (O _i )
Produto A	453
Produto B	268
Produto C	79
Total	800

Para determinar se os valores observados são equivalentes aos valores esperados, realizaremos um teste de adequação. A hipótese nula e a hipótese alternativa do teste são:

$\begin{cases}H_0: f(x)=f_o(x)\\[2ex]H_1: f(x)\neq f_o(x)\end{cases}$

Neste caso, utilizaremos um nível de confiança de 95% para o teste, portanto o nível de significância será de 5%.

$\alpha=0,05$

Para encontrar os valores de vendas esperadas, precisamos multiplicar a porcentagem de vendas esperadas de cada produto pelo número total de vendas realizadas:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,50=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Portanto, a tabela de frequência do problema é a seguinte:

produtos	Vendas observadas (O _i )	Vendas esperadas (E _i )
Produto A	453	400
Produto B	268	280
Produto C	79	120
Total	800	800

Agora que calculamos todos os valores, aplicamos a fórmula do teste qui-quadrado para calcular a estatística do teste:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

Uma vez calculado o valor da estatística do teste, usamos a tabela de distribuição qui-quadrado para encontrar o valor crítico do teste. A distribuição qui-quadrado tem

$k-1=3-1=2$

graus de liberdade e o nível de significância é

$\alpha=0,05$

,Ainda:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Assim, a estatística do teste (21,53) é maior que o valor crítico do teste (5,991), portanto a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é aceita. Isso significa que os dados são muito diferentes e, portanto, o lojista esperava vendas diferentes das realmente realizadas.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p></p> </div>  <div class=$

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